山东省聊城市阳谷实验中学2022-2023学年九年级上学期线上期末数学试卷

这是一份山东省聊城市阳谷实验中学2022-2023学年九年级上学期线上期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省聊城市阳谷实验中学九年级（上）线上期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB
2．（3分）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）

A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
5．（3分）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（　　）

A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
6．（3分）如图，在⊙O中，已知AB是直径，CD是弦，若∠BDC＝26°，则∠ABC＝（　　）

A．64° B．62° C．54° D．52°
7．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
9．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
10．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣x）＝600
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．20π﹣16 B．10π﹣32 C．10π﹣16 D．20π﹣132
12．（3分）如图，OA＝4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
13．（4分）如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，已知BC＝60cm，AD＝40cm，则这个正方形的面积是 　 　．

14．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，EF⊥AC于点F．若tan∠BAC＝2，EF＝1，则AE的长为　 　．

15．（4分）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于　 　．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为　 　．

17．（4分）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，共64分）
18．（4分）计算：（）﹣2﹣|1﹣tan60°|+sin60°+．
19．（10分）按要求解下列方程：
（1）3x2+x＝5（x+1）（用公式法）
（2）（x﹣2）2+2x﹣4＝0（用因式分解法）
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．

21．（10分）如图，九年级数学兴趣小区要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD．在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°．从A处沿水平底面向正前方走18米到达B处，测得顶端C的仰角为68.2°．求电子屏的高度CD．（结果保留整数）

22．（10分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）求证：FD＝FG．

23．（10分）水果超市销售某种水果，其进价为6元/千克，根据市场预测，该水果每千克售价8元时，每星期能出售400千克，并且售价每上涨0.5元，其销售量将减少10千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌水果售价不能超过15元，若要使水果超市销售该种水果每星期能盈利2240元，那么该种水果的售价应定为多少元？
24．（10分）如图，直线y＝mx+n与双曲线y＝相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
（3）请直接写出mx+n﹣＞0时，x的取值范围．

2022-2023学年山东省聊城市阳谷实验中学九年级（上）线上期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】由∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，可得△ADC∽△BDE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，
∴△ADC∽△BDE，
∴，
∵AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，
∴BD＝5，DC＝3，
∴DE＝＝．
故选：B．
3．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴sin∠ACH＝＝，
故选：D．
4．（3分）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）

A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
【分析】直接根据∠A的正弦可得结论．
【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，
∵AB＝12米，
∴BC＝12sinα（米）．
故选：A．
5．（3分）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（　　）

A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，
∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：B．
6．（3分）如图，在⊙O中，已知AB是直径，CD是弦，若∠BDC＝26°，则∠ABC＝（　　）

A．64° B．62° C．54° D．52°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠BDC＝26°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BDC＝26°，
∴∠A＝∠BDC＝26°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝64°，
故选：A．
7．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．
【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，
2x2﹣3x＝1，
x2﹣x＝，
x2﹣x+＝+，
（x﹣）2＝，
故选：C．
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有两个实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2，
故选：A．
9．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，
又∵﹣3＜﹣2＜6，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
10．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣x）＝600
【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．20π﹣16 B．10π﹣32 C．10π﹣16 D．20π﹣132
【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．
【解答】解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，
如图所示：
∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积＝π×16+π×4﹣×8×4＝10π﹣16．
故选：C．

12．（3分）如图，OA＝4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】先构造直角三角形QBC，根据三角形中位线定理分别求出QB、QC的长，再根据余弦的定义即可求出结果．
【解答】解：当点P运动到恰好点Q落在⊙O上，连接QB，OP，BC，再连接QO并延长交⊙O于点C，则∠CBQ＝90°（直径所对的圆周角是直角）
∵B、Q分别是OA、AP的中点，
∴BQ∥OP，
∵OP＝OB＝BA＝OA＝2，
∴QB＝1
在Rt△CQB中，∠CBQ＝90°
∴cos∠OQB＝＝．
故选：C．

二、填空题（本大题共5小题，共20分）
13．（4分）如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，已知BC＝60cm，AD＝40cm，则这个正方形的面积是 　576cm2　．

【分析】根据GH∥BC得出△AHG∽△ABC，设AD与EH交于点M，证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得，列出方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC．
如图，设AD与EH交于点M．

∵∠FDM＝∠FGM＝∠DMG＝90°，
∴四边形DFGM是矩形，
∴FG＝DM，
设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AHG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝24，
∴正方形EFGH的面积为：24×24＝576（cm2），
故答案为：576cm2．
14．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，EF⊥AC于点F．若tan∠BAC＝2，EF＝1，则AE的长为　　．

【分析】根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，tan∠BAC＝2
∴＝2，
∵AD＝BC，CD＝AB，
∴＝，
∴tan∠EAF＝，
∵EF＝1，
∴AF＝2，
∴AE＝＝＝，
故答案为：．
15．（4分）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于　15或10　．
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，

在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，
∴AD＝ABsinB＝5，BD＝ABcosB＝5，
在Rt△ACD中，∵AC＝2，
∴CD＝＝＝，
则BC＝BD+CD＝6，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，

由①知，BD＝5，CD＝，
则BC＝BD﹣CD＝4，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．
综上，△ABC的面积是15或10，
故答案为15或10．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为　﹣2　．

【分析】根据已知条件得到三角形ABO的面积＝AB•OB，由于三角形ABC的面积＝AB•OB＝1，得到|k|＝2，即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥CO，
∴三角形AOB的面积＝AB•OB，
∵S三角形ABC＝AB•OB＝1，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为﹣2．
17．（4分）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为　2　．

【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，
∴AB＝OA＝6，
∴OP＝＝3，
∴PQ＝＝＝2．
故答案为：2．

三、解答题（本大题共7个小题，共64分）
18．（4分）计算：（）﹣2﹣|1﹣tan60°|+sin60°+．
【分析】先计算负整数指数幂和，再代入特殊角的函数值化简绝对值，最后算加减．
【解答】解：原式＝4﹣|1﹣|++2
＝4﹣+1++2
＝7﹣．
19．（10分）按要求解下列方程：
（1）3x2+x＝5（x+1）（用公式法）
（2）（x﹣2）2+2x﹣4＝0（用因式分解法）
【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：3x2﹣4x﹣5＝0，
这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣5，
∵△＝16+60＝76，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：（x﹣2）2+2（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣2+2）＝0，
解得：x1＝2，x2＝0．
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．

【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4．
∵E是BC中点，
∴CE＝BC＝2．
∵△CDE∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴DE＝＝．

21．（10分）如图，九年级数学兴趣小区要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD．在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°．从A处沿水平底面向正前方走18米到达B处，测得顶端C的仰角为68.2°．求电子屏的高度CD．（结果保留整数）

【分析】设楼高CE为x米，得到BE＝（x﹣18）米，然后解直角三角形求出x≈30，即可解决问题．
【解答】解：设CE为x米，
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴AE＝CE＝x米，
∵AB＝18米，
∴BE＝（x﹣18）米，
在Rt△CEB中，∠CBE＝68.2°，
∴CE＝BE⋅tan68.2°≈2.50（x﹣18）米，
∴2.50（x﹣18）＝x，
解得x＝30．
在Rt△AED中，∠DAE＝30°，
∴（米），
∴（米）．
答：电子屏的高度CD约为13米．
22．（10分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）求证：FD＝FG．

【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；
（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是
∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．
【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°．
又∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，
∴MA⊥AB．
∴MN是半圆的切线．

（2）∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，
∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，
∴∠3＝∠5，
∴∠1＝∠4，
而∠2＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴FD＝FG．

23．（10分）水果超市销售某种水果，其进价为6元/千克，根据市场预测，该水果每千克售价8元时，每星期能出售400千克，并且售价每上涨0.5元，其销售量将减少10千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌水果售价不能超过15元，若要使水果超市销售该种水果每星期能盈利2240元，那么该种水果的售价应定为多少元？
【分析】设该种上涨x元，根据销售利润＝销售数量×（售价﹣成本）列出方程并解答．
【解答】解：设该种上涨x元，根据题意可得
（8+x﹣6）（400﹣10×）＝2240，
解得x1＝6，x2＝12，
∵该品牌粽子售价不能超过15元，6+8＝14＜15，12+8＝20＞15，
∴该种水果的售价应定为14元．
24．（10分）如图，直线y＝mx+n与双曲线y＝相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
（3）请直接写出mx+n﹣＞0时，x的取值范围．

【分析】（1）由题意，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
（2）得出点C和点D的坐标，根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把x＝﹣1，y＝2；x＝2，y＝b代入y＝，
解得：k＝﹣2，b＝﹣1；
把x＝﹣1，y＝2；x＝2，y＝﹣1代入y＝mx+n，
解得：m＝﹣1，n＝1；
（2）∵直线y＝﹣x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），
∴点D的坐标为（0，﹣1），点B的坐标为（2，﹣1），
∴△ABD的面积＝；
（3）观察图象，当mx+n﹣＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．