2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题

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2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题一、选择题如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴分别交于 ， 两点，将该抛物线平移后分别得到抛物线 ，，其中 的顶点为点 ， 的顶点为点 ，则由这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为  A． B． C． D．无法计算 已知二次函数 的图象交 轴于 ， 两点．若其图象上有且只有 ，， 三点满足 ，， 的面积都等于 ，则 的值为  A．  B．  C．  D．  二、填空题如图所示，用长 的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为    ．（结果保留 ） 已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上的一个不与点 重合的一个动点，若 ，则点 的坐标是    ．    三、解答题如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 ，， 三点，点 是直线 下方抛物线上一动点．(1)  求这个二次函数的解析式；(2)  是否存在点 ，使 是以 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 坐标；若不存在，请说明理由；(3)  动点 运动到什么位置时， 面积最大，求出此时 点坐标和 的最大面积． 如图，抛物线 经过点 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上一个动点，设点 的横坐标为 ．连接 ，，，．(1)  求抛物线的函数表达式；(2)   的面积等于 的面积的 时，求 的值；(3)  在（）的条件下，若点 是 轴上的一个动点，点 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 ，，，其对称轴与 轴相交于点 ．(1)  求抛物线的解析式和对称轴．(2)  在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)  连接 ，在直线 的下方的抛物线上，是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 已知抛物线 与 轴交于 ， 两点， 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 轴于点 ，连接 ，且 ，如图所示．(1)  求抛物线的解析式；(2)  设 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点 作 轴的平行线交线段 于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，连接 ，，求 的面积的最大值；②连接 ，求 的最小值． 如图，已知二次函数的图象过点 ，，与 轴交于另一点 ，且对称轴是直线 ．(1)  求该二次函数的解析式；(2)  若 是 上的一点，作 交 于 ，当 面积最大时，求 的坐标；(3)   是 轴上的点，过 作 轴与抛物线交于 ．过 作 轴于 ，当以 ，， 为顶点的三角形与以 ，， 为顶点的三角形相似时，求 点的坐标． 如图所示，二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，且与 轴交于点 ．(1)  求 的值；求点 的坐标；(2)  在抛物线的对称轴上有一点 ，使 的值最小，求点 的坐标；(3)  该二次函数图象上是否有一点 使 ，求点 的坐标． 已知抛物线 的对称轴为直线 ，其图象与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ．(1)  求 ， 的值；(2)  直线 与 轴相交于点 ．①如图 ，若 轴，且与线段 及抛物线分别相交于点 ，，点 关于直线 的对称点为点 ，求四边形 面积的最大值；②如图 ，若直线 与线段 相交于点 ，当 时，求直线 的表达式． 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 是等腰直角三角形，，．(1)  求点 的坐标；(2)  求经过 ，， 三点的抛物线的函数表达式；(3)  在（）所求的拋物线上，是否存在一点 ，使四边形 的面积最大？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为 ，顶点 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上，抛物线 经过 ， 两点，点 为抛物线的顶点，连接 ，，．(1)  求此抛物线的解析式．(2)  写出其图象是由二次函数 的图象如何平移得到的？(3)  求四边形 的面积． 已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ，直线 与抛物线交于 ， 两点．(1)  写出点 的坐标并求出此抛物线的解析式．(2)  当原点 为线段 的中点时，求 的值及 ， 两点的坐标．(3)  是否存在实数 使得 的面积为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 如图，抛物线 （，， 为常数，）经过点 ，，．(1)  求抛物线的解析式．(2)  如图，在直线 下方的抛物线上是否存在点 使四边形 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)  若点 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出 为等腰三角形的点 一共有几个？并求出其中某一个点 的坐标． 已知二次函数 ．(1)  求证：不论 为何实数，此函数图象与 轴总有两个交点．(2)  设 ，当此函数图象与 轴的两个交点的距离为 时，求出此二次函数的表达式．(3)  在（）的条件下，若此二次函数图象与 轴交于 ， 两点，在函数图象上是否存在点 ，使得 的面积为 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．     如图，已知抛物线 经过两点 ，， 是抛物线与 轴的交点．(1)  求抛物线的解析式；(2)  点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为 ，求 关于 的函数表达式（指出自变量 的取值范围）和 的最大值；(3)  点 在抛物线上运动，点 在 轴上运动，是否存在点 、点 使得 ，且 与 相似？如果存在，请求出点 和点 的坐标． 如图，二次函数 的图象交 轴于 ， 两点，并经过 点，已知 点坐标是 ， 点的坐标是 ．(1)  求二次函数的解析式．(2)  求函数图象的顶点坐标及 点的坐标．(3)  该二次函数的对称轴交 轴于 点．连接 ，并延长 交抛物线于 点，连接 ，，求 的面积．(4)  抛物线上有一个动点 ，与 ， 两点构成 ，是否存在 ？若存在，请求出 点的坐标；若不存在．请说明理由．
答案一、选择题1.  【答案】B 2.  【答案】C 二、填空题3.  【答案】 【解析】设圆的半径为 米，框架围成的面积为 ，则矩形的一条边为 米，另一条边为 米，  也就是最大透光面积为 ．故答案为：． 4.  【答案】 ，， 【解析】在 中，当 时，，  点 的坐标为：，设点 的纵坐标为 ，若 ，则 ，解得 ．当 时，，解得 （舍去）或 ，此时点 的坐标为 ；当 时，，解得 ，此时点 的坐标为 或 ；综上，点 的坐标为 或 或 ． 三、解答题5.  【答案】(1)  设抛物线解析式为 ，把 ，， 三点坐标代入可得： 解得：   抛物线解析式为 (2)  作 的垂直平分线 ，交 于点 ，交 下方抛物线于点 ，如图 ，  ,此时 点即为满足条件的点，  ,  ,  点纵坐标为 ,代入抛物线解析式可得：， 解得：（小于 ，舍去）或 ．  存在满足条件的 点，其坐标为 ．(3)   点 在抛物线上，  可设 ，过 作 轴于点 ，交直线 于点 ，如图 ，  ，，  直线 解析式为 ， ， ， ，  当 时， 最大值为 ，此时 ，  当 点坐标为 时， 的最大面积为 ． 6.  【答案】(1)  抛物线 经过点 ，，设抛物线的函数表达式为 ，，，所以抛物线的函数表达式为 ．(2)  作直线 轴于点 ，交 于点 ，作 ，垂足为 ，因为点 的坐标为 ，所以 ，由 得 ，所以点 的坐标为 ，所以 ，所以 ，所以 ，直线 的函数表达式为 ，所以点 的坐标为 ，所以 ，因为点 的坐标为 ，所以 ，  所以 ，解得 （舍），，所以 的值为 ．(3)   ，，，．【解析】(3)  如下图所示，以 为边或者以 为对角线进行平行四边形的构图．以 为边进行构图，有 种情况，采用构造全等进行求解．因为 点坐标为 ，所以 ， 的纵坐标为 ， ，解得 ，（舍），可得 ，所以 ，所以 ， 的纵坐标为 时，，解得：，，可得 ，所以 ，，所以 ，以 为对角线进行构图，有 种情况，采用中点坐标公式进行求解．  所以 ． 7.  【答案】(1)  由题知抛物线在 轴上的交点为 和 ．设抛物线表达式为 ，  抛物线过 ， ，解得 ．  抛物线表达式为 ，即 ，对称轴为直线 ．(2)  存在，连接 交对称轴于点 ，连接 ，． ， 关于对称轴对称， ．此时 的周长最小．设直线 的表达式为 ，将 ， 代入可得  解得 即 ．当 时，，  点 的坐标为 ．(3)  存在．设 ．过点 作 分别交 轴和 于点 ，，过点 作 的延长线于点 ，连接 ．根据（）中 的表达式 ，得 ． ． ，，，    当 时， 的面积最大，最大值为 ．此时 ，  此时点 的坐标为 ． 8.  【答案】(1)  根据题意，可设抛物线的解析式为 ．  是抛物线的对称轴， ．又 ， ，即 ．代入抛物线的解析式，得 ，解得 ．  二次函数的解析式为 或 ． (2)  ①设直线 的解析式为 ，  解得 即直线 的解析式为 ，设 坐标为 ，则 点坐标为 ， ，  的面积 ． ．  当 时， 的面积最大，且最大值为 ；②如图，连接 ．根据图形的对称性可知 ，． ，过点 作 于 ，则在 中，， ，再过点 作 于点 ，则 ，  线段 的长就是 的最小值， ，又 ， ，即 ，  的最小值为 ．  9.  【答案】(1)   抛物线过原点，对称轴是直线 ，  点坐标为 ，设抛物线解析式为 ，把 代入得 ，解得 ，  抛物线解析式为 ，即 ．(2)  设 ，易得直线 的解析式为 ，设直线 的解析为 ，把 ， 代入得 解得   直线 的解析式为 ， ，  设直线 解析式为 ，把 代入得 ，解得 ，  直线 的解析式为 ，解方程组 得 则 ， ，当 时， 有最大值 ，此时 点坐标为 ．(3)  设 ， ，  当 时，，即 ， ，即 ，解方程 得 （舍去），，此时 点坐标为 ；解方程 得 （舍去），，此时 点坐标为 ；  当 时，，即 ， ，即 ，解方程 得 （舍去），（舍去），解方程 得 （舍去），，此时 点坐标为 ；综上所述， 点坐标为 或 或 ． 10.  【答案】(1)  把点 代入 得   ，   ；  二次函数解析式为 ，令 ，解得 ，， ．(2)  据题意，连接 ，交抛物线对称轴与一点 ，点 即为所求点． ，，直线 的解析式为 ，抛物线的对称轴为 ，所以直线 与抛物线的对称轴的交点坐标为 ， 即 ．(3)  当 时，点 的纵坐标为 ，当 时，（舍）或 ，   ；当 时， 或 ，   ，． ，，． 11.  【答案】(1)  由题意，得 所以 ，．(2)  ①如图 ，连接 ．因为点 关于直线 的对称点为点 ，所以 ．由（）可得抛物线的表达式为 ，令 ，解得 ，，所以 ，．设直线 的表达式为 ，将 ， 代入，得 解得 所以直线 的表达式为 ．设 ，，所以 ，四边形 的面积为  所以当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ．②当 时， ，，所以 ．因为 ，，所以 ，所以 ，所以 ．如图 ，过点 作 交 于点 ，所以 ．设 ，则 ，，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．设直线 的表达式为 ，则 ，所以 ，所以直线 的表达式为 ． 12.  【答案】(1)  如图 ，过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，  为等腰三角形， ， ， ， ，在 和 中，   ， ， ，， ．(2)  由抛物线过 点，可设抛物线的解析式为 ，把 ， 两点坐标代入可得 解得   经过 ，， 三点的抛物线的解析式为 ．(3)  由题意可知点 在线段 的下方，过 作 轴交 于点 ，如图 ，设直线 的解析式为 ， ， ，  直线 的解析式为 ，设点 坐标为 ，，则 ，   ，由题意可得 ， ，   ，  当 时，四边形 的面积最大，此时点 坐标为 ．综上，存在使四边形 面积最大的点 ，其坐标为 ． 13.  【答案】(1)  由已知得 ，，把 ， 两点的坐标代入 ，得 解得   该抛物线的解析式为 ．(2)  抛物线的解析式为 ，  该图象是由二次函数 的图象向上平移 个单位长度，向右平移 个单位长度得到的．（合理即可）(3)  由（）可知，抛物线顶点 的坐标为 ，   14.  【答案】(1)  令抛物线 中 ，则 ，  点 的坐标为 ．  抛物线 经过 ， 两点，  有 解得：   此抛物线的解析式为 ．(2)  将 代入 中得：，整理得：， ，．  原点 为线段 的中点， ，解得：．当 时，，解得：，． ，．故当原点 为线段 的中点时， 的值为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．(3)  假设存在．由（）知：，，   ，即 ．  非负，无解．故假设不成立．  不存在实数 使得 的面积为 ． 15.  【答案】(1)  设 ，把 代入得 ， ， ．(2)  存在，如图 ，连接 ，，分别过 ， 向 轴作垂线 和 ，垂足分别为 ，，设 ，四边形 的面积为 ，则 ，，，，，  当 时， 有最大值为 ，这时 ， ．(3)  这样的 点一共有 个．连接 ，， ；因为 在对称轴上，所以设 ，  是等腰三角形，且 ，由勾股定理得：， ， ． 16.  【答案】(1)  因为 ，所以不论 为何实数，此函数图象与 轴总有两个交点．(2)  设 ， 是 的两个根，则 ，．因为此函数图象与 轴的两个交点的距离是 ，所以 ．即 ，变形为 ，所以 ．整理，得 ，解得 或 ．又 ，所以 ．所以此二次函数的表达式为 ．(3)  设点 的坐标为 ，因为函数图象与 轴的两个交点间的距离等于 ，所以 ．所以 ．所以 ，即 ，则 ．当 时，，即 ，解得 ．当 时，，即 ，解得 ．综上所述，存在这样的点 ，点 的坐标是 ，， 或 ． 17.  【答案】(1)  将 ， 代入 ，得： 解得：   抛物线的解析式为 ． (2)  过点 作 轴，交 于点 ，如图 所示．当 时，，  点 的坐标为 ．设直线 的解析式为 ，将 ， 代入 ，得： 解得：   直线 的解析式为 ．设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ， ，  当 时， 面积取最大值，最大值为 ．  点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， ． (3)  存在点 、点 使得 ，且 与 相似．如图 ，，当点 位于点 上方，过点 作 轴于点 ， ，， ，若 与 相似，则 与 相似，设 ，， ，，当 时，， ，解得 ， ，此时 ， ，当 时，， ，解得 ， ，此时 ．如图 ，当点 位于点 的下方，过点 作 轴于点 ，设 ，， ，，同理可得： 或 ， 与 相似，解得 或 ，  或 ，此时 点坐标为 或 ．综合以上得，， 或 ， 或 ， 或 ，，使得 ，且 与 相似．  18.  【答案】(1)  二次函数 的图象过 ，，所以 解得   二次函数解析式为 ．(2)  由 ，得 ，  函数图象的顶点坐标为 ．  点 ， 是 与 轴的两个交点，  点 ，对称轴为 ，  点 的坐标为 ．(3)  二次函数的对称轴交 轴于 点．  点的坐标为 ． ，设 所在的直线解析式为 ，  解得   所在的直线解析式为 ．  点是 与 的交点， ，解得 ，， 当 时，， ， (4)  存在．设点 到 轴的距离为 ．   ，．，   ，解得 ．当 在 轴上方时，，解得 ，．当 在 轴下方时，，解得 ，． ，，，．