2023届高考数学二轮复习专题二基本初等函数、函数与方程作业含答案

专题强化训练(二)

一、单项选择题

1.(2022·山东济南二模)已知ln 2=a,ln 3=b,那么log32用含a,b的代数式表示为(　B　)

A.a-b   B.   C.   D.a+b

解析:由换底公式,得log32==.故选B.

2.(2021·江苏金陵中学高三模拟)函数f(x)=2x+ln x-1的零点所在的区间为(　D　)

A.(1,) B.(,2) C.(0,) D.(,1)

解析:函数f(x)=2x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增,由f(1)=1>0, f()=-ln 2-1<-ln 2-1=-ln 2<-ln=-=0,

可得函数f(x)的零点所在的区间为(,1).故选D.

3.(2022·湖北武汉二模)已知a=eln 2,b=log34,c=21.1,则(　B　)

A.a>b>c B.c>a>b

C.a>c>b D.c>b>a

解析:因为a=eln 2=2,b=log34<log39=2=a,c=21.1>21=a,所以c>a>b.

故选B.

4.(2022·山东聊城一模)随着经济的发展和社会的进步,人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3,排放前每过滤一次,该污染物的含量都会减少20%,当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3,若要使该工厂的废气达标排放,那么该污染物排放前至少过滤(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.477)(　C　)

A.5次   B.7次  C.8次 D.9次

解析:设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*),由题意得

1.2×0.8n≤0.2,即()n≥6,

两边同时取以10为底的对数可得lg≥lg 6,

即nlg()≥lg 2+lg 3,

所以n≥,因为lg 2≈0.3,lg 3≈0.477,

所以≈=7.77,

所以n≥7.77,又n∈N*,所以nmin=8,即该污染物排放前至少过滤8次.故选C.

5.(2022·河北石家庄模拟预测)若·x3=-ln x2·x3=-1,则下列不等关系一定不成立的是(　D　)

A.x1<x3<x2   B.x3<x1<x2

C.x3<x2<x1   D.x1<x2<x3

解析:由·x3=-ln x2·x3=-1,得=-ln x2=-.由>0,得0<x2<1,x3<0,

作出函数y=e-x,y=-ln x,y=-(x<0)的图象,再作直线y=m.

变换m的值发现:x1<x3<x2,x3<x1<x2,x3<x2<x1均能够成立,D不可能成立.故选D.

6.(2021·浙江温州瑞安中学高三模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+2)=f(-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数y=f(x)-x3的零点个数是(　B　)

A.2 B.3 C.4 D.5

解析:由f(x+2)=f(-x)可得f(x)的图象关于直线x=1对称,由函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x+2)=f(-x)=-f(x)=-[-f(x-2)]= f(x-2),所以f(x)的周期为4.

函数y=f(x)-x3的零点问题,即函数y=f(x)和y=x3的图象交点问题,

根据f(x)的性质结合y=x3的图象,可得大致图象如图所示,

由图象可得共有3个交点,故函数y=f(x)-x3共有3个零点.故选B.

7.(2020·全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,则(　B　)

A.a>2b B.a<2b

C.a>b2    D.a<b2

解析:法一　令f(x)=2x+log2x,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增, y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上单调递增.又2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log2(2b),所以f(a)<f(2b),所以a<2b.故选B.

法二(取特值法)　由2a+log2a=4b+2log4b=4b+log2b,取b=1,得2a+log2a=4,令f(x)=2x+log2x-4,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0,f(x)=2x+log2x-4在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以1<a<2,故a>2b=2,a<b2都不成立,排除A,D;取b=2,得2a+log2a=17,令g(x)=2x+log2x-17,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(3)<0,g(4)>0,所以g(3)g(4)<0,g(x)=2x+log2x-17在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以3<a<4,故a>b2=4不成立,排除C.故选B.

8.(2022·广东模拟预测)让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶,法国欧塞尔人,著名数学家、物理学家.他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示,如定义在R上的偶函数f(x)=+4cos nx满足f(2π-x)=f(x),且当x∈[0,π]时,有f(x)=x2,已知函数g(x)=f(x)-a(x+π)有且仅有三个零点,则a的取值范围是(　A　)

A.(-,-)∪(,)

B.(-,)

C.(-,-)∪(,)

D.(-,)

解析:令h(x)=a(x+π),则h(x)的图象是过点(-π,0),斜率为a的

直线.

由f(2π-x)=f(x)可知f(x)的图象关于直线x=π对称.

又f(x)为偶函数,可画出f(x)和h(x)在同一平面直角坐标系下的图象(下图为a>0时的情况).

g(x)有且仅有三个零点,则f(x)和h(x)的图象有且仅有三个交点.

当a=0时,显然不成立,当a>0时,由图可得解得<a<.

当a<0时,由对称性知-<a<-.所以a的取值范围是(-,-)∪(,).故选A.

二、多项选择题

9.(2022·广东韶关二模)已知10a=2,102b=5,则下列结论正确的是(　ABC　)

A.a+2b=1 B.ab<

C.ab>(lg 2)2 D.a>b

解析:由题可知a=lg 2,b=lg 5=lg ,又>2,所以a<b,D错误;

因为10a·102b=10a+2b=10,有a+2b=1,A正确;

由基本不等式得a+2b≥2,所以ab≤,当且仅当a=2b时,取等号,又因为a=lg 2,2b=lg 5,所以a≠2b,故ab<,B正确;

由于a=lg 2>0,b=lg >lg 2,所以ab>(lg 2)2,C正确.故选ABC.

10.(2022·江苏南京模拟预测)已知函数f(x)=函数y=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则(　AC　)

A.a的取值范围是(0,1)

B.x2-x1的取值范围是(0,1)

C.x3+x4=4

D.=2

解析:函数y=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,即方程f(x)=a有四个不同的解.

f(x)的图象如图所示,由图可知0<a<1,x1<0,0<x2<1,所以x2-x1>0,即x2-x1的取值范围是(0,+∞).

由二次函数的对称性,可得x3+x4=4.因为1-=-1,所以+=2,故=.故选AC.

11.(2022·湖北七市联考)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家经过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M,则下列说法正确的是(　ACD　)

A.地震释放的能量为1015.3焦耳时,地震里氏震级约为七级

B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍

C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1 000倍

D.记地震里氏震级为n(n=1,2,…,9,10),地震释放的能量为an,则数列{an}是等比数列

解析:对于A,当E=1015.3时,由题意得lg 1015.3=4.8+1.5M,解得M=7,即地震里氏震级约为七级,故A正确;

对于B,八级地震即M=8时,lg E1=4.8+1.5×8=16.8,解得E1=1016.8,所以==101.5>10≠6.3,所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的101.5倍,故B错误;

对于C,六级地震即M=6时,lg E2=4.8+1.5×6=13.8,解得E2=1013.8,所以==103=1 000,即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1 000倍,故C正确;

对于D,由题意得lg an=4.8+1.5n(n=1,2,…,9,10),所以an=104.8+1.5n,所以an+1=104.8+1.5(n+1)=106.3+1.5n,所以==101.5,即数列{an}是等比数列,故D正确.故选ACD.

12.(2022·福建莆田二中模拟预测)

已知函数g(x)=loga(x+k)(a>0且a≠1)的图象如图所示.函数f(x)=(k-1)ax-a-x的图象上有两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),则(　BCD　)

A.a>1,k>2

B.f(x)在R上是奇函数

C.f(x)在R上是增函数

D.当x≥0时,2f(x)≤f(2x)

解析:对于A,由题图可知,函数g(x)=loga(x+k)(a>0且a≠1)在

(-2,+∞)上单调递增,所以a>1,因为g(x)经过(-1,0),所以g(-1)=loga(-1+k)=0,所以a0=-1+k,k=2,故A错误;对于B,f(x)=ax-a-x,定义域R关于原点对称,f(-x)=a-x-ax=-f(x),所以f(x)在R上是奇函数,故B正确;

对于C,对于f(x)=ax-a-x,由题意不妨设x1>x2,x1∈R,x2∈R,则f(x1)-

f(x2)=(-)-(-)=(-)+=,因为x1>x2,x1∈R,x2∈R,a>1,所以+1>0,>0,->0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上是增函数,故C正确;

对于D,2f(x)-f(2x)=2(ax-a-x)-(a2x-a-2x)=2(ax-a-x)-(ax-a-x)(ax+a-x)=

(ax-a-x)(2-ax-a-x)=()·()==,因为a>1,x≥0,所以ax+1>0,≥0,a2x>0,所以≤0,当且仅当x=0时,等号成立,即当x≥0时,2f(x)≤f(2x)成立,故D正确.故选BCD.

三、填空题

13.(2022·四川成都七中三模)已知函数f(x)=

则函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数为　　　　. 

解析:函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数等价于函数f(x)与y=ln(x-1)的图象的交点个数,

作出函数f(x)与y=ln(x-1)的图象,如图.

由图可知,函数f(x)与y=ln(x-1)的图象有3个交点,故函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数为3.

答案:3

14.(2022·福建龙岩一模)已知函数f(x)=9x-m·3x+m+6,若方程f(-x)+f(x)=0有解,则实数m的取值范围是　　　　. 

解析:由题意得9x+9-x-m(3x+3-x)+2m+12=0有解,令3x+3-x=t(t≥2),则9x+9-x=t2-2,

所以t2-mt+2m+10=0有解,即m(t-2)=t2+10有解,显然t=2无意义,所以t>2,令t-2=y(y>0),

所以m==y++4≥2+4,当且仅当y=,即y=时取等号,所以m∈[2+4,+∞).

答案:[2+4,+∞)

15.(2022·湖南岳阳一模)已知函数f(x)=若x1<x2且f(x1)=f(x2),f(x1)+f(x3)=4,则的取值范围是　　　　.

解析:画出f(x)的图象如图所示,

由图可知x1+x2=-6,0<f(x1)≤2.当x3≠x2时,2<f(x3)<4且f(x3)= log2(x3+1),

因为f(x1)+f(x3)=4,所以2<log2(x3+1)<4⇒3<x3<15,=∈(-,-).

当x3=x2时,x3=x2=3,x1=-6-x2=-9,=-,所以的取值范围是(-,-].

答案:(-,-]

16.(2022·江苏四市联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(|x|+1)=2f(|x|-1).若当x∈(0,1)时,f(x)=1-|2x-1|,则f(x)在区间(-1,3)上的值域为　　　　,g(x)=f(x)-x在区间(-1,3)内的所有零点之和为　　　　. 

解析:当x∈(0,1)时,f(x)=1-|2x-1|,可得当x∈(0,)时,f(x)=

1+2x-1=2x,当x∈[,1)时,f(x)=1-2x+1=2-2x,又f(x)是奇函数,可得函数图象关于原点对称.又当x∈(0,1)时,f(|x|+1)=2f(|x|-1),即f(x+1)=2f(x-1),即f(x+2)=2f(x),

即函数图象右移两个单位长度,函数值变为原来的2倍,由此可得函数在(-1,3)上的图象如图所示.

结合图象可知f(x)在区间(-1,3)上的值域为[-2,2];令g(x)=

f(x)-x=0,即f(x)=x,即将g(x)的零点问题转化为y=f(x)与y=x的图象的交点问题,画出y=x的图象,由图象可知4个交点的横坐标依次为x1,0,x2,,又y=f(x)和y=x均是奇函数,故x1+x2=0,故x1+0+x2+=.

答案:[-2,2]