2023届高考数学二轮复习专题三不等式作业含答案

专题强化训练(三)

一、单项选择题

1.若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列说法正确的是(　D　)

A.ac2<bc2 B.<

C.>   D.a2>ab>b2

解析:当c=0时,A错误;-=>0,B错误;-==<0,C错误;由a<b<0,得a2>ab>b2,D正确.故选D.

2.不等式≤x-2的解集是(　B　)

A.(-∞,0]∪(2,4] B.[0,2)∪[4,+∞)

C.[2,4)          D.(-∞,2)∪(4,+∞)

解析:当x-2>0,即x>2时,(x-2)2≥4,即x-2≥2,所以x≥4,

当x-2<0,即x<2时,(x-2)2≤4,即-2≤x-2<0,所以0≤x<2,综上,0≤x<2或x≥4.故选B.

3.(2022·广东江门模拟预测)已知a,b∈R,则“ab≥1”是“a2+b2≥2”的(　A　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:当ab≥1时,由a2+b2≥2ab≥2,故充分性成立,当a2+b2≥2时,比如a=1,b=-2,满足a2+b2≥2,但ab=-2<1,故必要性不成立.故选A.

4.(2022·湖南岳阳二模)已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为(m,),其中m<0,则+的最小值为(　C　)

A.-2 B.1 C.2 D.8

解析:ax2+2bx+4<0的解集为(m,),则ax2+2bx+4=0的两根为m,,所以m·=,所以a=1.m+=-2b,则2b=-m+≥4,即b≥2,

+=+≥2,当且仅当b=4时取等号.故选C.

5.(2022·江苏无锡模拟预测)已知实数a,b满足如下两个条件:(1)关于x的方程3x2-2x-ab=0有两个异号的实根;(2)+=1,若对于上述的一切实数a,b,不等式a+2b>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(　A　)

A.(-4,2) 

B.(-2,4)

C.(-∞,-4]∪[2,+∞) 

D.(-∞,-2]∪[4,+∞)

解析:设方程3x2-2x-ab=0的两个异号的实根分别为x1,x2,

则x1x2=-<0,所以ab>0.

又+=1,所以a>0,b>0,

则a+2b=(a+2b)(+)=4++≥4+2=8(当且仅当a=4,b=2时取等号),

由不等式a+2b>m2+2m恒成立,得m2+2m<8,解得-4<m<2.

所以实数m的取值范围是(-4,2).故选A.

6.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(　B　)

A.3 B.4 C.    D.

解析:由题意得x+2y=8-x·2y≥8-()2,当且仅当x=2y时,等号

成立,

整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,

又x+2y>0,所以x+2y≥4,所以x+2y的最小值为4.故选B.

7.(2022·山东模拟预测)已知非零实数m,n满足em>en,则下列关系式一定成立的是(　D　)

A.< 

B.ln(m2+1)>ln(n2+1)

C.m+>n+ 

D.m|m|>n|n|

解析:因为em>en,所以m>n.取m=1,n=-2,得>,故A不正确;

取m=1,n=-2,得m2+1<n2+1,所以ln(m2+1)<ln(n2+1),故B不正确;

取m=,n=,得m+<n+,故C不正确;

当m>n>0时,则m2>n2,所以m|m|-n|n|=m2-n2>0,所以m|m|>n|n|,

当0>m>n时,则m2<n2,m|m|-n|n|=-m2-(-n2)=n2-m2>0,所以m|m|>n|n|,

当m>0>n时,m|m|>0>n|n|,所以m|m|>n|n|,综上得D正确.故选D.

8.若0<x<y<z,且xyz=1,则下列关系式不一定成立的是(　D　)

A.lg y+lg z>0 B.2y+2z>4

C.x+z2>2       D.x2+z>2

解析:因为0<x<y<z,且xyz=1,yz=,所以0<x<1,且z>1.

对于A,lg y+lg z=lg yz=lg ,因为0<x<1,故>1,lg >lg 1=0,故lg y+lg z>0成立;

对于B,2y+2z≥2,其中y+z≥2=2>2,故2y+2z≥2> 2=4,故 2y+2z>4成立;

对于C,x+z2≥2=2,又0<y<z,故>1,所以2>2,故x+z2>2成立;

对于D,因为x2+z≥2=2,而0<x<y,则0<<1,所以x2+z>2不一定成立.故选D.

二、多项选择题

9.(2022·福建三明模拟预测)设a<b<c,且a+b+c=0,则(　BC　)

A.ab<b2 B.ac<bc

C.<   D.<1

解析:因为a<b<c,a+b+c=0,所以a<0<c,b的符号不能确定.

当b=0时,ab=b2,故A错误;

因为a<b,c>0,所以ac<bc,故B正确;

因为a<0<c,所以<,故C正确;

因为a<b,所以-a>-b,所以c-a>c-b>0,所以>1,故D错误.故选BC.

10.(2022·湖南常德一模)下列不等式一定成立的是(　AD　)

A.log1.11.3>log1.11.2 

B.0.71.3>0.71.2

C.x+≥2

D.+≥4

解析:对于A,因为y=log1.1x在定义域上单调递增,

所以log1.11.3>log1.11.2,故A正确;

对于B,因为y=0.7x在定义域上单调递减,所以0.71.3<0.71.2,故B错误;

对于C,当x<0时,x+=-(-x+)≤-2=-2,当且仅当-x=,即x=-1时取等号,故C错误;

对于D,+=+=1+++1≥2+2=4,当且仅当=,即cos2x=sin2x时取等号,

故D正确.故选AD.

11.(2022·河北石家庄二模)设正实数m,n满足 m+n=2,则下列说法正确的是(　AB　)

A.+的最小值为2

B.mn的最大值为1

C.+的最大值为4

D.m2+n2的最小值为

解析:因为正实数m,n满足m+n=2,

所以+=(+)=(2++)≥2,当且仅当m=n=1时取等号,A正确;mn≤()2=1,当且仅当m=n=1时取等号,B正确;

(+)2=2+2≤4,当且仅当m=n=1时取等号,所以+≤2,C错误;

m2+n2=(m+n)2-2mn=4-2mn≥2,当且仅当m=n=1时取等号,D错误.

故选AB.

12.(2022·江苏南通模拟预测)若a=log23-1,2b=,则下列结论正确的是(　AC　)

A.a+b=2 B.a-b<-1

C.+>2 D.ab>1

解析:由题意可得a=log23-1=log2,b=log2.

对于A,a+b=log2+log2=log2(×)=log24=2,所以A正确;

对于B,因为a-b=(log23-1)-(log28-log23)=2log23-4,

所以a-b+1=2log23-3=log29-log223=log29-log28>0,所以a-b>-1,

所以B错误;

对于C,因为a>0,b>0,a+b=2,所以+=(+)(a+b)=(2++)≥(2+2)=2,当且仅当a=b时取等号,而a≠b,所以取不到等号,所以+>2,所以C正确;

对于D,因为<<2,所以log2<log2<log22,所以<log2<1,即<a<1,因为a+b=2,所以b=2-a,所以ab=a(2-a)=-(a-1)2+1,因为<a<1,所以<-(a-1)2+1<1,即<ab<1,所以D错误.故选AC.

三、填空题

13.当x∈(0,+∞)时,关于x的不等式mx2-(m+1)x+m>0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　　. 

解析:因为x∈(0,+∞),mx2-(m+1)x+m>0恒成立,所以m(x2-x+1)>x恒成立,

又x2-x+1=(x-)2+>0,所以m>恒成立.

当x∈(0,+∞)时,=≤=1,当且仅当x=,即x=1时取等号.所以实数m的取值范围是(1,+∞).

答案:(1,+∞)

14.(2022·湖北八市联考)某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32 m2的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5 m,各试验区之间也空0.5 m.则每块试验区的面积的最大值为　　　　m2. 

解析:设矩形空地的长为x m,则宽为 m,

依题意可得,试验区的总面积为S=(x-0.5×4)(-0.5×2)=

34-x-≤34-2=18 m2,

当且仅当x=即x=8时等号成立,所以每块试验区的面积的最大值为=6 m2.

答案:6

15.(2022·湖南湘潭三模)已知正数a,b满足a+b=5,则+的最小值为　　　　. 

解析:因为a+b=5,所以+=(a+1+b)(+)=(2+++)≥(2+2+)=,

当且仅当a+1=2b,即a=3,b=2时,等号成立.

答案:

16.(2022·湖北七市联考)已知函数f(x)=x+(x>0),若的最大值为,则正实数a=　　　　. 

解析:令t=x+(x>0),则t≥2,则==,

令y=t+(a>0,t≥2),

当0<a≤4时,y=t+在[2,+∞)上单调递增,y=t+≥2+a,

则0<≤,即的最大值为,则=,解得a=1.

当a>4时,t+≥2(当且仅当t=时,等号成立),则0<≤,

即的最大值为,则=,解得a=(舍去).

综上,所求正实数a=1.

答案:1