2023届高考数学二轮复习专题六解析几何培优提能隐圆问题学案

培优提能　隐圆问题

　　隐圆问题在近几年高考题和各地模拟题中都出现过,难度为中高档,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中,要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐圆问题”.

培优点1　圆的定义或几何性质确定隐圆

典例1　设m∈R,过定点A的动直线mx-y=0和过定点B的动直线x+my-4m-3=0交于点P,则|PA|+|PB|的取值范围是(　　)

A.[,2] B.[2,5]

C.[5,5] D.[5,10]

解析:直线mx-y=0过定点A(0,0),直线x+my-4m-3=0过定点B(3,4),

①当m=0时,过定点A的直线方程为y=0,过定点B的直线方程为x=3,

两直线垂直,此时P(3,0),所以|PA|+|PB|=3+4=7,

②当m≠0时,直线mx-y=0的斜率为m,直线x+my-4m-3=0的斜率为-,

因为m×(-)=-1,所以两直线垂直,即点P可视为以AB为直径的圆上的点,

当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值,最小值为|AB|=5,

当点P不与点A或点B重合时,△PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=25,由基本不等式可知|PA|+|PB|≤2=5,当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立,

所以|PA|+|PB|∈[5,5].故选C.

利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆,是解决问题的关键,要注意数形结合.

触类旁通1　(1)已知直线l1:x+my+1=0与直线l2:mx-y-3m+2=0分别过定点A,B,且交于点P,则|PA|·|PB|的最大值是(　D　)

A. B.5 C.8 D.10

(2)已知点A(-5,-5)在动直线mx+ny-m-3n=0上的射影为点B,若点C(5,-1),那么|BC|的最大值为(　C　)

A.6 B.14 C.12 D.10

解析:(1)直线l1:x+my+1=0过定点A(-1,0),直线l2:mx-y-3m+2=0过定点B(3,2),

联立消去m得(x-1)2+(y-1)2=5,

又A(-1,0),B(3,2)在圆(x-1)2+(y-1)2=5上,且AB为圆的直径,

故|PA|2+|PB|2=20≥2|PA|·|PB|,

所以|PA|·|PB|≤10,

当且仅当PA=PB=时,取等号,所以|PA|·|PB|的最大值是10.故选D.

(2)动直线方程化为m(x-1)+n(y-3)=0,知动直线恒过定点Q(1,3).

又因为点A(-5,-5)在动直线mx+ny-m-3n=0上的射影为点B,

所以∠ABQ=90°,则点B的轨迹是以AQ为直径的圆,

所以圆心为AQ的中点M(-2,-1),

圆的半径r=|AQ|=5.

又|MC|==7>r=5,

所以点C(5,-1)在圆外,

故|BC|的最大值为r+|MC|=5+7=12.故选C.

培优点2　定值确定隐圆

典例2　在平面直角坐标系xOy中,点A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上,若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是(　　)

A.[0,] B.[-5,1]

C.[-,] D.[-2,0]

解析:设点P(x,y),若·≤20,

即(x+12)x+y(y-6)≤20,

则(x+6)2+(y-3)2≤65,

则点P的轨迹为圆O在以(-6,3)为圆心,为半径的圆内部及其上的点的集合,

联立

得或

结合图形(图略)可知-5≤x≤1.故选B.

在解决与圆相关的综合问题时,要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题.当两定点A,B,动点P满足·是定值时确定隐圆.

触类旁通2　已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足 ·=3,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:设M(x,y),因为·=3,所以(-1-x,-y)·(1-x,-y)=3,即点M的轨迹方程为x2+y2=4,表示圆.

又因为点M在圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上,所以两圆有交点.

所以2-1≤≤1+2,即a2+a-2≤0,解得-2≤a≤1.

答案:[-2,1]

培优点3　阿波罗尼斯圆

典例3　已知圆C:(x-2)2+y2=2,直线l:y=k(x+2)与x轴交于点A,过l上一点P作圆C的切线,切点为T,若|PA|=|PT|,则实数k的取值范围是　　　　　　. 

解析:由题意知A(-2,0),圆C的圆心为C(2,0),设P(x,y),

则由|PA|=|PT|,得|PA|2=2|PT|2=2(|PC|2-2),

故(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2-2],

化简得(x-6)2+y2=36,

所以满足|PA|=|PT|的点P在以(6,0)为圆心,6为半径的圆上,

由题意知,直线y=k(x+2)与圆(x-6)2+y2=36有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤6,解得-≤k≤.

答案:[-,]

在平面上给定相异的两点A,B,设点P在同一平面上且满足|PA|=λ|PB|,当λ>0且λ≠1时,点P的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.

触类旁通3　在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y-m)2=3.若圆C上存在以G为中点的弦AB,且|AB|=2|GO|,则实数m的取值范围是　　　　. 

解析:设点G(x,y),圆C的圆心为C(-2,m).因为G为弦AB的中点,且|AB|=2|GO|,所以|AG|=|GO|=,在Rt△AGC中,

|AC|=,|CG|=,∠AGC=90°,

由|AC|2=|AG|2+|CG|2得3=x2+y2+(x+2)2+(y-m)2,即(x+1)2+(y-)2=,

显然≥0,所以-≤m≤,即所求实数m的取值范围是[-,].

答案:[-,]