新高考数学二轮复习专题一微重点1函数的新定义问题课件

这是一份新高考数学二轮复习专题一微重点1函数的新定义问题课件，共57页。PPT课件主要包含了特征函数，专题强化练等内容，欢迎下载使用。
　　函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力.
(2022·郑州调研)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝[x＋1]－x，则下列说法中正确的是 A.f(x)是周期函数B.f(x)的值域是[0,1]C.f(x)在(0,1)上单调递增D.∀x∈R，[f(x)]＝0
可画出f(x)的图象，如图所示，
可得函数f(x)是周期为1的函数，且值域为(0,1]，在(0,1)上单调递减，故选项A正确，B，C错误；对于选项D，当x＝－1时，f(－1)＝1，则[f(－1)]＝1，故选项D错误.
德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创
A.f(x)的定义域为{0,1}B.f(x)的值域为[0,1]C.∃x∈R，f(f(x))＝0D.任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，故A，B错误；因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f(x＋T)＝f(x)＝1；若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，综上可得，任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确.
(2022·新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[0,1]
上，其解析式如下：R(x)＝
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋ ＝_____.
∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，∴f(2＋x)＝－f(2－x).又f(x)是奇函数，∴f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(x)的一个周期为4.∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，∴令x＝0，可得f(2)＝0，∴f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.
(多选)(2022·重庆八中调研)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的是 A.φ(5)＝φ(10)B.φ(2n－1)＝1C.φ(32)＝16D.φ(2n＋2)>φ(2n)，n∈N*
因为φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；因为当n＝4时，φ(15)≠1，故B不正确；因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17, 19,21,23,25,27,29,31，共有16个，所以φ(32)＝16，故C正确；因为当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确.
以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决.
(1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgn x＝
偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则
对于A选项，sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，A错；
对于C选项，对任意的k∈Z，f(2k＋1)＝f(1)＝1，则sgn[f(2k＋1)]＝sgn 1＝1，C对；对于D选项，取k＝2，则sgn[f(2)]＝sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，而|sgn 2|＝1，D错.
(2)(多选)(2022·滁州模拟)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有着丰富的实际应用.最基本的双曲函数是双曲正弦函数 令f(x)＝sin hxcs hx，则下列结论正确的是 A.f(x)为偶函数B.f(x)为奇函数C.f(x)在(0，＋∞)上单调递增D.f(x)在(0，＋∞)上单调递减
故f(x)为奇函数，所以A错误，B正确；因为y＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝e－2x在(0，＋∞)上单调递减，
“新定义”函数的性质、运算法则等
(1)(多选)(2022·德州质检)定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为 A.f(x)＝x3 B.f(x)＝2xC.f(x)＝|x| D.f(x)＝ln|x|
设等比数列{an}的公比为q.
故f(x)＝x3是“保等比数列函数”；
故f(x)＝2x不是“保等比数列函数”；
故f(x)＝|x|是“保等比数列函数”；
故f(x)＝ln|x|不是“保等比数列函数”.
(2)(多选)函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1与x2，有 时，我们称函数g(x)在[a，b]上严格上凹，称函数g(x)在[a，b]上为凹函数，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.下列函数在所给定义域中“严格上凹”的有 A.f(x)＝lg2x(x>0)B.f(x)＝2e－x＋xC.f(x)＝－x3＋2x(x0恒成立，符合题意，故选项B正确；
对于C，f(x)＝－x3＋2x(x0在x