新高考数学二轮复习专题三第2讲数列求和及其综合应用课件

这是一份新高考数学二轮复习专题三第2讲数列求和及其综合应用课件，共60页。PPT课件主要包含了考情分析，数列求和，考点一，核心提炼，考向1分组转化法，考向2裂项相消法，选择①，当n≥2时，选择②，2求Tn等内容，欢迎下载使用。

1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结 合，考查最值、范围以及证明不等式等.3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等.
1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消.常
2.错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列.
(2022·德州联考)已知数列 是公比为4的等比数列，且满足a2，a4，a7成等比数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项，
因为数列 是公比为4的等比数列，所以所以an＋1－an＝2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，因为a2，a4，a7成等比数列，
所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)，解得a1＝6，所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4，因为Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项，所以Sn＋1＝2bn，
当n≥2时，有Sn－1＋1＝2bn－1，两式相减得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1，当n＝1时，有S1＋1＝b1＋1＝2b1，所以b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n－1，
所以数列{cn}的前2n－1项和为a1＋b2＋a3＋b4＋…＋a2n－1
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n－2)
(1)求{an}的通项公式；
即nan＝(n＋1)an－1＋1，两边各项同除以n(n＋1)得
所以an＝2n＋1，经检验当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3也成立，故an＝2n＋1.
∴Sn＝n2＋2n或Sn＝－1，∵an>0，∴Sn＝－1舍去.∴Sn＝n2＋2n.当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1，当n＝1时，符合上式，∴an＝2n＋1.
由(1)知Sn＝n2＋2n，
(2022·菏泽检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋1.(1)求数列{an}的通项公式；
因为an＋1＝2Sn＋1，所以an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减可得an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an(n≥2)，令n＝1，可得a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，
(2)在an与an＋1之间插入n个数，使得包括an与an＋1在内的这n＋2个数成等
(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差.(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项.(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.
(1)(2022·湛江模拟)已知数列{an}是等比数列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.①求数列{an}的通项公式；
设等比数列{an}的公比是q，首项是a1.由8a3＝a6，可得q＝2.由a2＋a5＝36，可得a1q(1＋q3)＝36，所以a1＝2，所以an＝2n.
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
(2)(2022·南通调研)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a2＝2，an＋3－Sn＋2＝an＋1－Sn.①求数列{an}的通项公式；
设等比数列的公比为q(q>0)，
由an＋3－Sn＋2＝an＋1－Sn⇒an＋3－an＋1＝Sn＋2－Sn⇒an＋3－an＋1＝an＋2＋an＋1⇒an＋3－an＋2－2an＋1＝0⇒an＋1(q2－q－2)＝0，因为an＋1≠0，所以q2－q－2＝0，
因为q>0，所以解得q＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝1×2n－1＝2n－1.
由①可知an＝2n－1，
因为n∈N*，所以n的最小值为2.
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.
(1)已知A(0,0)，B(5,0)，C(1,3)，连接△ABC的各边中点得到△A1B1C1，连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数
所以这一系列三角形的面积之和为
∴(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴λ≤17，∴实数λ的取值范围为(－∞，17].
求解数列与函数交汇问题要注意两点(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意.(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.
(1)我国古代数学著作《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1 200尺，则需要几天时间才能打穿(结果取整数)A.12 B.11 C.10 D.9
设大鼠和小鼠每天穿墙厚度分别构成数列{an}，{bn}，由题意知它们都是等比数列，a1＝b1＝1，
设需要n天能打穿墙，则(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)
因此需要11天才能打穿.
(2)(2022·潍坊检测)如图，在边长为a的等边△ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn＋1与圆Dn相切且与AB，AC相切，依次得到圆D3，D4，…，Dn.设圆D1，D2，…，Dn的面积之和为Xn(n∈N*)，则Xn等于
等边三角形内心、重心、外心、垂心四心合一.
一、单项选择题1.数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，且a4，a4 040是函数f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，则a2 022的值为A.4 B.－4C.4 040 D.－4 040
因为a4，a4 040是函数f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，即a4，a4 040是方程x2－8x＋3＝0的两个根，所以a4＋a4 040＝8.又2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}是等差数列，所以a4＋a4 040＝2a2 022＝8，所以a2 022＝4.
函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，则4a＝2，
3.(2022·衡水模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＋2＝－an，且a1＝1，a2＝2，则S2 023等于A.0 B.1 C.2 D.3
由an＋2＝－an，得an＋4＝－an＋2＝an，所以数列{an}是周期为4的数列，所以由a1＝1，a2＝2得a3＝－1，a4＝－2，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0，所以S2 023＝(a1＋a2＋a3＋a4)×505＋a1＋a2＋a3＝2.
4.(2022·长沙质检)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn＝ ＋1(n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641×6 700 417，不是质数.现设an＝lg4(Fn－1)(n＝1,2，…)，Sn表示数列{an}的前n项和，若32Sn＝63an，则n等于A.5 B.6 C.7 D.8
因为Fn＝ ＋1(n＝0,1,2，…)，所以an＝lg4(Fn－1)＝ ＝2n－1，所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，
所以32×(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6.
5.(2022·西南四省名校大联考)数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋3a2＋…＋3n－1an＝n·3n，若对任意n∈N*，Sn≥(－1)nnλ恒成立，则实数λ的取值范围为
当n≥2时，3n－1an＝n·3n－(n－1)3n－1＝(2n＋1)3n－1，∴an＝2n＋1，当n＝1时，a1＝3符合上式，∴an＝2n＋1，
令g(n)＝－(n＋2)，当n＝1时，g(n)max＝－3，∴λ≥－3，
令h(n)＝n＋2，∴λ≤h(2)＝4，∴－3≤λ≤4.
6.“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图(1)所示.如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，以此方法一直继续下去，就可
以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，…，an，…；如图(2)阴影部分，设Rt△AEH的面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，…，bn，….下列说法错误的是
由椭圆的方程和定义知a＝5，b＝4，c＝3，∴焦距为6，∴A正确；又∵a－c≤|FPi|≤a＋c，∴2≤|FPi|≤8，∴B正确；令|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成等差数列{an}，d>0，∴a1＝|FP1|≥2，an≤|FPi|max＝8，
A.a3＝13B.数列{3＋an}是等比数列C.an＝4n－3D.Sn＝2n＋1－3n
因为B，Fn，C三点共线，
即an＋1＝3＋2an，an＋1＋3＝2(an＋3)，所以数列{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，于是an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3，
所以a3＝24－3＝13，所以A，B选项正确，C选项不正确.又S2＝a1＋a2＝1＋5＝6，而22＋1－3×2＝2，所以D选项不正确.
三、填空题9.在数列{an}中，a1＝3，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝_____.
令m＝1，由am＋n＝am＋an可得，an＋1＝a1＋an，所以an＋1－an＝3，所以{an}是首项为3，公差为3的等差数列，an＝3＋3(n－1)＝3n，
整理可得k2＋k－90＝0，解得k＝9或k＝－10(舍去).
10.已知数列{an}满足an＝n2＋λn，n∈N*，若数列{an}是单调递增数列，则λ的取值范围是____________.
∵{an}是单调递增数列，∴当n≥1时，an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，即λ>－2n－1，∵n≥1，∴(－2n－1)max＝－3，∴λ>－3.
当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，所以a1＋a3＋a5＋a7＝－(3＋7＋11＋15)＝－36.当n为偶数时，n＋1为奇数，则an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，则a2＋a4＋a6＋a8＝5＋9＋13＋17＝44，所以a1＋a2＋a3＋…＋a8＝－36＋44＝8.
12.(2022·聊城质检)某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1,2；第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列1,2,2,4,2，…，则第5行从左数起第6个数的值为___.用An表示第n行所有项的乘积，若数列{Bn}满足Bn＝lg2An，则数列{Bn}的通项公式为_____________.
根据题意，第5行的数列依次为1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2，从左数起第6个数的值为8.A1＝21，
四、解答题13.(2022·烟台模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝9，S3＝15.(1)求{an}的通项公式；
设{an}的公差为d，由已知a1＋3d＝9,3a1＋3d＝15.解得a1＝3，d＝2.所以an＝2n＋1.
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1,2，…)之间插入2k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T100的值.
因为在ak与ak＋1(k＝1,2，…)之间插入2k个1，所以ak在{bn}中对应的项数为
当k＝6时，2k＋k－2＝68，当k＝7时，2k＋k－2＝133，所以a6＝b68，a7＝b133，且b69＝b70＝…＝b100＝1.因此T100＝S6＋(2×1＋22×1＋23×1＋…＋25×1)＋32×1
14.(2022·长沙质检)已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列.(1)求an和Sn；
设数列{an}的公差为d，
整理得d2－2d＝0，又d≠0，∴d＝2，∴an＝2＋2(n－1)＝2n，