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河南省新乡市第十中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷(含答案)
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这是一份河南省新乡市第十中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了下列事件中，是必然事件的是，函数y＝与y＝ax﹣a等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省新乡十中九年级第一学期期末数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
B．任意画一个三角形，其内角和为180°
C．对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”
2．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则下列三角函数值正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，DE∥BC，若AB＝15，AC＝9，BD＝3，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．12
5．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（ ）
A．52° B．54° C．56° D．60°
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（ ）
A．36° B．60° C．65° D．72°
7．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数
B．扔一枚面额一元的硬币，正面朝上
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
9．函数y＝与y＝ax﹣a（为a常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝1，则k的值为（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5 D．5
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
12．已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是 ．
13．反比例函数y＝﹣的图象上有三点（﹣3，y1），（1，y2），（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．
14．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为 ．
15．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共75分）
16．计算：（1）（）﹣1+sin45°﹣（π+1）0+tan60°
（2）sin230°+cos230°﹣tan245°
17．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝9m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
18．有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．|
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．
20．如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于M（2，m）和N（﹣1，﹣4）两点，一次函数图象分别交x轴，y轴于AB两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△MON的面积；
（3）请直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围．
21．西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当x≥6时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求当x≥6时，y与x的函数关系式；
（2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC＝∠A．
（2）若CE＝8，AD＝12，求DE的长．
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）请用含t的代数式表示：BP＝ ，BQ＝ ；
（2）求当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？
参考答案
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
B．任意画一个三角形，其内角和为180°
C．对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”
【分析】根据事件发生的可能性大小进行判断即可．
解：A．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言是随机事件，故选项不符合题意；
B．任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，故选项符合题意；
C．对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性是随机事件，故选项不符合题意；
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”是随机事件，故选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了事件的分类，熟练掌握事件的分类是解题的关键．
2．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】由垂径定理，勾股定理，可以求解．
解：设所在圆的圆心为点O，⊙O的半径为r，连接OD，OA，
∵CD⊥AB，点C是中点，
∴O，D，C三点共线，AD＝BD＝4，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是定出圆心，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则下列三角函数值正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，然后利用三角函数定义对各选项进行判断．
解：如图，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝，cosA＝，tanA＝，，
故选：A．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦、余弦、正切定义．
4．如图，DE∥BC，若AB＝15，AC＝9，BD＝3，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．12
【分析】由于DE∥BC，则可得＝，再由题中的数据，即可得出线段AE的长．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
又AB＝15，AC＝9，BD＝3，
即，
解得AE＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题．解题时，要找准对应关系，避免错选其他答案．
5．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（ ）
A．52° B．54° C．56° D．60°
【分析】由“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”知∠DCE＝∠BAD＝108°，然后根据角平分线的定义来求∠DCF的大小．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，
∴∠DCE＝∠BAD＝108°．
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCF＝∠DCE＝54°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（ ）
A．36° B．60° C．65° D．72°
【分析】连接OA，OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故选：C．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
8．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数
B．扔一枚面额一元的硬币，正面朝上
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
【分析】根据频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．
解：A、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现奇数的概率是＝，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B、扔一枚面额一元的硬币，正面朝上的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”的概率是，符合这一结果，故此选项符合题意；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
9．函数y＝与y＝ax﹣a（为a常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论a＞0和a＜0两种情况下两个函数图象所在的象限即可求解．
解：当a＞0时，函数y＝图象在第一、三象限；y＝ax﹣a图象在第一、三、四象限；
当a＜0时，函数y＝图象在第二、四象限；y＝ax﹣a图象在第一、二、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键．
10．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝1，则k的值为（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5 D．5
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BOM＝×|﹣3|＝，S△AOM＝|k|，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得S△OAB＝S△CAB＝1，根据S△AOM﹣S△BOM＝1，求出k的值即可．
解：如图，连接OA、OB，延长AB交y轴于M，则S△BOM＝×|﹣3|＝，S△AOM＝|k|，
∵AB∥x轴，
∴S△OAB＝S△CAB＝1，
即S△AOM﹣S△BOM＝1，
∴|k|﹣＝1，
∵k＜0，
∴k＝﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM﹣S△BOM＝S△ABC＝1是正确解答的关键．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 相离 ．
【分析】先求出⊙O的半径，再根据圆心O到直线l的距离为3即可得出结论．
解：∵⊙O的直径是4，
∴⊙O的半径r＝2，
∵圆心O到直线l的距离为3，3＞2，
∴直线l与⊙O相离．
故答案为：相离．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d＝r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．
12．已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是 3π ．
【分析】根据圆锥的侧面积计算公式进行计算即可得出答案．
解：根据题意可得，
r＝1，l＝3，
S侧＝πrl＝π×1×3＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积计算方法进行求解是解决本题的关键．
13．反比例函数y＝﹣的图象上有三点（﹣3，y1），（1，y2），（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y3＜y1 ．
【分析】根据反比例函数的性质求解即可．
解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣6＜0，
∴反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，在各象限y随x的增大而增大，
∵﹣3＜0＜1＜6，∴y1＞0，y2＜0，y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图形和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数y＝（k≠0）中，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大．
14．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为 ．
【分析】过点O作OG∥CB，先由OG∥CB和平行四边形的性质说明OG是△ABC的中位线并求出OG，再判断△BEF∽△GEO，最后由相似三角形的性质得结论．
【解答】
解：过点O作OG∥CB，交AB于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，
∴AD＝BC＝3，点O是AC的中点．
∵OG∥BC，
∴OG是△ABC的中位线．
∴BG＝＝2.5，OG＝BC＝1.5．
∵BE＝AB＝2．
∴GE＝GB+BE＝4.5．
∵BF∥OG，
∴△BEF∽△GEO．
∴＝．
∴BF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理及平行四边形的性质是解决本题的关键．
15．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【分析】连接CD，证明△DCH≌△DBG，则S四边形DGCH＝S△BDC，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
解：连接CD，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵点D为AB的中点，
∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，
∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，
在△DCH和△DBG中，
，
∴△DCH≌△DBG（ASA），
∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．
∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DCH≌△DBG，得到S四边形DGCH＝S△BDC是关键．
三．解答题（共75分）
16．计算：（1）（）﹣1+sin45°﹣（π+1）0+tan60°
（2）sin230°+cos230°﹣tan245°
【分析】（1）根据负整数指数幂，零次幂以及特殊锐角三角函数值进行计算即可；
（2）根据特殊锐角三角函数值代入进行计算即可．
解：（1）原式＝3+﹣1+×
＝3+﹣1+3
＝5+
＝；
（2）原式＝（）2+（）2﹣×1
＝1﹣
＝．
【点评】本题考查负整数指数幂，零次幂以及特殊锐角三角函数值，掌握负整数指数幂，零次幂的运算性质以及特殊锐角三角函数值是正确简单的前提．
17．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝9m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
【分析】由题意先证明△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．
解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴BC∥DE．
∴，．
∴△ABC∽△ADE．
∴．
∵BC＝1，DE＝1.5，BD＝9，
∴．
解得AB＝18．
∴河宽AB为18米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．|
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出小亮获胜的概率和小明获胜的概率，得出游戏不公平．
解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即（A，C），（C，A），
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝＝，
∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为，
∴游戏不公平．
【点评】此题考查的是概率的应用，掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．
【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）连接OD，OE，利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DAC＝20°，然后利用圆周角定理可得∠DOE＝2∠DAE＝40°，即可解答．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD，OE，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，
∴所对的圆心角的度数为40°．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于M（2，m）和N（﹣1，﹣4）两点，一次函数图象分别交x轴，y轴于AB两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△MON的面积；
（3）请直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）把N的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把M的坐标代入求出M的坐标，把M、N的坐标代入一次函数y＝ax+b即可求出一次函数的解析式；
（2）求出A的坐标，求出△AOM和△AON的面积，即可求出答案；
（3）根据函数的图象和M、N的坐标即可得出答案．
解：（1）∵把N（﹣1，﹣4）代入y1＝得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y1＝，
∵M（2，m）代入反比例函数y1＝得：m＝2，
∴M的坐标是（2，2），
把M、N的坐标代入一次函数y2＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数的解析式是y＝2x﹣2；
（2）∵把y＝0代入一次函数的解析式是y＝2x﹣2得：0＝2x﹣2，
解得x＝1，
∴A（1，0），
∴S△MON＝SAOM+S△AON＝×1×2+×1×4＝3；
（3）从图象可知：当y1＞y2时自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想，题目比较好．
21．西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当x≥6时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求当x≥6时，y与x的函数关系式；
（2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
【分析】（1）首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）线求出A点坐标，再求出线段OA的函数解析式，再把y＝1.5分别代入两个解析式求出x计算即可．
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝（k≠0），
将（15，4）代入，得15＝．
∴k＝4×15＝60，
∴y与x的函数关系式为y＝（x≥6）；
（2）当x＝6时y＝＝10，
∴点A的坐标为（6，10）；
由A点（6，10）可得OA所在直线表达式为y＝x＝x，
将y＝1.5代入y＝，得x＝1.5，
∴x＝0.9，
将y＝1.5代入y＝，得＝1.5，
∴x＝40，
∴40﹣0.9＝39.1（分钟），
超过30分钟，故是有效消毒．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC＝∠A．
（2）若CE＝8，AD＝12，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得出∠ADB＝90°，求出∠A+∠DBO＝90°，根据切线的性质求出∠ODC＝90°，求出∠BDC+∠ODB＝90°，即可得出答案；
（2）求出∠A＝∠DCE，根据相似三角形的判定得出△AEC∽△CED，得出比例式，求出即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠DBO＝90°，
∵CD切⊙O于D，
∴∠CDO＝90°，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠DBO＝∠ODB，
∴∠BDC＝∠A；
（2）解：∵CE⊥AE，
∴∠E＝∠ADB＝90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠E＝∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝4．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）请用含t的代数式表示：BP＝ 5tcm ，BQ＝ （8﹣4t）cm ；
（2）求当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？
【分析】（1）根据题意列式即可；
（2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可．
【解答】（1）解：根据题意知：BP＝5tcm，BQ＝（8﹣4t）cm，
故答案为：5tcm，（8﹣4t）cm；
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm）．
分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，
＝，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴＝，
解得，t＝1；
②当△BPQ∽△BCA时，
＝，
∴＝，
解得，t＝，
∴t＝1或t＝时，△BPQ与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形动点问题以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
2022-2023学年河南省新乡十中九年级第一学期期末数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
B．任意画一个三角形，其内角和为180°
C．对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”
2．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则下列三角函数值正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，DE∥BC，若AB＝15，AC＝9，BD＝3，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．12
5．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（ ）
A．52° B．54° C．56° D．60°
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（ ）
A．36° B．60° C．65° D．72°
7．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数
B．扔一枚面额一元的硬币，正面朝上
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
9．函数y＝与y＝ax﹣a（为a常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝1，则k的值为（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5 D．5
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
12．已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是 ．
13．反比例函数y＝﹣的图象上有三点（﹣3，y1），（1，y2），（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．
14．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为 ．
15．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共75分）
16．计算：（1）（）﹣1+sin45°﹣（π+1）0+tan60°
（2）sin230°+cos230°﹣tan245°
17．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝9m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
18．有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．|
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．
20．如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于M（2，m）和N（﹣1，﹣4）两点，一次函数图象分别交x轴，y轴于AB两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△MON的面积；
（3）请直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围．
21．西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当x≥6时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求当x≥6时，y与x的函数关系式；
（2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC＝∠A．
（2）若CE＝8，AD＝12，求DE的长．
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）请用含t的代数式表示：BP＝ ，BQ＝ ；
（2）求当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？
参考答案
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
B．任意画一个三角形，其内角和为180°
C．对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”
【分析】根据事件发生的可能性大小进行判断即可．
解：A．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言是随机事件，故选项不符合题意；
B．任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，故选项符合题意；
C．对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性是随机事件，故选项不符合题意；
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”是随机事件，故选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了事件的分类，熟练掌握事件的分类是解题的关键．
2．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】由垂径定理，勾股定理，可以求解．
解：设所在圆的圆心为点O，⊙O的半径为r，连接OD，OA，
∵CD⊥AB，点C是中点，
∴O，D，C三点共线，AD＝BD＝4，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是定出圆心，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则下列三角函数值正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，然后利用三角函数定义对各选项进行判断．
解：如图，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝，cosA＝，tanA＝，，
故选：A．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦、余弦、正切定义．
4．如图，DE∥BC，若AB＝15，AC＝9，BD＝3，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．12
【分析】由于DE∥BC，则可得＝，再由题中的数据，即可得出线段AE的长．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
又AB＝15，AC＝9，BD＝3，
即，
解得AE＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题．解题时，要找准对应关系，避免错选其他答案．
5．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（ ）
A．52° B．54° C．56° D．60°
【分析】由“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”知∠DCE＝∠BAD＝108°，然后根据角平分线的定义来求∠DCF的大小．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，
∴∠DCE＝∠BAD＝108°．
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCF＝∠DCE＝54°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（ ）
A．36° B．60° C．65° D．72°
【分析】连接OA，OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故选：C．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
8．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数
B．扔一枚面额一元的硬币，正面朝上
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
【分析】根据频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．
解：A、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现奇数的概率是＝，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B、扔一枚面额一元的硬币，正面朝上的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”的概率是，符合这一结果，故此选项符合题意；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
9．函数y＝与y＝ax﹣a（为a常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论a＞0和a＜0两种情况下两个函数图象所在的象限即可求解．
解：当a＞0时，函数y＝图象在第一、三象限；y＝ax﹣a图象在第一、三、四象限；
当a＜0时，函数y＝图象在第二、四象限；y＝ax﹣a图象在第一、二、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键．
10．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝1，则k的值为（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5 D．5
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BOM＝×|﹣3|＝，S△AOM＝|k|，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得S△OAB＝S△CAB＝1，根据S△AOM﹣S△BOM＝1，求出k的值即可．
解：如图，连接OA、OB，延长AB交y轴于M，则S△BOM＝×|﹣3|＝，S△AOM＝|k|，
∵AB∥x轴，
∴S△OAB＝S△CAB＝1，
即S△AOM﹣S△BOM＝1，
∴|k|﹣＝1，
∵k＜0，
∴k＝﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM﹣S△BOM＝S△ABC＝1是正确解答的关键．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 相离 ．
【分析】先求出⊙O的半径，再根据圆心O到直线l的距离为3即可得出结论．
解：∵⊙O的直径是4，
∴⊙O的半径r＝2，
∵圆心O到直线l的距离为3，3＞2，
∴直线l与⊙O相离．
故答案为：相离．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d＝r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．
12．已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是 3π ．
【分析】根据圆锥的侧面积计算公式进行计算即可得出答案．
解：根据题意可得，
r＝1，l＝3，
S侧＝πrl＝π×1×3＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积计算方法进行求解是解决本题的关键．
13．反比例函数y＝﹣的图象上有三点（﹣3，y1），（1，y2），（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y3＜y1 ．
【分析】根据反比例函数的性质求解即可．
解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣6＜0，
∴反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，在各象限y随x的增大而增大，
∵﹣3＜0＜1＜6，∴y1＞0，y2＜0，y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图形和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数y＝（k≠0）中，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大．
14．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为 ．
【分析】过点O作OG∥CB，先由OG∥CB和平行四边形的性质说明OG是△ABC的中位线并求出OG，再判断△BEF∽△GEO，最后由相似三角形的性质得结论．
【解答】
解：过点O作OG∥CB，交AB于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，
∴AD＝BC＝3，点O是AC的中点．
∵OG∥BC，
∴OG是△ABC的中位线．
∴BG＝＝2.5，OG＝BC＝1.5．
∵BE＝AB＝2．
∴GE＝GB+BE＝4.5．
∵BF∥OG，
∴△BEF∽△GEO．
∴＝．
∴BF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理及平行四边形的性质是解决本题的关键．
15．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【分析】连接CD，证明△DCH≌△DBG，则S四边形DGCH＝S△BDC，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
解：连接CD，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵点D为AB的中点，
∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，
∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，
在△DCH和△DBG中，
，
∴△DCH≌△DBG（ASA），
∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．
∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DCH≌△DBG，得到S四边形DGCH＝S△BDC是关键．
三．解答题（共75分）
16．计算：（1）（）﹣1+sin45°﹣（π+1）0+tan60°
（2）sin230°+cos230°﹣tan245°
【分析】（1）根据负整数指数幂，零次幂以及特殊锐角三角函数值进行计算即可；
（2）根据特殊锐角三角函数值代入进行计算即可．
解：（1）原式＝3+﹣1+×
＝3+﹣1+3
＝5+
＝；
（2）原式＝（）2+（）2﹣×1
＝1﹣
＝．
【点评】本题考查负整数指数幂，零次幂以及特殊锐角三角函数值，掌握负整数指数幂，零次幂的运算性质以及特殊锐角三角函数值是正确简单的前提．
17．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝9m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
【分析】由题意先证明△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．
解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴BC∥DE．
∴，．
∴△ABC∽△ADE．
∴．
∵BC＝1，DE＝1.5，BD＝9，
∴．
解得AB＝18．
∴河宽AB为18米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．|
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出小亮获胜的概率和小明获胜的概率，得出游戏不公平．
解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即（A，C），（C，A），
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝＝，
∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为，
∴游戏不公平．
【点评】此题考查的是概率的应用，掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．
【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）连接OD，OE，利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DAC＝20°，然后利用圆周角定理可得∠DOE＝2∠DAE＝40°，即可解答．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD，OE，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，
∴所对的圆心角的度数为40°．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于M（2，m）和N（﹣1，﹣4）两点，一次函数图象分别交x轴，y轴于AB两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△MON的面积；
（3）请直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）把N的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把M的坐标代入求出M的坐标，把M、N的坐标代入一次函数y＝ax+b即可求出一次函数的解析式；
（2）求出A的坐标，求出△AOM和△AON的面积，即可求出答案；
（3）根据函数的图象和M、N的坐标即可得出答案．
解：（1）∵把N（﹣1，﹣4）代入y1＝得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y1＝，
∵M（2，m）代入反比例函数y1＝得：m＝2，
∴M的坐标是（2，2），
把M、N的坐标代入一次函数y2＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数的解析式是y＝2x﹣2；
（2）∵把y＝0代入一次函数的解析式是y＝2x﹣2得：0＝2x﹣2，
解得x＝1，
∴A（1，0），
∴S△MON＝SAOM+S△AON＝×1×2+×1×4＝3；
（3）从图象可知：当y1＞y2时自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想，题目比较好．
21．西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当x≥6时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求当x≥6时，y与x的函数关系式；
（2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
【分析】（1）首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）线求出A点坐标，再求出线段OA的函数解析式，再把y＝1.5分别代入两个解析式求出x计算即可．
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝（k≠0），
将（15，4）代入，得15＝．
∴k＝4×15＝60，
∴y与x的函数关系式为y＝（x≥6）；
（2）当x＝6时y＝＝10，
∴点A的坐标为（6，10）；
由A点（6，10）可得OA所在直线表达式为y＝x＝x，
将y＝1.5代入y＝，得x＝1.5，
∴x＝0.9，
将y＝1.5代入y＝，得＝1.5，
∴x＝40，
∴40﹣0.9＝39.1（分钟），
超过30分钟，故是有效消毒．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC＝∠A．
（2）若CE＝8，AD＝12，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得出∠ADB＝90°，求出∠A+∠DBO＝90°，根据切线的性质求出∠ODC＝90°，求出∠BDC+∠ODB＝90°，即可得出答案；
（2）求出∠A＝∠DCE，根据相似三角形的判定得出△AEC∽△CED，得出比例式，求出即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠DBO＝90°，
∵CD切⊙O于D，
∴∠CDO＝90°，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠DBO＝∠ODB，
∴∠BDC＝∠A；
（2）解：∵CE⊥AE，
∴∠E＝∠ADB＝90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠E＝∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝4．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）请用含t的代数式表示：BP＝ 5tcm ，BQ＝ （8﹣4t）cm ；
（2）求当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？
【分析】（1）根据题意列式即可；
（2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可．
【解答】（1）解：根据题意知：BP＝5tcm，BQ＝（8﹣4t）cm，
故答案为：5tcm，（8﹣4t）cm；
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm）．
分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，
＝，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴＝，
解得，t＝1；
②当△BPQ∽△BCA时，
＝，
∴＝，
解得，t＝，
∴t＝1或t＝时，△BPQ与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形动点问题以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
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