2023届高考数学二轮复习专题二十一圆锥曲线中的综合问题作业含答案

专题强化训练(二十一)

1.(2022·山东淄博模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)在抛物线C上,且|MF|=2.

(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程;

(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若直线MA,MB的斜率之积为-2,试判断直线l能否与以点M为圆心的圆(x-2)2+(y-m)2=80相切?若能,求此时直线l的方程;若不能,请说明理由.

解:(1)因为点M(2,m)在抛物线C上,所以4=2pm,即pm=2,

由抛物线的定义知,|MF|=m+=2,解得m=1,p=2,

故实数m的值为1,抛物线C的标准方程为x2=4y.

(2)设直线l的方程为y=kx+t,

A(x1,),B(x2,),

联立得x2-4kx-4t=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4t,

因为直线MA,MB的斜率之积为-2,M(2,1),

所以·=-2,化简得x1x2+2(x1+x2)=-36,

所以-4t+8k=-36,即t=2k+9,

若直线l与圆(x-2)2+(y-m)2=80相切,

则圆心(2,1)到直线l的距离d===,

整理得4k2-4k+1=0,解得k=,所以t=2k+9=10,故直线l的方程为y=x+10.

2.(2022·安徽淮南二模)已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)的下顶点为A(0,-2).过点B(0,3)作斜率存在的直线交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别与x轴交于点M,N,记点M,N的横坐标分别为xM,xN.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)试判断xM·xN是否为定值?若为定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.

解:(1)由题意可知解得

所以椭圆C的标准方程为+=1.

(2)由题意设直线PQ的方程为y=kx+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),

联立得(2k2+1)x2+12kx+10=0,

则Δ=(12k)2-4×10(2k2+1)=64k2-40>0,解得k2>.

根据根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,

根据题意,直线AP的方程为y=x-2,令y=0,得xM=,

同理可得xN=,

于是xM·xN====

==.

所以xM·xN是定值,该定值为.

3.(2022·福建福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,动点P到直线x=2的距离和点P到点C(1,0)的距离的比为 ,记点P的轨迹为T.

(1)求T的方程;

(2)若不经过点C的直线l与T交于M,N两点,且∠OCM=∠xCN,求△CMN面积的最大值.

解:(1)设P(x,y),P到直线x=2的距离记为d,则=,

依题意,|2-x|=,化简得x2+2y2=2,即+y2=1.

(2)设直线l:x=my+t,t≠1,M(x1,y1),N(x2,y2),

由得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,

则Δ=(2mt)2-4(m2+2)(t2-2)=8(m2+2-t2)>0,可得m2+2>t2,

由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=.

法一　由∠OCM=∠xCN,则kCM+kCN=+=0,

所以x2y1+x1y2=y1+y2,即2my1y2+(t-1)(y1+y2)=0,

所以+(t-1)=0,可得t=2,

所以直线l经过定点D(2,0).

因为△CMN的面积为S=|CD||y1-y2|=|y1-y2|,

所以S===,

当=,即m=±时,S有最大值,最大值为.

法二　作点M关于x轴的对称点M′(x1,-y1),如图所示.

因为∠OCM=∠xCN,则∠OCM′=∠xCN,故∠OCM′+∠OCN=180°,

所以M′,C,N三点共线,所以∥,

因为=(x1-1,-y1),=(x2-1,y2),

所以(x1-1)y2-(-y1)(x2-1)=0,即x2y1+x1y2=y1+y2,

所以2my1y2+(t-1)(y1+y2)=0,则+(t-1)=0,可得t=2,

所以直线l经过定点D(2,0),

因为△CMN的面积为S=|CD||y1-y2|=|y1-y2|,

所以S==,

设=u(u>0),则m2=u2+2,则S=·=·≤,

当u=2,即m=±时,S有最大值,最大值为.

4.(2022·河北石家庄模拟)已知抛物线Γ:x2=2py(p>0)的准线l被圆x2+y2=2所截得的弦长为2.

(1)求抛物线Γ的方程;

(2)设准线l与y轴的交点为M,过M的直线l1,l2与抛物线Γ分别交于点A,B和点C,D,直线AC,BD与准线l分别交于E,G两点,求证:|ME|=|MG|.

(1)解:由抛物线Γ:x2=2py(p>0)可得准线l的方程为y=-,可得圆x2+

y2=2的圆心(0,0)到准线l的距离d=,

所以准线l被圆x2+y2=2所截得的弦长为2=2=2,p>0,解得p=2,

所以抛物线Γ的方程为x2=4y.

(2)证明:由(1)可得点M(0,-1),由题意可知直线l1,l2的斜率存在,

设直线l1的方程为y=k1x-1,直线l2的方程为y=k2x-1,其中k1≠k2,

联立得x2-4k1x+4=0,

所以xAxB=4,xA+xB=4k1,

同理可得xCxD=4,xC+xD=4k2,

直线AC的方程为(x-xA)=y-yA,

令y=-1,可得xE=+xA,

因为-1-yA=-k1xA,

所以xE=+xA,

所以xE=,

同理xG=,

所以xE+xG=+=

=

=0,

所以xE=-xG,

所以|ME|=|xE|,|MG|=|xG|,

所以|ME|=|MG|.