2023届高考数学二轮复习强化训练5三角恒等变换与解三角形作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习强化训练5三角恒等变换与解三角形作业含答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．[2022·湖南雅礼中学二模]已知3cs2α－8csα＝5，则csα＝( )
A．－eq \f(2,3)B．eq \f(2,3)
C．－eq \f(\r(5),3)D．eq \f(\r(5),3)
2．在△ABC中，a＝2，b＝3，csB＝eq \f(\r(7),4)，则∠A＝( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(5π,6)D．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)
3．已知cs (eq \f(5π,6)－α)＝sinα，则tanα＝( )
A．－eq \r(3)B．－eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(3),3)D．eq \r(3)
4．[2022·山东济南一模]已知sin (α＋eq \f(π,4))＝－eq \f(\r(3),2)，则sin2α的值为( )
A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(\r(3),2)
5．[2022·湖南永州二模]已知△ABC的三个内角A、B、C满足eq \f(5,sinA)＝eq \f(7,sinB)＝eq \f(8,sinC)，则B＝( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
6．[2022·山东潍坊一模]已知α∈(0，eq \f(π,2))，且3cs2α＋sinα＝1，则( )
A．sin (π－α)＝eq \f(2,3)
B．cs (π－α)＝－eq \f(2,3)
C．sin (eq \f(π,2)＋α)＝－eq \f(\r(5),3)
D．cs (eq \f(π,2)＋α)＝－eq \f(\r(5),3)
7．设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为( )
A.50eq \r(10)米B．50eq \r(14)米
C．50eq \r(22)米D．50eq \r(26)米
8．[2022·湖北黄冈中学二模]若sinα＋csα＝eq \f(1,5)，0<α<π，则sin2α＋cs2α＝( )
A．eq \f(17,25)B．－eq \f(17,25)
C．eq \f(31,25)D．－eq \f(31,25)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)
9．[2022·河北邯郸二模]下列各式的值为eq \f(1,2)的是( )
A．sineq \f(17π,6)
B．sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)
C．cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)
D．eq \f(tan\f(π,8),1－tan2\f(π,8))
10．[2022·广东广州三模]在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c.下面四个结论正确的是( )
A．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
B.若eq \f(a,csA)＝eq \f(b,sinB)，则A＝45°
C．若a2＋b2D.若A11．[2022·海南海口二模]已知α∈(π，2π)，sinα＝eq \f(tanα,2)＝taneq \f(β,2)，则( )
A．tanα＝eq \r(3)B．csα＝eq \f(1,2)
C．tanβ＝4eq \r(3)D．csβ＝eq \f(1,7)
12．[2022·湖南岳阳二模]已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcsx(x∈R)，则( )
A．f(x)的最小值为0
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的图象关于点(eq \f(π,8)，0)中心对称
D．f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,8)轴对称
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2022·山东滨州二模]lg2sin15°－lgeq \s\d9(\f(1,2))cs345°＝________．
14．[2022·福建福州三模]已知2sin (α－eq \f(π,3))＝csα，则tanα＝________．
15．[2022·山东日照三模]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2c，且sinA，sinB，sinC成等比数列，则csA＝________．
16．[2022·辽宁辽阳二模]已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(sin (α＋eq \f(π,4))，6)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(sin (α＋eq \f(3π,4))，1)，eq \(OA,\s\up6(→))∥eq \(OB,\s\up6(→))，则tan2α＝________．
强化训练5 三角恒等变换与解三角形
1．解析：由题可得6cs2α－8csα－8＝0，
解得csα＝2（舍去），或csα＝－eq \f(2,3).
答案：A
2．解析：由csB＝eq \f(\r(7),4)得sinB＝eq \r(1－（\f(\r(7),4)）2)＝eq \f(3,4)，由正弦定理得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，eq \f(2,sinA)＝eq \f(3,\f(3,4))，解得sinA＝eq \f(1,2)，又a答案：A
3．解析：由sinα＝cs（eq \f(5π,6)－α）得，sinα＝－eq \f(\r(3),2)csα＋eq \f(1,2)sinα，
所以tanα＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)tanα，解得tanα＝－eq \r(3).
答案：A
4．解析：因sin（α＋eq \f(π,4)）＝－eq \f(\r(3),2)，所以sin2α＝－cs（2α＋eq \f(π,2)）＝－cs2（α＋eq \f(π,4)）＝2sin2（α＋eq \f(π,4)）－1＝2（－eq \f(\r(3),2)）2－1＝eq \f(1,2).
答案：A
5．解析：因为eq \f(5,sinA)＝eq \f(7,sinB)＝eq \f(8,sinC)，由正弦定理可得eq \f(5,a)＝eq \f(7,b)＝eq \f(8,c)，
设a＝5t（t>0），则b＝7t，c＝8t，由余弦定理可得csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)，
∵0°答案：C
6．解析：∵3cs2α＋sinα＝1，α∈（0，eq \f(π,2)），
∴3（1－2sin2α）＋sinα＝1，即6sin2α－sinα－2＝0，
∴sinα＝eq \f(2,3)或sinα＝－eq \f(1,2)（舍去），
∴csα＝eq \f(\r(5),3)，sin（π－α）＝sinα＝eq \f(2,3)，cs（π－α）＝－csα＝－eq \f(\r(5),3)，sin（eq \f(π,2)＋α）＝csα＝eq \f(\r(5),3)，cs（eq \f(π,2)＋α）＝－sinα＝－eq \f(2,3).
答案：A
7．解析：如图，由题可知∠MPM1＝30°，∠NPN1＝45°，
∴PM＝200，PN＝50eq \r(2)，又∠MPN＝45°，
∴MN2＝40000＋5000－2×200×50eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝25000，
∴MN＝50eq \r(10)（米）.
答案：A
8．解析：将sinα＋csα＝eq \f(1,5)两边同时平方，1＋2sinαcsα＝eq \f(1,25)，所以2sinαcsα＝－eq \f(24,25)，
因此，sinα，csα异号，故eq \f(π,2)<α<π，且sinα＋csα>0，则eq \f(π,2)<α因此π<2α所以sin2α＋cs2α＝－eq \f(24,25)＋（－eq \f(7,25)）＝－eq \f(31,25).
答案：D
9．解析：A.sineq \f(17π,6)＝sin（2π＋π－eq \f(π,6)）＝sin（π－eq \f(π,6)）＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，符合题意；
B．sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)＝eq \f(1,2)sin（2×eq \f(π,12)）＝eq \f(1,2)sineq \f(π,6)＝eq \f(1,4)，不符合题意；
C．cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cs（2×eq \f(π,12)）＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，不符合题意；
D．eq \f(tan\f(π,8),1－tan2\f(π,8))＝eq \f(1,2)·tan（2×eq \f(π,8)）＝eq \f(1,2)·taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)，符合题意．
答案：AD
10．解析：由正弦定理知eq \f(a,sinA)＝4＝2R，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及eq \f(a,csA)＝eq \f(b,sinB)可得，eq \f(sinA,csA)＝eq \f(sinB,sinB)＝1，即tanA＝1，由0因为csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形，故C正确；
若A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，显然csA>csB，故D错误．
答案：BC
11．解析：因为sinα＝tanαcsα＝eq \f(tanα,2)，
所以csα＝eq \f(1,2)，又α∈（π，2π），
所以sinα＝－eq \f(\r(3),2)，tanα＝－eq \r(3)，故A错误，B正确．
taneq \f(β,2)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以tanβ＝eq \f(2tan\f(β,2),1－tan2\f(β,2))＝－4eq \r(3)，
csβ＝eq \f(cs2\f(β,2)－sin2\f(β,2),sin2\f(β,2)＋cs2\f(β,2))＝eq \f(1－tan2\f(β,2),1＋tan2\f(β,2))＝eq \f(1,7)，故C错误，D正确．
答案：BD
12．解析：f（x）＝sin2x＋sinxcsx（x∈R）
＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(1,2)sin2x
＝eq \f(1,2)sin2x－eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(2),2)sin（2x－eq \f(π,4)）＋eq \f(1,2)，
对于A，当sin（2x－eq \f(π,4)）＝－1时，f（x）取得最小值eq \f(1－\r(2),2)，所以A错误；
对于B，f（x）的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，所以B正确；
对于C，由2x－eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，得x＝eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以f（x）的图象的对称中心为（eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，eq \f(1,2)）（k∈Z），所以C错误；
对于D，由2x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以f（x）的图象的对称轴为直线x＝eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，当k＝－1时，x＝－eq \f(π,8)，所以f（x）的图象关于直线x＝－eq \f(π,8)轴对称，所以D正确．
答案：BD
13．解析：因为cs345°＝cs（360°－15°）＝cs15°，
所以lg2sin15°－lgeq \s\d9(\f(1,2))cs345°＝lg2sin15°＋lg2cs15°＝lg2（sin15°cs15°）＝lg2（eq \f(1,2)sin30°）＝lg2eq \f(1,4)＝－2.
答案：－2
14．解析：因为2sin（α－eq \f(π,3)）＝csα，所以2sinαcseq \f(π,3)－2csαsineq \f(π,3)＝csα，
整理可得sinα＝（eq \r(3)＋1）csα，即tanα＝eq \r(3)＋1.
答案：eq \r(3)＋1
15．解析：由sinA，sinB，sinC成等比数列，得sin2B＝sinA·sinC，∴b2＝ac，又a＝2c，
所以a∶b∶c＝2∶eq \r(2)∶1，所以csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(（\r(2)）2＋12－22,2\r(2))＝－eq \f(\r(2),4).
答案：－eq \f(\r(2),4)
16．解析：因为eq \(OA,\s\up6(→))＝（sin（α＋eq \f(π,4)），6），eq \(OB,\s\up6(→))＝（sin（α＋eq \f(3π,4)），1）且eq \(OA,\s\up6(→))∥eq \(OB,\s\up6(→)).
所以sin（α＋eq \f(π,4)）＝6sin（α＋eq \f(3π,4)），
所以sinαcseq \f(π,4)＋csαsineq \f(π,4)＝6（sinαcseq \f(3π,4)＋csαsineq \f(3π,4)），
所以sinα＋csα＝6（－sinα＋csα），
所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(5,7).
所以tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(5,7),1－（\f(5,7)）2)＝eq \f(35,12).
答案：eq \f(35,12)