新高考数学二轮复习专题四微重点14与空间角有关的最值问题学案

这是一份新高考数学二轮复习专题四微重点14与空间角有关的最值问题学案，共19页。
考点一 空间角的大小比较
例1 (2022·嘉兴质检)已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1＝a，AB＝b，且a＞b，侧棱CC1上一点E满足CC1＝3CE，设异面直线A1B与AD1，A1B与D1B1，AE与D1B1所成的角分别为α，β，γ，则( )
A．α＜β＜γ B．γ＜β＜α
C．β＜α＜γ D．α＜γ＜β
答案 A
解析 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)，
∵长方体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，
AA1＝a，AB＝b，且a＞b，
侧棱CC1上一点E满足CC1＝3CE，
∴A1(b，0，a)，B(b，b，0)，A(b，0,0)，D1(0,0，a)，
B1(b，b，a)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，b，\f(a,3)))，eq \(A1B,\s\up6(--→))＝(0，b，－a)，
eq \(AD1,\s\up6(--→))＝(－b，0，a)，eq \(D1B1,\s\up6(--→))＝(b，b，0)，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－b，b，\f(a,3)))，
cs α＝eq \f(|\(A1B,\s\up6(--→))·\(AD1,\s\up6(--→))|,|\(A1B,\s\up6(--→))||\(AD1,\s\up6(--→))|)＝eq \f(a2,\r(a2＋b2)·\r(a2＋b2))＝eq \f(a2,a2＋b2)，
cs β＝eq \f(|\(A1B,\s\up6(--→))·\(D1B1,\s\up6(--→))|,|\(A1B,\s\up6(--→))||\(D1B1,\s\up6(--→))|)＝eq \f(b2,\r(a2＋b2)·\r(b2＋b2))，
cs γ＝eq \f(|\(AE,\s\up6(→))·\(D1B1,\s\up6(--→))|,|\(AE,\s\up6(→))||\(D1B1,\s\up6(--→))|)＝0，
∵a＞b＞0，∴cs α＞cs β＞cs γ＝0，∴α＜β＜γ.
规律方法 (1)最小角定理：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角(线面角是最小的线线角)．
(2)最大角定理：二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大角(二面角是最大的线面角)．
跟踪演练1 设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B的平面角为γ，则( )
A．β