新高考数学二轮复习思想方法第2讲数形结合思想学案

第2讲　数形结合思想

思想概述　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．

方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题

利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．

例1　(1)(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a恰有四个不同的实数解，分别记为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

思路分析　由fx＝sin πx－cos πx－≤x＜0→fx＝2sin－≤x＜0→fx关于x＝

－对称→x1＋x2的值；由fx＝|log2x|，x>0→x3x4＝1

答案　A

解析　f(x)＝

当－≤x≤0时，

f(x)＝sin πx－cos πx

＝2＝2sin，

令πx－＝－，

解得x＝－，

当x＝－时，f ＝2sin＝1，

当x>0时，f(x)＝|log2x|，令f(x)＝2，

解得x＝4或x＝，

令f(x)＝1，解得x＝2或x＝，

作出函数f(x)的图象如图所示，

因为方程f(x)＝a恰有四个不同的实数解，即y＝f(x)与y＝a恰有四个交点，所以1≤a<2，

不妨令x1<x2<x3<x4，

则x1<x2<0<x3≤<2≤x4<4，

且x1与x2关于x＝－对称，

所以x1＋x2＝－，

又|log2x3|＝|log2x4|，

即－log2x3＝log2x4，

所以log2x4＋log2x3＝0，

即x3·x4＝1，

所以x3＝，

所以x1＋x2＋x3＋x4＝－＋＋x4，

因为y＝＋x在[2,4)上单调递增，

所以＋x4∈，

所以x1＋x2＋x3＋x4∈.

(2)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]   B．(－∞，1]

C．[－2,1]   D．[－2,0]

思路分析　作出函数y＝|fx|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解

答案　D

解析　由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象．

由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，

当直线介于l与x轴之间符合题意，

直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，

求其导数可得y′＝2x－2，

当x＝0时，y′＝－2，

故直线l的斜率为－2，

故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0]．

规律方法　方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系．

方法二　利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题

向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．

例2　(2022·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范围是(　　)

A．[0,2＋2]   B．[0,2]

C．[2－2,2＋2]   D．[2－2,2]

思路分析　作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB＝90°→点C在劣弧AB上→作a＋b＝→求||的最值.

答案　D

解析　如图所示，＝a，＝b，＝c，＝a＋b，

∵(a－c)·(b－c)≤0，

∴点C在劣弧AB上运动，

∴|a＋b－c|表示C，D两点间的距离||.

||的最大值是||＝2，

||最小值为||－2＝2－2.

规律方法　应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．

方法三　几何动态问题中的数形结合

对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．

例3　过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋7)2＋y2＝4和圆C2：(x－7)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为________．

思路分析　利用相切、勾股定理，找|PM|与|PC1|，|PN|与|PC2|的关系→利用双曲线定义：|PC1|－|PC2|＝2a→利用|PC1|＋|PC2|≥|C1C2|即可求解．

答案　25

解析　由双曲线方程知其焦点坐标为(±7,0)，

由圆的方程知，圆C1圆心为C1(－7,0)，

半径r1＝2；圆C2圆心为C2(7,0)，半径r2＝1.

∵PM，PN分别为两圆切线，

∴|PM|2＝|PC1|2－r＝|PC1|2－4，

|PN|2＝|PC2|2－r＝|PC2|2－1，

∴|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3

＝(|PC1|＋|PC2|)(|PC1|－|PC2|)－3，

∵P为双曲线右支上的点，

且双曲线焦点为C1，C2，

∴|PC1|－|PC2|＝2，

又|PC1|＋|PC2|≥|C1C2|＝14(当P为双曲线右顶点时取等号)，

∴|PM|2－|PN|2＝(|PC1|＋|PC2|)(|PC1|－|PC2|)－3≥14×2－3＝25，

即|PM|2－|PN|2的最小值为25.

规律方法　几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．