2023届高考数学二轮复习专题十八直线与圆作业含答案

专题强化训练(十八)

一、单项选择题

1.已知点P(1,2),则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时,

a=(　B　)

A.1 B.- 

C.    D.

解析:因为直线恒过定点A(0,4),则当PA与直线2ax+y-4=0垂直时,点P到该直线的距离最大,此时过点P,A的直线的斜率为-2,所以直线2ax+y-4=0的斜率为,即-2a=,所以a=-.故选B.

2.(2022·山东济南模拟)已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,

l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,则+的最小值为(　D　)

A.2 B.4 

C.    D.

解析:已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,

所以1×2b+(a-4)×1=0,即a+2b=4,

则+=·(+)=(1+++1)≥(2+2)=,

当且仅当2b=a+1,即a=,b=时,取等号,故+的最小值为.

故选D.

3.(2022·浙江临海模拟预测)已知M为直线y=x+1上的动点,N为圆x2+y2+2x+4y+4=0上的动点,则|MN|的最小值是(　D　)

A. B.2- 

C.1 D.-1

解析:由圆x2+y2+2x+4y+4=0,得(x+1)2+(y+2)2=1,可得圆心的坐标为(-1,-2),半径为1,

圆心到直线x-y+1=0的距离d==,而M为直线y=x+1上的动点,N为圆x2+y2+2x+4y+4=0上的动点,则|MN|的最小值是-1.故

选D.

4.从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为C,D,则∠CPD最大时,四边形OCPD(O为坐标原点)的面积是(　B　)

A.  B.2 

C.2  D.2

解析:圆x2+y2=1的圆心为坐标原点O,建立平面直角坐标系,如图,则∠OPC=∠OPD,

设∠OPC=∠OPD=θ,则∠CPD=2θ,OC⊥PC,则sin θ==,

当|OP|取最小值时,OP⊥l,此时|OP|==3,

因为|PC|=|PD|==2,|OC|=|OD|,|OP|=|OP|,故△OPC≌△OPD,此时S四边形OCPD=2S△OPC=|OC|·|PC|=1×2=2.故选B.

5.(2022·安徽合肥二模)已知直线l1:mx-y=0(m∈R)过定点A,直线l2:x+my+4-2m=0过定点B,l1与l2的交点为C,则△ABC面积的最大值为(　C　)

A. B.2 

C.5 D.10

解析:直线l1:mx-y=0(m∈R)过定点A(0,0),直线l2:x+my+4-2m=0过定点B(-4,2),

联立消去m得(x+2)2+(y-1)2=5,又A(0,0),

B(-4,2)在圆(x+2)2+(y-1)2=5上,且线段AB为圆的直径,

故|CA|2+|CB|2=20≥2|CA||CB|,所以|CA||CB|≤10,

当且仅当|CA|=|CB|=时,取等号,△ABC面积S=|CA|·|CB|的最大值为5.故选C.

6.(2022·甘肃二模)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠,他研究发现:如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0,且λ≠1),那么点P的轨迹为圆,这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到A(-1,0),B(1,0)的距离之比为,则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为(　A　)

A.2-   B.-

C.2      D.

解析:设C(x,y),则=,即=,化简得(x-2)2+y2=3,

所以点C的轨迹为以D(2,0)为圆心,r=的圆,则圆心D到直线x-2y+8=0的距离d==2,所以点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为2-.故选A.

7.(2022·江西模拟预测)设A(-2,0),B(2,0),O为坐标原点,点P满足|PA|2+|PB|2≤16,若直线kx-y+6=0上存在点Q使得∠PQO=,则实数k的取值范围为(　C　)

A.[-4,4]

B.(-∞,-4]∪[4,+∞)

C.(-∞,-]∪[,+∞)

D.[-,]

解析:设P(x,y),因为|PA|2+|PB|2≤16,所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y2≤16,即x2+y2≤4,

所以点P的轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆面.若直线kx-y+6=0上存在点Q使得∠PQO=,

则PQ为圆x2+y2=4的切线时∠PQO最大,所以sin∠PQO==≥,即|OQ|≤4,

所以圆心到直线kx-y+6=0的距离d=≤4,所以k≤-或k≥.故选C.

8.(2022·广东铁一中学高三期末)已知m∈R,过定点A的动直线mx+y=0和过定点B的动直线x-my-m+3=0交于点P,则|PA|+|PB|的取值范围是(　D　)

A.(,2] B.(,]

C.[,) D.[,2]

解析:动直线mx+y=0过定点A(0,0),动直线x-my-m+3=0,

即x+3-m(y+1)=0过定点B(-3,-1),且两条直线垂直,

所以点P在以AB为直径的圆上,|AB|==,

设∠ABP=θ,则|PA|=sin θ,|PB|=cos θ,θ∈[0,],

所以|PA|+|PB|=sin θ+cos θ=2sin(θ+),

因为θ∈[0,],所以θ+∈[,],所以sin(θ+)∈[,1],

所以2sin(θ+)∈[,2].故选D.

二、多项选择题

9.(2022·山东淄博三模)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0

的交点为A,B,则(　ABD　)

A.圆O1和圆O2有两条公切线

B.直线AB的方程为x-y+1=0

C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|

D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+

解析:对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;

对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;

对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比线段AB长的弦,故C错误;

对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆O1的圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为=,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+,故D正确.故选ABD.

10.(2022·江苏通州高三期末)已知点A(4,3)在以原点O为圆心的圆上,B,C为该圆上的两点,满足=,则(　ABD　)

A.直线BC的斜率为

B.∠AOC=60°

C.△ABC的面积为25

D.B,C两点在同一象限

解析:=,则BC,OA平行且相等,kBC=kOA=,A正确;

因为|OB|=|OA|,所以四边形OACB是菱形,且△AOC,△BOC都是正三角形,即∠AOC=60°,B正确,

|OA|==5,S△ABC=×52×sin 120°=,C错误,

设BC所在直线方程为y=x+b,即3x-4y+4b=0,

因为|BC|=5,所以O到BC的距离为,则=,解得b=±,

当b=>5时,由y=x+,取y=0,可得x=-<-5,

则B,C均在第二象限;

当b=-<-5时,由y=x-,取y=0,可得x=>5,

则B,C均在第四象限.综上,B,C两点在同一象限,D正确.故选ABD.

11.(2022·湖北恩施高三期末)已知圆M:x2+(y-2)2=1,点P为x轴上的一个动点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与MP交于点C,则下列结论正确的是(　ACD　)

A.四边形PAMB周长的最小值为2+2

B.|AB|的最大值为2

C.直线AB过定点

D.存在点N使|CN|为定值

解析:如图所示.

设|MP|=t,则|AP|=|BP|=,所以四边形PAMB的周长为2+2,

当点P位于原点时,t取最小值2,故当t取最小值2时,四边形PAMB的周长取最小值为2+2,故A正确;

由S四边形PAMB=2S△PAM可得·|MP|·|AB|=2××|PA|×1,

则|AB|==2,而t≥2,则≤|AB|<2,故B错误;

设P(x0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则PA的方程为x1x+(y1-2)(y-2)=1,PB的方程为x2x+(y2-2)(y-2)=1,

而P(x0,0)在切线PA,PB上,故x1x0+(y1-2)×(-2)=1,

x2x0+(y2-2)×(-2)=1,故AB的直线方程为xx0+(y-2)×(-2)=1,

当x=0时,y=,即AB过定点(0,),故C正确;

由圆的切线性质可知MP⊥AB,设AB过定点D(0,),则点C位于以MD为直径的圆上,设MD的中点为N,则N(0,),则|CN|为定值,故D正确.故选ACD.

12.(2022·山东临沂高三期末)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:x2+y2=4,

P(x1,y1)在圆C1上,Q(x2,y2)在圆C2上,则(　ABD　)

A.|PQ|的取值范围是[1,3]

B.直线x1x+y1y=1是圆C1在点P处的切线

C.直线x1x+y1y=4与圆C2相交

D.直线x2x+y2y=1与圆x2+y2=相切

解析:圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为1,圆C2:x2+y2=4的圆心为C2(0,0),半径为2,

观察图象可得2-1≤|PQ|≤2+1,所以|PQ|的取值范围是[1,3],

A正确;

因为x1x1+y1y1=1,所以点P(x1,y1)在直线x1x+y1y=1上,

又C1(0,0)到直线x1x+y1y=1的距离d1==1,又圆C1的半径为1,

所以直线x1x+y1y=1是圆C1在点P处的切线,B正确;

因为点P(x1,y1)在圆C1上,所以+=1,

所以C2(0,0)到直线x1x+y1y=4的距离d2==4,又圆C2的半径为2,

所以直线x1x+y1y=4与圆C2相离,C错误;

圆x2+y2=的圆心为(0,0),半径为,点(0,0)到直线x2x+y2y=1的距离d3==,

所以直线x2x+y2y=1与圆x2+y2=相切,D正确.故选ABD.

三、填空题

13.过点P(2,2)的直线l1与圆(x-1)2+y2=1相切,则直线l1的方程为　　　　　　. 

解析:当过P(2,2)的直线l1斜率不存在时,方程为x=2,

与圆(x-1)2+y2=1相切,满足题意;

当过P(2,2)的直线l1斜率存在时,设方程为y-2=k(x-2),

即kx-y-2k+2=0,

所以圆(x-1)2+y2=1的圆心(1,0)到l1的距离d==1,解得k=,

所以l1:x-y+=0,即3x-4y+2=0,所以直线l1的方程为3x-4y+2=0或x=2.

答案:3x-4y+2=0或x=2

14.平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(2,1),在△ABC中,BC边上的高所在直线的斜率为,AC边上的中线所在直线的方程为y=1,则直线BC的一般式方程为　　　　　　　　　,以AC为直径的圆的标准方程为　　　　　　　　. 

解析:因为BC边上的高所在直线的斜率为,所以直线BC的斜率为-2,直线BC的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.

设C(x0,y0),因为AC边上的中线所在直线的方程为y=1,所以=1,

即y0=2,

因为直线BC的方程为2x+y-5=0,所以2x0+y0-5=0,

则x0=,C(,2),AC的中点为(,1),r2=(1+)2+1=,所以所求圆的标准方程为(x-)2+(y-1)2=.

答案:2x+y-5=0　(x-)2+(y-1)2=

15.(2021·浙江模拟预测)已知直线l:mx-y=1,若直线l与直线x-my-1=0平行,则实数m的值为　　　        　,动直线l被圆C:x2+y2+2x-24=0截得弦长的最小值为　　         　　. 

解析:由题意得m×(-m)-(-1)×1=0,所以m=±1.

当m=1时,两直线重合,舍去,故m=-1.因为圆C的方程x2+y2+2x-24=0可化为(x+1)2+y2=25,

即圆心为C(-1,0),半径为5.由于直线l:mx-y-1=0过定点P(0,-1),

所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短,且|PC|=,最短弦长为2×=2.

答案:-1　2

16.(2022·天津五十七中模拟)已知圆C过点P(0,1),Q(2,1)两点,且圆心C在x轴上,经过点M(-1,0)且倾斜角为钝角的直线l交圆C于A,B两点,若·=0(C为圆心),则该直线l的斜率为　       .

解析:由题意可知,PQ为圆C的弦,则圆心C在PQ的中垂线x=1上,又因为圆心在x轴上,

故圆心坐标为C(1,0),故圆的半径r=|PC|=,

因为过点M(-1,0)的直线l交圆C于A,B两点,且·=0(C为圆心),

则△CAB为等腰直角三角形,|CA|=|CB|=r=,所以圆心C到AB即直线l的距离d=1,

设l为y=k(x+1),即kx-y+k=0,则d==1⇒k=±,因为k<0,所以k=-.

答案:-