新高考数学二轮复习专题一微重点5不等式的综合问题学案

这是一份新高考数学二轮复习专题一微重点5不等式的综合问题学案，共16页。
考点一 不等式的性质及应用
例1 (多选)(2022·江苏七市调研)若a＞b＞0＞c，则( )
A.eq \f(c,a)>eq \f(c,b) B.eq \f(b－c,a－c)>eq \f(b,a)
C．ac>bc D．a－c>2eq \r(－bc)
答案 ABD
解析 eq \f(c,a)－eq \f(c,b)＝eq \f(b－ac,ab)，
∵a>b>0>c，∴ab>0，b－aeq \f(c,b)，故A正确；
eq \f(b－c,a－c)－eq \f(b,a)＝eq \f(ab－c－ba－c,a－ca)＝eq \f(b－ac,a－ca)，
∵a>b>0>c，
∴a－c>0，a>0，b－aeq \f(b,a)，故B正确；
设y＝xc，当cb，∴acb－c＝b＋(－c)≥2eq \r(－bc)，
当且仅当b＝－c时取等号，
∴a－c>2eq \r(－bc)，故D正确．
规律方法 判断关于不等式命题真假的常用方法
(1)作差法、作商法．
(2)利用不等式的性质推理判断．
(3)利用函数的单调性．
(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．
跟踪演练1 (2022·临川模拟)若实数a，b满足a60两边同时除以ab得
－eq \f(1,a)>－eq \f(1,b)>0，
因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))>lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,b)))，故C正确；
因为y＝x3为增函数，所以b30，b>0)的左焦点为F1，离心率为e，直线y＝kx(k≠0)分别与双曲线C的左、右两支交于点M，N.若△MF1N的面积为eq \r(3)，∠MF1N＝60°，则e2＋3a2的最小值为( )
A．2 B．3 C．6 D．7
答案 D
解析 如图，连接NF2，MF2，由对称性可知，四边形MF1NF2为平行四边形，
故|NF2|＝|MF1|，|NF1|＝|MF2|，
令|NF2|＝|MF1|＝t，
∴|NF1|＝2a＋t，
∴＝eq \f(1,2)t(2a＋t)·eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，
∴2at＋t2＝4.①
又在△NF1F2中，由余弦定理得
4c2＝(2a＋t)2＋t2－2t(2a＋t)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
即4c2＝4a2＋6at＋3t2，②
由①②得c2＝a2＋3，
∴e2＋3a2＝eq \f(c2,a2)＋3a2＝1＋eq \f(3,a2)＋3a2≥1＋6＝7，
当且仅当a2＝1，即a＝1时等号成立．
5．(多选)(2022·淄博模拟)已知2a＝3b＝6，则a，b满足( )
A．a>b B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)4 D．a＋b>4
答案 ACD
解析 由2a＝3b＝6，
则a＝lg26，b＝lg36，则a>0，b>0，
所以a－b＝lg26－lg36＝eq \f(lg 6,lg 2)－eq \f(lg 6,lg 3)
＝eq \f(lg 6lg 3－lg 2,lg 2·lg 3)>0，故选项A正确；
eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg62＋lg63＝1，故选项B不正确；
由1＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>2eq \r(\f(1,ab))(因为a≠b，所以等号不成立)，则ab>4，故选项C正确；
a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)>2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4(因为a≠b，故等号不成立)，故选项D正确．
6．(多选)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知{an}的公比为q，且a3＋a7＝16，则( )
A．a5>8
B．lg2a2＋lg2a8≤6
C．若00，
所以aeq \\al(2,5)＝a3a7≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a3＋a7,2)))2＝64，
当且仅当a3＝a7＝8时，取等号，
所以a5≤8，故A不正确；
lg2a2＋lg2a8＝lg2(a2a8)
＝lg2(a3a7)≤lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a3＋a7,2)))2
＝lg264＝6，
当且仅当a3＝a7＝8时，取等号，故B正确；
a3＋a7－a4－a6＝a3(1－q)－a6(1－q)
＝(a3－a6)(1－q)，
当00，
则a4＋a61时，{an}单调递增，
a3－a60，
则a4＋a6y>0，且x＋y≤2，则eq \f(2,x＋3y)＋eq \f(1,x－y)的最小值为________．
答案 eq \f(3＋2\r(2),4)
解析 令x＋3y＝m，x－y＝n，
则m>0，n>0，m＋n＝2x＋2y≤4，∴eq \f(m＋n,4)≤1，
∴eq \f(2,x＋3y)＋eq \f(1,x－y)＝eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋\f(1,n)))·eq \f(m＋n,4)
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(2n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(3＋2\r(2),4)，
当且仅当eq \f(2n,m)＝eq \f(m,n)，即x＝2eq \r(2)－1，y＝3－2eq \r(2)时取等号．
8．(2022·烟台模拟)在空间直角坐标系O－xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程x2＋y2＋z2＝1表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑业等众多领域应用广泛．已知点P(x，y，z)是二次曲面4x2－xy＋y2－z＝0上的任意一点，且x>0，y>0，z>0，则当eq \f(z,xy)取得最小值时，eq \f(1,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－\f(1,z)))的最大值为______．
答案 eq \f(2,3)
解析 由题意得z＝4x2－xy＋y2，
故eq \f(z,xy)＝eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)－1≥2eq \r(\f(4x,y)·\f(y,x))－1＝3，
当且仅当y＝2x时等号成立，
所以，此时eq \f(1,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－\f(1,z)))＝eq \f(1,xy)－eq \f(1,xz)＝eq \f(1,2x2)－eq \f(1,6x3)，
令t＝eq \f(1,x)>0，则f(t)＝eq \f(t2,2)－eq \f(t3,6)，故f′(t)＝eq \f(t2－t,2)，
所以，当02时，f′(t)