2023届高考数学二轮复习专题三数列培优提能数列通项公式的求法学案

培优提能　数列通项公式的求法

　　求数列的通项公式是高考重点考查内容,作为两类特殊数列——等差数列、等比数列,可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,再利用公式求解,体现化归思想在数列中的应用.常见方法有累加法、累乘法、构造法(构造等比或等差数列)、利用an与Sn的关系求通项公式等.

培优点1　累加法

典例1　(2022·广东佛山期中)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则an=　             . 

解析:将递推关系式取倒数得==+2n,

即-=2n,分别用1,2,3,…,n-1替换n得

-=2×1,-=2×2,-=2×3,…,-=2(n-1),以上n-1个式子相加得-=2[1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1)(n≥2),

所以=n2-n+1,

当n=1时,上式也成立,所以an=.

答案:

形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)求通项公式.

触类旁通1　设数列{an}满足a1=3,an+1=an+,则通项公式an=　　　　　. 

解析:原递推公式可化为an+1-an=-,

则a2-a1=-,a3-a2=-,a4-a3=-,…,an-1-an-2=-,an-an-1=-,

以上(n-1)个式子的等号两端分别相加得an-a1=1-,故an=4-.

答案:4-

培优点2　累乘法

典例2　设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1·an=0,则它的通项公式an=　　　　. 

解析:由(n+1)-n+an+1·an=0,则[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,

又数列{an}为正项数列,即an>0,且a1=1,

所以(n+1)an+1-nan=0,即=,

所以an=··…··a1=××…××1=.

答案:

形如an+1=anf(n)的数列,常采用累乘法,即利用恒等式an=a1···…·求通项公式.

触类旁通2　设数列{an}满足a1=1,an+1=2nan,则通项公式an=　　　　. 

解析:由an+1=2nan,得=2n-1(n≥2),

所以an=··…··a1=2n-1·2n-2·…·2×1=21+2+3+…+(n-1)=,

又a1=1符合上式,故an=.

答案:

培优点3　构造法

典例3　(1)已知数列{an}满足an+1=3an-1,a1=2,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　. 

(2)(2022·陕西宝鸡期中)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式是　　　　　. 

解析:(1)因为an+1=3an-1,

所以an+1-=3(an-),

所以=3,

所以数列{an-}是以a1-=为首项,3为公比的等比数列,

所以an-=·3n-1=,

所以an=.

(2)由an+1=,得=+1,所以+1=2(+1),

又a1=1,所以+1=2,所以数列{+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,

所以+1=2×2n-1=2n,所以数列{an}的通项公式为an=.

答案:(1)an=　(2)an=

(1)若数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0),构造an+1+λ=p(an+λ).

(2)若数列{an}满足an+1=pan+f(n)(p≠0,1),构造an+1+g(n+1)=p[an+g(n)].

触类旁通3　(1)数列{an}满足an+1=3an+2n+1,a1=-1,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　. 

(2)在数列{an}中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x-y+1=0上,则数列{an}的通项公式为　　　　　　. 

解析:(1)因为an+1=3an+2n+1,

所以=·+1,

所以+2=(+2),

所以=,

所以数列{+2}是以+2=为首项,为公比的等比数列,

所以+2=·()n-1=()n,

所以an=3n-2n+1,

所以Sn=(31+32+…+3n)-(22+23+…+2n+1)

=-=-2n+2+.

(2)因为点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x-y+1=0上,

所以4an-an+1+1=0,即an+1=4an+1,得an+1+=4(an+),

所以数列{an+}是首项为a1+=,公比为4的等比数列,

所以an+=·4n-1,故an=·4n-1-.

答案:(1)-2n+2+　(2)an=·4n-1-

培优点4　已知Sn求an(或已知an与Sn的关系求an)

典例4　(1)(2022·辽宁六校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an+1,则a5=　. 

(2)(2022·辽宁模拟联考)若数列{an}的前n项和Sn=,则其通项公式为　. 

解析:(1)因为Sn=2an+1,①

Sn-1=2an-1+1,②

所以①-②得Sn-Sn-1=an=2an-2an-1(n≥2),

即=2,当n=1时,a1=2a1+1,可得a1=-1,

当n=2时,S2=a1+a2=2a2+1,可得a2=-2,

因为=2,

所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,

即an=(-1)·2n-1,所以a5=-1×24=-16.

(2)因为数列{an}的前n项和Sn=,

所以a1=S1=0,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,

当n=1时,不适合上式,

所以an=

答案:(1)-16　(2)an=

当已知数列{an}含有an,Sn的等式时,往往用n-1替换n得到一个新的等式,然后两个等式相减,从而把前n项和转化为数列的通项之间的关系,再根据这个关系求解数列的通项公式.

由含an与Sn的关系式求an时,应注意以下三点:

(1)注意分n=1和n≥2两种情况处理,特别要注意使用an=Sn-Sn-1时需n≥2.

(2)由Sn-Sn-1=an(n≥2)推得an,当n=1时,a1也符合“an式”,则需“合写”通项公式.

(3)由Sn-Sn-1=an(n≥2)推得an,当n=1时,a1不符合“an式”,则数列的通项公式应分段表示,即an=

触类旁通4　(1)(2022·安徽宿州十三校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=2(n∈N*),则{an}的通项公式为an=　　　　. 

(2)(2022·陕西西安月考)在数列{an}中,Sn是其前n项和,若a1=2,an+1=Sn(n≥1),则 an=　　　　　. 

解析:(1)因为an+Sn=2(n∈N*),

所以an-1+Sn-1=2,n≥2,

两式相减得an-an-1+an=0,n≥2,

所以2an=an-1,n≥2,

又a1+S1=2a1=2,所以a1=1,

所以{an}是以1为首项,为公比的等比数列,

所以an=()n-1.

(2)因为a1=2,an+1=Sn(n≥1),

所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3an+1-3an,化为an+1=an.

又a2=,所以数列{an}从第二项开始是等比数列,

所以an=×()n-2,n≥2,

所以an=

答案:(1)()n-1

(2)