新高考数学二轮复习专题一培优点3隐零点问题学案

这是一份新高考数学二轮复习专题一培优点3隐零点问题学案，共10页。
考点一 不含参函数的隐零点问题
例1 (2022·济宁质检)已知函数f(x)＝acs x＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.
(1)求实数a，b的值；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，＋∞))时，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．
解 (1)因为f′(x)＝－asin x＋bex，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′0＝b＝－1，,f0＝a＋b＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1.))
(2)由(1)知f(x)＝cs x－ex，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，＋∞))，
所以f′(x)＝－sin x－ex，
设g(x)＝－sin x－ex
g′(x)＝－cs x－ex＝－(cs x＋ex)．
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))时，
cs x≥0，ex>0，所以g′(x)1，
所以g′(x)0，
所以∃x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))，
使得f′(x0)＝－sin x0－
即＝－sin x0.
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，x0))时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)0时，证明：f(x)≥g(x)．
(1)解 g(x)＝eq \f(ln x,x)＋2的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
则当x∈(0，e)时，g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)>0，
g(x)在(0，e)上单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)0)，
即xex＋1－ln x－x－2≥0.
令h(x)＝xex＋1－ln x－x－2(x>0)，
h′(x)＝(x＋1)ex＋1－eq \f(1＋x,x)
＝(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex＋1－\f(1,x)))，
令φ(x)＝ex＋1－eq \f(1,x)，
则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
而φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))＝－100，∴k≥eq \f(1＋ln x,x)－ex＋2恒成立，
令φ(x)＝eq \f(1＋ln x,x)－ex＋2，
则φ′(x)＝eq \f(\f(1,x)·x－1＋ln x,x2)－ex＝eq \f(－ln x－x2ex,x2)，
令μ(x)＝－ln x－x2ex(x>0)，
则μ′(x)＝－eq \f(1,x)－(2xex＋x2ex)
＝－eq \f(1,x)－xex(2＋x)0，μ(1)＝－ex0时，μ(x)