2023届高考数学二轮复习专题一函数与导数培优提能利用导数式构造函数问题学案

培优提能　利用导数式构造函数问题

对于f(x)与f′(x)共存的不等式问题,常结合求导法则构造适当的函数求解,常见以下形式:

(1)对于不等式f′(x)+g′(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x).

(2)对于不等式f′(x)-g′(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x).

特别地,对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0),构造函数F(x)=f(x)-kx.

(3)对于不等式f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x).

(4)对于不等式f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(g(x)≠0).

(5)对于xf′(x)+nf(x)>0型,构造F(x)=xnf(x),则F′(x)=[xf′(x)+nf(x)](注意对xn-1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf′(x)+f(x)>0,构造F(x)=xf(x),则F′(x)=xf′(x)+f(x)>0.

(6)对于xf′(x)-nf(x)>0(x≠0)型,构造F(x)=,则F′(x)=(注意对xn+1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf′(x)-f(x)>0,构造F(x)=,则F′(x)=>0.

(7)对于不等式f′(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=exf(x).

(8)对于不等式f′(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=.

典例　(1)(2021·陕西宝鸡二模)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(x)+xf′(x)>0(f′(x)是f(x)的导函数),则不等式(x-1)f(x2-1)<f(x+1)的解集为(　　)

A.(-∞,2) B.(1,+∞)

C.(1,2) D.(-1,2)

(2)(2022·安徽芜湖模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)-2f(x)>0,则下列大小关系正确的是(　　)

A.f(2)>e2f(1)>e3f()

B.e2f(1)>f(2)>e3f()

C.e2f(1)>e3f()>f(2)

D.f(2)>e3f()>e2f(1)

(3)(2022·陕西安康高新中学三模)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,f(x)-f′(x)<0恒成立,则exf(x+1)>e4f(2x-3)的解集是(　　)

A.(4,+∞) B.(-1,4)

C.(-∞,3) D.(-∞,4)

(4)(2022·河南模拟预测)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数是f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x.若f(2)=1,则不等式3f(x)-x->0的解集是(　　)

A.(0,2) B.(2,+∞)

C.(0,) D.(,+∞)

解析:(1)令g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,

又x+1>0,则(x-1)f(x2-1)<f(x+1)等价于(x2-1)f(x2-1)<(x+1)f(x+1),即g(x2-1)<g(x+1),

所以解得1<x<2,所以原不等式的解集为(1,2).故选C.

(2)构造函数g(x)=,其中x∈R,则g′(x)=>0,

所以,函数g(x)为R上的增函数,

所以,g()<g(1)<g(2),即<<,因此,e3f()<e2f(1)<f(2).故选A.

(3)设g(x)=,则该函数的定义域为R,

则g′(x)=>0,所以g(x)在R上单调递增.

由exf(x+1)>e4f(2x-3),可得>,即g(x+1)>g(2x-3),

又g(x)在R上单调递增,所以x+1>2x-3,解得x<4,所以原不等式的解集是(-∞,4).故选D.

(4)构造函数g(x)=x2f(x)-x3,其中x>0,

则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)-x2=x[2f(x)+xf′(x)-x]>0,

故函数g(x)=x2f(x)-x3在(0,+∞)上单调递增,且g(2)=4f(2)-=,

因为x>0,由3f(x)-x->0可得x2f(x)-x3>,即g(x)>g(2),解得x>2.故选B.

解决f(x)与f′(x)共存的不等式问题的关键是熟练掌握求导法则及导数的结构形式.

触类旁通　(1)(2022·黑龙江哈尔滨三中一模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f′(x)是f(x)的导函数,当x≥0时,f′(x)-2x>0,且f(1)=3,则f(x)>x2+2的解集是(　　)

A.(-1,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(0,1)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

(2)(2022·全国模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x).若x1<x2,则(　　)

A.f(x2)>f(x1)

B.f(x2)<f(x1)

C.f(x2)=f(x1)

D.f(x2)与f(x1)的大小关系不确定

(3)(2022·陕西榆林三模)已知f(x)是定义在R上的函数,f′(x)是f(x)的导函数,且f′(x)+f(x)>1,f(1)=2,则下列结论一定成立的是(　　)

A.f(2)< B.f(2)<

C.f(2)> D.f(2)>

(4)(2021·广西模拟预测)已知f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f′(x),f(-1)=4,且3f(x)+xf′(x)>3,则不等式f(x)<1+的解集为(　　)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.(-1,0)∪(0,1)

C.(0,1)

D.(1,+∞)

解析:(1)令g(x)=f(x)-x2,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),

则g(-x)=f(-x)-(-x)2=g(x),所以函数g(x)也是偶函数,

g′(x)=f′(x)-2x,因为当x≥0时,f′(x)-2x>0,

所以当x≥0时,g′(x)=f′(x)-2x>0,所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,

不等式f(x)>x2+2即为不等式g(x)>2,

由f(1)=3,得g(1)=2,所以g(x)>g(1),所以|x|>1,解得x>1或x<-1,

所以f(x)>x2+2的解集是(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.

(2)因为f′(x)>f(x),所以f′(x)-f(x)>0,

构造函数F(x)=,

则F′(x)==>0,所以函数F(x)在R上单调递增,

又x1<x2,所以F(x1)<F(x2),即<,所以f(x2)>f(x1).故选A.

(3)令g(x)=exf(x)-ex,则g′(x)=ex[f(x)+f′(x)-1]>0,则g(x)在R上单调递增,

故g(2)>g(1),即e2f(2)-e2>ef(1)-e=e,可得f(2)>.故选D.

(4)设g(x)=x3f(x)-x3,则g(x)在R上为奇函数,且g(0)=0.

又g′(x)=3x2f(x)+x3f′(x)-3x2=x2[3f(x)+xf′(x)-3]≥0,当且仅当x=0时,g′(x)=0,所以g(x)在R上为增函数.

又f(-1)=f(1)=4,则g(1)=3,当x>0时,不等式f(x)<1+化为x3f(x)-x3<3,

即g(x)<g(1),所以0<x<1;当x<0时,不等式f(x)<1+化为x3f(x)>x3+3,即g(x)>3=g(1),解得x>1,故无解.故不等式f(x)<1+的解集为(0,1).故选C.