2023届高考数学二轮复习专题八三角恒等变换与解三角形作业含答案

专题强化训练(八)

一、单项选择题

1.(2022·河北张家口三模)已知tan=-2,则=(　A　)

A.-     B.-      C.       D.

解析:tan α==,

所以===

-cos α(cos α+sin α)=-=-=-.故选A.

2.(2022·广东梅州一模)在△ABC中,若A=,B=,a=3,则b=(　B　)

A.4        B.2      C.        D.

解析:在△ABC中,若A=,B=,a=3,由正弦定理=得b==

==2,所以b=2.故选B.

3.(2022·湖南宁乡模拟预测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2bsin A=a,则B=(　D　)

A.    B.或

C.    D.或

解析:因为在△ABC中,2bsin A=a,所以2sin Bsin A=sin A,

因为sin A≠0,所以sin B=,因为B∈(0,π), 所以B=或.故

选D.

4.(2022·山东泰安一模)已知sin(-α)=,则sin(-2α)等于(　B　)

A.       B.-      C.±      D.-

解析:sin(-2α)=sin[2(-α)-]=-cos[2(-α)]=-[1-2sin2(-α)]=-(1-)=-.故选B.

5.(2022·湖南衡阳二模)黄金分割的数值约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin 18°,若m2+n=4,则=(　C　)

A.8 B.4 C.2 D.1

解析:因为m=2sin 18°,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin2 18°=

4cos2 18°.

所以=====2.故选C.

6.(2022·湖南衡阳二模)设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sin  A-sin C),设D是BC边的中点,且△ABC的面积为1,则·(+)等于(　B　)

A.2     B.2     C.-2      D.-2

解析:因为(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sin A-sin C),所以由正弦定理可得(b+c)b=(a+c)(a-c),整理可得b2+c2-a2=-bc,所以由余弦定理可得cos A=-,由A∈(0,π),可得A=.又△ABC的面积为1,即bcsin=1,所以bc=4.

又·(+)=(-)·(+)=-=-=

-=-=-·=-bccos A=2.故选B.

二、多项选择题

7.(2022·重庆八中模拟预测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是(　ACD　)

A.=

B.若A>B,则sin 2A>sin 2B

C.a=bcos C+ccos B

D.若(+)·=0,且·=,则△ABC为等边三角形

解析:由==,根据等比的性质有=,A正确;

当A=,B=时,有sin 2A=sin 2B,B错误;

sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),而B+C=π-A,即sin Bcos C+

sin Ccos B=sin A,由正弦定理易得a=bcos C+ccos B,C正确;

如图,=,=,两者都是单位向量,则+=+=,即·=0,·=,则⊥且AG平分∠BAC,,的夹角为, 易知△ABC为等边三角形,D正确.故选ACD.

8.(2022·河北石家庄二中模拟预测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有(　AC　)

A.a=2,b=3,c=4

B.·=-2a

C.=

D.b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C

解析:因为a=2,b=3,c=4,所以角C最大,

由cos C==-<0⇒<C<π,所以△ABC是钝角三角形,A正确;

由·=-2a⇒-cacos B=-2a⇒ccos B=2⇒B∈(0,),不能判断

△ABC是钝角三角形,B不正确;

根据正弦定理,由=⇒=⇒a2=b2+c2+bc,

由余弦定理可知cos A===-⇒A=,所以△ABC是钝角三角形,C正确;

根据正弦定理,由b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C⇒sin2Bsin2C+sin2

Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C⇒sin Bsin C=cos Bcos C⇒

cos(B+C)=0⇒cos(π-A)=0⇒cos A=0⇒A=,所以△ABC是直角三角形,

D不正确.故选AC.

三、填空题

9.(2022·河北石家庄一模)已知角α∈(0,),tan=,则

α=　　　　　. 

解析:因为tan=,

所以=,

所以sin(cos α+cos)=cos(sin α-sin),

所以sincos α+sincos=cossin α-cossin,所以sincos+cossin=cossin α-sincos α,

所以sin=sin(α-),因为α∈(0,),所以α-∈(-,),所以=α-,

则α=+=.

答案:

10.(2022·浙江嘉兴二模)在锐角三角形ABC中,AB=3,∠B=,点D在线段BC上,且DC=2BD,AD=,则sin∠ADC=　　　　,AC=　　　　.

解析:在△ABD中,由正弦定理得=,即=,解得

sin∠ADB=,

所以sin∠ADC=sin(π-∠ADB)=sin∠ADB=.

由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,

即7=9+BD2-3BD,解得BD=1或BD=2.

当BD=1时,BC=3,此时AB=BC且B=,即△ABC为等边三角形,则AC=3.

当BD=2时,BC=6,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·

BCcos B,

即AC2=9+36-2×3×6×=27,解得AC=3,此时AC2+AB2=BC2,即△ABC为直角三角形,不符合题意,故舍去.

答案:　 3

四、解答题

11.(2022·广东潮州二模)已知在△ABC中,A,B,C为三个内角,所对的三边分别为a,b,c,c=2bcos B,C=.

(1)求角B的大小;

(2)在下列两个条件中选择一个作为已知,求出BC边上的中线的

长度.

①△ABC的面积为;

②△ABC的周长为4+2.

解:(1)由c=2bcos B,及正弦定理可得sin C=2sin Bcos B,

所以sin 2B=sin=.因为C=,所以B∈(0,),2B∈(0,),

所以2B=,解得B=.

(2)若选择①,由(1)可得A=,即a=b,

则S△ABC=absin C=a2·=,

解得a=,

则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为

==.

若选择②,由(1)可得A=,设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得a=b=2Rsin=R,c=2Rsin=R,则周长为a+b+c=2R+R=4+2,解得R=2,则a=2,c=2,

由余弦定理可得BC边上的中线的长度为=.

12.(2022·广东江门模拟预测)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(a+b)(sin  A-sin B)=(a-c)sin C.

(1)求B的大小;

(2)若c=2,求a的取值范围.

解:(1) 因为(a+b)(sin A-sin B)=(a-c)sin C,所以由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(a-c)c,化简得a2+c2-b2=ac,

所以由余弦定理得cos B===,

因为B∈(0,π),所以B=.

(2) 因为B=,所以A+C=π-B=,

由正弦定理,得=,

所以a=·sin A===+,

因为△ABC为锐角三角形,

所以得<C<,

所以tan C>,

所以0<<3,所以<+<4,

所以<a<4,即a的取值范围为(,4).