2023届高考数学二轮复习考点16基本初等函数、函数的应用作业含答案

考点突破练16　基本初等函数、函数的应用

一、单项选择题

1.(2022·四川泸州模拟)函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数为(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

2.(2022·河北武邑中学模拟)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是(　　)

A. B. 

C.(0,1) D.

3.(2022·重庆模拟)已知二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+∞)内,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,4) B.(3,+∞) 

C.(3,4) D.(-∞,3)

4.(2022·海南海口二模)在DNA检测时,为了让标本中DNA的数量达到检测探针能检测到的阈值,通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量.在此过程中,DNA的数量Xn(单位:μg/μL)与PCR扩增次数n满足Xn=X0×1.6n,其中X0为DNA的初始数量.已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1 μg/μL,核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10 μg/μL,则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(　　)(参考数据:lg 1.6≈0.20,ln 1.6≈0.47)

A.5 B.10 C.15 D.20

5.(2022·山东潍坊二模)已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则以下说法正确的是(　　)

A.a+b<0 B.ab<-1 

C.0<ab<1 D.loga|b|>0

6.(2022·山东日照模拟)函数f(x)=1+sin πx-xsin πx在区间上的所有零点之和为(　　)

A.0 B.3 

C.6 D.12

7.(2022·陕西西安一模)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)恰有3个零点,则实数a的取值范围为(　　)

A. B. 

C. D.

8.(2022·广东佛山模拟)已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是(　　)

A.2 B.3 

C.4 D.5

二、多项选择题

9.(2022·河北保定一模)已知a,b分别是方程2x+x=0,3x+x=0的两个实数根,则下列选项中正确的是(　　)

A.-1<b<a<0 B.-1<a<b<0

C.b·3a<a·3b D.a·2b<b·2a

10.(2022·江苏苏锡常镇三模)已知函数y=x+ex的零点为x1,y=x+ln x的零点为x2,则(　　)

A.x1+x2>0 B.x1x2<0

C.+ln x2=0 D.x1x2-x1+x2<1

11.(2022·福建莆田三模)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-a,则下列结论正确的是(　　)

A.若g(x)有3个不同的零点,则a的取值范围是[1,2)

B.若g(x)有4个不同的零点,则a的取值范围是(0,1)

C.若g(x)有4个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则x3+x4=4

D.若g(x)有4个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则x3x4的取值范围是

12.(2022·山东烟台三模)某公司通过统计分析发现,工人工作效率E与工作年限r(r>0),劳累程度T(0<T<1),劳动动机b(1<b<5)相关,并建立了数学模型E=10-10T·b-0.14r.已知甲、乙为该公司的员工,则下列说法正确的有(　　)

A.甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高,劳动动机低,则甲比乙劳累程度强

B.甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率高,工作年限短,则甲比乙劳累程度弱

C.甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限长,劳动动机高,则甲比乙工作效率高

D.甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限长,劳累程度弱,则甲比乙工作效率高

三、填空题

13.(2022·北京昌平二模)若函数f(x)=有且仅有两个零点,则实数b的一个取值可以为　　　　　. 

14.(2022·福建泉州模拟)函数f(x)=x-3+lg x的零点所在区间为(n,n+1)(n∈N*),则n=　　　　　. 

15.(2022·江苏连云港模拟)建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计.组合墙是指带有门或窗等的隔墙,假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件,各种部件的面积分别为S1,S2,…,Sn(单位:m2),其相应的透射系数分别为τ1,τ2,…,τn,则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定:,于是组合墙的实际隔声量(单位:dB)为R=4ln.已知某墙的透射系数为,面积为20 m2,在墙上有一门,其透射系数为,面积为2 m2,则组合墙的平均隔声量约为　　　　　dB.(注:e0.693≈2,e1.609≈5) 

16.(2022·广东广州二模)函数f(x)=sin πx-ln|2x-3|的所有零点之和为　　　　　. 

考点突破练16　基本初等函数、函数的应用

1.B　解析由于函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0,故函数在(1,3)上有唯一零点,也即在(0,+∞)上有唯一零点.

2.A　解析因为f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,所以有解得≤a<.

3.C　解析二次函数y=x2-4x+a,对称轴为x=2,开口向上,

在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,

要使二次函数f(x)=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+∞)内,需解得3<a<4,故实数a的取值范围是(3,4).

4.B　解析由题意知X0=0.1,Xn=10,令10=0.1×1.6n,得1.6n=100,取以10为底的对数得nlg1.6=2,

所以n=≈10.

5.C　解析由图象可知f(x)在定义域内单调递增,所以a>1,

令f(x)=loga(x-b)=0,即x=b+1,所以函数f(x)的零点为b+1,结合函数图象可知0<b+1<1,所以-1<b<0,因此a+b>0,故A错误;

易知ab<-1不一定成立,故B错误;

因为a-1<ab<a0,即<ab<1,且0<<1,所以0<ab<1,故C正确;

因为0<|b|<1,所以loga|b|<loga1,即loga|b|<0,故D错误.

6.C　解析函数f(x)=1+sinπx-xsinπx的零点就是函数y=sinπx与y=的图象公共点的横坐标.如图,因为函数y=sinπx与y=的图象均关于点(1,0)成中心对称,

且函数y=sinπx与y=的图象在区间上共有6个公共点,它们关于点(1,0)对称,

所以函数f(x)在区间上共有6个零点,它们的和为3×2=6.

7.B　解析令g(x)=f(x)-loga(x+1)=0,可得f(x)=loga(x+1),

所以曲线y=f(x)与曲线y=loga(x+1)有三个交点,

当a>1时,曲线y=f(x)与曲线y=loga(x+1)只有一个交点,不符合题意;

当0<a<1时,若使得曲线y=f(x)与曲线y=loga(x+1)有三个交点,则解得<a<,故选B.

8.D　解析令t=f(x)+1=

①当t>0时,f(t)=lnt-,则函数f(t)在(0,+∞)上单调递增,由于f(1)=-1<0,f(2)=ln2->0,由零点存在定理可知,存在t1∈(1,2),使得f(t1)=0;

②当t≤0时,f(t)=t2+2t,由f(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0.作出函数t=f(x)+1的图象,直线t=t1,t=-2,t=0,如下图所示:

由图象可知,直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;

直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点.

综上所述,函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5.

9.BD　解析函数y=2x,y=3x,y=-x在同一坐标系中的图象如下:

所以-1<a<b<0,所以2a<2b,3a<3b,0<-b<-a,

所以-b·2a<(-a)·2b,-b·3a<(-a)·3b,

所以a·2b<b·2a,b·3a>a·3b.

10.BCD　解析x1,x2分别为直线y=-x与y=ex和y=lnx的交点的横坐标,

因为函数y=ex与函数y=lnx互为反函数,

所以这两个函数的图象关于直线y=x对称,

而直线y=-x,y=x的交点是坐标原点,

故x1+x2=0,x1x2<0,x2∈(0,1),x1∈(-1,0),+lnx2=-x1-x2=0,

x1x2-x1+x2-1=(x1+1)(x2-1)<0,故x1x2-x1+x2<1,故A错误,B,C,D项正确.

11.BCD　解析令g(x)=f(x)-a=0得f(x)=a,

即g(x)零点个数为函数y=f(x)的图象与函数y=a的图象交点个数,作出函数y=f(x)与y=a的图象如图,

由图可知,若g(x)有3个不同的零点,则a的取值范围是[1,2)∪{0},故A选项错误;

若g(x)有4个不同的零点,则a的取值范围是(0,1),故B选项正确;

若g(x)有4个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),此时x3,x4关于直线x=2对称,

所以x3+x4=4,故C选项正确;

由C选项可知x3=4-x4,所以x3x4=(4-x4)x4=-+4x4,由于g(x)有4个不同的零点,

a的取值范围是(0,1),故0<-4+16x4-13<1,所以<-+4x4<,故D选项正确.

12.BCD　解析设甲与乙的工作效率为E1,E2,工作年限为r1,r2,劳累程度为T1,T2,劳动动机为b1,b2,

对于A,r1=r2,E1>E2,b1<b2,0<<1,

∴E1-E2=10(T2·b2-T1·b1)>0,T2·b2>T1·b1,

>1,∴T2>T1,即甲比乙劳累程度弱,故A错误;

对于B,b1=b2,E1>E2,r1<r2,∴E1-E2=10(T2·b2-T1·b1)>0,T2·b2>T1·b1,

∴>1,

∴T2>T1,

即甲比乙劳累程度弱,故B正确.

对于C,T1=T2,r1>r2,b1>b2,

∴1>b2-0.14>b1-0.14>0,b2>b1>b1,

则E1-E2=10-10T1·b1-(10-10T2·b2)=10T1(b2-b1)>0,

∴E1>E2,即甲比乙工作效率高,故C正确;

对于D,b1=b2,r1>r2,T1<T2,1<b<5,0<b2-0.14<1,

∴b2>b1>0,T2>T1>0,

则E1-E2=10-10T1·b1-(10-10T2·b2)=10(T2·b2-T1·b1)>0,

∴E1>E2,即甲比乙工作效率高,故D正确.

13.(答案不唯一)　解析令f(x)=0,当x≥0时,由=0得x=0,即x=0为函数f(x)的一个零点,

故当x<0时,2x-b=0有一解,得b∈(0,1).

14.2　解析因为f(x)=x-3+lgx,所以函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,

且f(1)=1-3+lg1=-2<0,f(2)=2-3+lg2=lg2-1<0,f(3)=3-3+lg3=lg3>0,

所以f(2)·f(3)<0,即函数f(x)=x-3+lgx的零点位于(2,3)内,即n=2.

15.27.624　解析由题意得:组合墙的透射系数的平均值=10-3,

故组合墙的平均隔声量为R=4ln=4ln103=12ln10,

设ln10=k,则ek=10,

由于e0.693≈2,e1.609≈5,故e0.693+1.609=e2.302≈10,故k≈2.302,所以R=12ln10≈12×2.302=27.624.

16.9　解析由f(x)=0⇔sinπx=ln|2x-3|,令y=sinπx,y=ln|2x-3|,显然y=sinπx与y=ln|2x-3|的图象都关于直线x=对称,在同一坐标系内作出函数y=sinπx,y=ln|2x-3|的图象,如图,

观察图象知,函数y=sinπx,y=ln|2x-3|的图象有6个公共点,其横坐标依次为x1,x2,x3,x4,x5,x6,这6个点两两关于直线x=对称,有x1+x6=x2+x5=x3+x4=3,

则x1+x2+x3+x4+x5+x6=9,

所以函数f(x)=sinπx-ln|2x-3|的所有零点之和为9.