2023届高考数学二轮复习专题六解析几何第3讲直线与圆锥曲线的位置关系学案

第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系

1.[弦长问题](2022 ·全国乙卷,T6)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　B　)

A.2 B.2 

C.3 D.3

解析:法一　由题意可知F(1,0),

准线方程为x=-1,设A(,y0),

由抛物线的定义可知|AF|=+1,

又|BF|=3-1=2,

由|AF|=|BF|,可得+1=2,

解得y0=±2,

所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),

故|AB|==2.故选B.

法二　由题意可知F(1,0),|BF|=2,

所以|AF|=2,抛物线的通径为4,

所以|AF|=2为通径的一半,所以AF⊥x轴,

所以|AB|==2.故选B.

2.[面积问题](2022 ·新高考Ⅰ卷,T21)已知点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.

(1)求l的斜率;

(2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积.

解:(1)将点A的坐标代入双曲线方程得-=1,化简得a4-4a2+4=0,得a2=2,

故双曲线C的方程为-y2=1.

由题易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,P(x1,y1),Q(x2,y2),

联立直线l与双曲线C的方程并整理得

(2k2-1)x2+4kbx+2b2+2=0,

故x1+x2=-,x1x2=.

kAP+kAQ=+=+=0,

化简得2kx1x2+(b-1-2k)(x1+x2)-4(b-1)=0,故+(b-1-2k)(-)-4(b-1)=0,整理得(k+1)(b+2k-1)=0,

又直线l不过点A,即b+2k-1≠0,故k=-1.

(2)不妨设直线PA的倾斜角为θ(0<θ<),

由题意知∠PAQ=π-2θ,

所以tan∠PAQ=-tan 2θ==2,

解得tan θ=或tan θ=-(舍去),

由得x1=,

所以|AP|=|x1-2|=,

同理得x2=,

所以|AQ|=|x2-2|=.

因为tan∠PAQ=2,所以sin∠PAQ=,

故S△PAQ=|AP||AQ|sin∠PAQ=×××=.

3.[位置关系的应用](2022 ·北京卷,T19)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2.

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.

解:(1)依题意可知

得故椭圆E的方程为+y2=1.

(2)由题意可知直线BC的方程为y-1=k(x+2),设B(x1,y1),C(x2,y2),联立直线BC和椭圆E的方程,得整理得(4k2+1)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,

所以x1+x2=-,x1x2=,

由Δ>0得k<0,易知直线AB的斜率kAB=,

直线AB的方程为y=x+1,

令y=0,可得点M的横坐标xM=,

同理可得点N的横坐标xN=,

所以|MN|=|-|=|-|=|(-)|=|·|=

|·|==

=||=2,得k=-4.故k的值为-4.

　　直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.一般考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

热点一　弦长、面积问题

已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),则|AB|==|x1-x2|=,或

|AB|=|y1-y2|=.

考向1　弦长问题

典例1　过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交准线于点P,交y轴于点Q,若=,则|AB|=　　　　　. 

解析:由y2=4x得F(1,0).由对称性知,不妨分析直线AB的斜率大于0的情形,作出图象.

如图所示,设点B,F在准线上的射影分别是点G,K,连接GB.根据抛物线的定义可知,原点O是线段KF的中点,所以Q是线段PF的中点,|PQ|=|QF|.

又=,可得=,所以==.因为|KF|=2,所以|GB|=3,则点B(xB,yB)的坐标为(2,2),所以直线AB的方程为y=2(x-1),代入y2=4x,得点A的横坐标xA为.于是|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+2=+2+2=.

答案:

考向2　面积问题

典例2　已知焦点在x轴上的椭圆C:+=1(a>b>0),短轴长为2,椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设椭圆的右顶点为B,过F1的直线l与椭圆C交于点M,N,且S△BMN=,求直线l的方程.

解:(1)由得

所以椭圆C的标准方程为+=1.

(2)法一　由题意知,直线l的斜率存在且不为0,F1(-1,0),设直线l的方程为x=my-1,M(x1,y1),N(x2,y2),由得(3m2+4)y2-6my-9=0,即y1+y2=,y1·y2=.

又S△BMN=·|BF1|·|y1|+·|BF1|·|y2|=·|BF1|·|y1-y2|=·|BF1|·==,

解得m=±1,所以直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.

法二　由(1)知F1(-1,0),B(2,0),当直线l的斜率不存在时,|MN|=3,点B(2,0)到直线l:x=-1的距离为3,所以S△BMN=≠,所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2),

由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=.

所以|MN|=

=·

=·

=·=.

因为点B(2,0)到直线l的距离为d=,所以S△BMN=·|MN|·d=··=,即k2=1,得k=±1,

所以直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.

(1)设直线方程时,需考虑特殊直线,如直线的斜率不存在、斜率为0等.

(2)涉及直线与圆锥曲线相交时,Δ>0易漏掉.

(3)|AB|=x1+x2+p是抛物线过焦点的弦的弦长公式,其他情况该公式不成立.

热点训练1　 (2022·安徽芜湖模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2为左、右焦点.直线l:y=kx+m交椭圆C于A,B两点,且|AF1|+|AF2|=2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若OA,OB斜率之积为-,求证:△AOB的面积为定值.

(1)解:因为|AF1|+|AF2|=2=2a,所以a=,又=,所以c=1,所以b2=a2-c2=4,

故椭圆C的方程为+=1.

(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),

由⇒(4+5k2)x2+10kmx+5m2-20=0,则Δ=80(5k2+4-m2),由Δ>0⇒5k2+4>m2,x1+x2=-,x1·x2=,

因为kOA·kOB=-,所以5y1y2+4x1x2=0,即(5k2+4)x1·x2+5mk(x1+x2)+5m2=0,

所以(5k2+4)·+5mk·(-)+5m2=0,整理得2m2=5k2+4(m≠0),

所以|AB|==

· =

· =

=

4,

又O到AB的距离d=,

所以S△AOB=·|AB|·d===,所以△AOB的面积为定值.

热点二　中点弦问题

已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E上两点,弦AB的中点C(x0,y0),直线AB的斜率为k.

若E的方程为+=1(a>b>0),则k=-·;若E的方程为-=1(a>0,b>0),则k=·;若E的方程为y2=2px(p>0),则k=.

典例3　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.

(1)证明:a=b;

(2)若点M(,-)在椭圆C的内部,过点M的直线l交椭圆C于P,Q两点,M为线段PQ的中点,且OP⊥OQ,O为坐标原点.

①求直线l的方程;

②求椭圆C的标准方程.

(1)证明:因为e=====,所以=,所以a=b.

(2)解:①由(1)知,椭圆C的方程为+=1,即x2+3y2=3b2,当(,-)在椭圆C的内部时,()2+3×(-)2<3b2,可得b>.

设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则

所以=-,由已知可得

两式作差得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0,

所以=-=-×(-)=,所以直线l的方程为y-(-)=(x-),即y=x-,所以直线l的方程为x-y-=0.

②联立方程组消去y可得10x2-18x+9-3b2=0,Δ=182-40(9-3b2)=120b2-36>0,

由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,又因为OP⊥OQ,而=(x1,y1),=(x2,y2),所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-1)·(x2-1)=4x1x2-3(x1+x2)+3===0,解得b2=1,符合题意,故a2=3b2=3,因此椭圆C的标准方程为+y2=1.

(1)处理中点弦问题常用的求解方法.

(2)中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.

热点训练2　 (1)若过椭圆+=1内一点P(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为(　　)

A.8x+9y-25=0 B.3x-4y-5=0

C.4x+3y-15=0 D.4x-3y-9=0

(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,虚轴的上端点为B,点P,Q在双曲线上,且点M(-2,1)为线段PQ的中点,PQ∥BF,双曲线的离心率为e,则e2等于(　　)

A. B.

C. D.

解析:(1)设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),P为AB的中点,因为A,B在椭圆上,所以+=1,+=1,两式相减得+=0,因为x1+x2=4,y1+y2=2,可得=-,则kAB=-,且过点P(2,1),所以y-1=-(x-2),整理得8x+9y-25=0.故选A.

(2)由题意知F(c,0)(c>0),B(0,b),PQ∥BF,则kPQ=kBF=-.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则两式相减,得=.

因为线段PQ的中点为M(-2,1),所以x1+x2=-4,y1+y2=2,又kPQ==-,所以-=,整理得a2=2bc,所以a4=4b2c2=4c2(c2-a2),即4e4-4e2-1=0,得e2=.故选A.

热点三　直线与圆锥曲线位置关系的应用

直线与圆锥曲线位置关系的判定方法

(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.

(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.

(3)利用判别式Δ,判断直线与圆锥曲线的位置关系.

典例4　已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(-2,-1),且a=2b.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求的值.

解:(1)由椭圆过点A(-2,-1),得+=1.

又a=2b,所以+=1,解得b2=2,

所以a2=4b2=8,所以椭圆C的方程为+=1.

(2)当直线l的斜率不存在时,显然不符合题意.

设直线l:y=k(x+4),由

得(4k2+1)x2+32k2x+64k2-8=0.由Δ>0,得-<k<.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.又因为直线MA:y+1=(x+2),令x=-4,得yP=-1.将y1=k(x1+4)代入,得yP=.同理yQ=.

所以yP+yQ=-(2k+1)(+)=-(2k+1)·=

-(2k+1)·=

-(2k+1)·=0.

所以|PB|=|BQ|,所以=1.

(1)直线与双曲线只有一个交点,包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.

(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).

热点训练3　 (1)(多选题)(2022·河北秦皇岛二模)过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点A(1,-4)作两条相互垂直的直线,与C的另外两个交点分别为M,N,则(　　)

A.C的准线方程是x=-4

B.过C的焦点的最短弦长为8

C.直线MN过定点(0,4)

D.当点A到直线MN的距离最大时,直线MN的方程为2x+y-38=0

(2)已知A,B分别是椭圆C:+y2=1的右顶点和上顶点,P为椭圆C上一点,若△PAB的面积是-1,则点P的个数为(　　)

A.0 B.2 C.3 D.4

解析:(1)将A(1,-4)代入C中得p=8,则C为y2=16x,故C的准线方程为x=-4,故A正确;

当过C的焦点且与x轴垂直时弦长最短,此时弦长为16,故B错误;设M(,y1),N(,y2),直线MN为x=my+n,联立抛物方程可得y2-16my-16n=0,所以y1+y2=16m,y1y2=-16n,因为AM⊥AN,所以·=(-1,y1+4)·(-1,y2+4)=+(y1+4)(y2+4)=0,因为y1≠-4,y2≠-4,所以(y1+4)(y2+4)≠0,+1=0,化简整理可得,y1y2-4(y1+y2)+272=0,所以-16n-64m+272=0,得n=-4m+17,所以直线MN为x=m(y-4)+17,所以直线MN过定点P(17,4),故C错误;当MN⊥AP时,A到直线MN的距离最大,此时直线MN为2x+y-38=0,故D正确.故选AD.

(2)由椭圆C:+y2=1可得a=2,b=1 ,所以A(2,0),B(0,1),|AB|= ,所以直线AB的方程为y-1=-x,即y=-x+1,设过点P与直线AB平行的直线l:y=-x+t,则直线l与直线AB的距离d==|t-1|,因为点P为直线l与椭圆的交点, 所以点P到直线AB的距离为d,因为△PAB的面积是-1, 可得S△PAB=×|AB|×d=××|t-1|=-1,解得t=或t=2-.

当t=时,由可得(x-)2=0,解得此时P(,),当t=2-时,可得x2+(2-4)x+10-8=0,因为Δ=(2-4)2-4(10-8)=16(-1)>0,此时直线l与椭圆有2个交点,此时有2个点P,所以共有3个点P.故选C.