天津市南开中学2022-2023学年上学期九年级数学期末测试卷 (含答案)

这是一份天津市南开中学2022-2023学年上学期九年级数学期末测试卷 (含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
天津市南开中学2022-2023学年第一学期九年级数学期末测试卷（附答案）
一、选择题（共36分）
1．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．画一个三角形，其内角和是180°
B．明天太阳从西方升起
C．任意选择电视的某一频道，正在播放动画片
D．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天
3．如图，过原点O的直线与反比例函数的图象相交于点A、B，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为（　　）

A．y＝3x B．y＝﹣3x C． D．
4．一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后不放回，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则AC的长为（　　）

A．14 B．12 C．10 D．9
6．某种药品经过了两次降价，从每盒54元降到每盒42元．若平均每次降低的百分率都为x，则根据题意，可得方程（　　）
A．54（1﹣x）2＝42 B．54（1﹣x2）＝42
C．54（1﹣2x）＝42 D．42（1+x）2＝54
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．则⊙O的半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2.5
8．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
9．若双曲线的一个分支位于第三象限，则k的取值范围是（　　）
A．k≠2 B．k≥2 C．k＞2 D．k＜2
10．如图，∠AOB＝90°，∠B＝35°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A'OB'，旋转角为α．若点A'落在AB上，则旋转角α的大小是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
11．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x＝﹣1，x＝3；③当x＞0时，y随x增大而减小；④a+2b＝c；⑤y最大值＝．其中正确的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共24分）
13．若方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2+x1x2＝　 　．
14．以方程x2﹣4x+3＝0的两根分别为腰和底的等腰三角形的周长为 　 　．
15．已知两个相似三角形的周长比为2：3，若较大三角形的面积等于18cm2，则较小三角形面积等于 　 　．
16．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝　 　°．

17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB＝30°，CD＝6，则阴影部分面积为 　 　．

18．如图，由小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点，
（1）线段AB的长度为 　 　；
（2）用无刻度的直尺，在⊙O上找一点D，使点D平分（保留画图痕迹）．

三、解答题（共60分）
19．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是 　 　；
（2）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍数的概率．

20．已知：正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，
（1）当x＝﹣3时，求反比例函数y＝的值；
（2）当﹣3＜x＜2时（x≠0），反比例函数y＝的取值范围是 　 　；
（3）当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是 　 　．


21．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2＝AD•BD．
（1）求∠A+∠B的度数；
（2）若BD＝3CD，△ACD的面积为2，求△ABC的面积．

22．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）如图1，点D在⊙O上，且AC＝CD，若∠CDA＝24°，求∠BOD；
（2）如图2，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，若⊙O的直径为6，AC＝3，求EA．

23．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于64元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）分析数量关系填表：
每台售价（元）
60
61
62
…
60+x
月销售量（台）
300
290
280
…
　 　
（2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围；
（3）当售价定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大？最大利润是多少？
24．平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．
（1）如图（1）当OP＝2时，求点Q的坐标；
（2）如图（2），设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S．求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；
（3）当BP+BQ＝8时，求点Q的坐标（直接写出结果即可）．

25．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（6，0），交y轴于点D（0，﹣3）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为抛物线l1的对称轴上一动点，连接PA，PC，当∠APC＝90°时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．


参考答案
一、选择题（共36分）
1．解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．解：A、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，不符合题意；
B、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
C、任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，是随机事件，符合题意；
D、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天，是必然事件，不符合题意；
故选：C．
3．解：因为A、B是反比例函数和正比例函数的交点，
所以A、B关于原点对称，
由图可知，A点坐标为（1，3），
设反比例函数解析式为y＝，
将（1，3）代入解析式得：k＝1×3＝3，
可得函数解析式为y＝．
故选：C．
4．解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有6种，
∴两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是＝，
故选：B．
5．解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
∴EC＝3，
∴AC＝AE+CE＝6+3＝9．
故选：D．
6．解：设平均每次降价的百分率为x，
54（1﹣x）2＝42．
故选：A．
7．解：BC＝5，AC＝12，由勾股定理得：AB＝13，
如图，连接OA、OB、OC、OF，
由⊙O是△ABC的内切圆．
可以设OD＝OE＝OF＝R，

∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴×AC×BC＝×AB×OF+AC×OE+BC×OD，
∴5×12＝13R+12R+5R，
∴R＝2．
答：R的值是2．
故选：B．
8．解：∵m2≥0，
∴m2+1≥1，是正数，
∴反比例函数y＝的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数图象上，
∴0＜y2＜y1，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：A．
9．解：∵双曲线的一个分支位于第三象限，
∴k﹣2＞0，
解得k＞2，
故选：C．
10．解：∵∠AOB＝90°，∠B＝35°，
∴∠A＝55°，
∵△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，
∴OA＝OA′，∠AOA'＝α，
∴∠A＝∠AA'O＝55°，
∴∠AOA′＝70°，即旋转角α的大小可以是70°，
故选：D．
11．解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此选项正确；
故选：D．
12．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3，
所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故③不正确；
∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴a+2b﹣c＝a﹣4a+3a＝0，即a+2b＝c，
所以④正确；
∵当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，
函数有最大值y＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝c+c＝c，
所以⑤正确．
故选：C．
二、填空题（共24分）
13．解：∵方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣2，
则原式＝﹣3﹣2
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
14．解：解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，
当1为腰，3为底时，不能构成等腰三角形；
当3为腰，1为底时，能构成等腰三角形，周长为3+3+1＝7．
故周长为7．
故答案为：7．
15．解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比是2：3，
∴两个相似三角形的面积比是4：9，
又较大三角形的面积等于18cm2，
∴较小三角形的面积为8cm2，
故答案为：8cm2．
16．解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，
∵正十边形的各边都相等，
∴∠A7OA4＝×360°＝108°，
∴∠A4A1A7＝×108°＝54°．
故答案为：54．

17．解：连接BC，
∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
又∵CO＝BO，
∴△COB是等边三角形，
∵E为OB的中点，
∴CD⊥AB，
∵CD＝6，
∴EC＝3，
∴sin60°×CO＝3，
解得：CO＝2，
故阴影部分的面积为：＝4π．
故答案为：4π．

18．解：（1）AB＝＝2，
故答案为：2；
（2）如图，点D即为所求．

三、解答题（共60分）
19．解：（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是＝；
故答案为：；
（2）列表格如下：
十位      个位
A
2
3
4
A
11
12
13
14
2
21
22
23
24
3
31
32
33
34
4
41
42
43
44
共得到16个数，其中是3的倍数的是12，21，24，33，42，共5个，
∴P（这个两位数是3的倍数）＝．
20．解：（1）∵正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，
∴这个交点的横坐标x＝y＝2，
即这个交点的坐标为（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝，
当x＝﹣3时，y＝﹣，
即当x＝﹣3时，反比例函数y＝的值为﹣；
（2）当x＝2时，y＝＝2，当x＝﹣3时，y＝﹣，由反比例函数的图象可知，
当﹣3＜x＜0时，即图象在第三象限，y＜﹣，
当0＜x＜2时，即图象在第一象限，y＞2，
∴当﹣3＜x＜2时（x≠0），反比例函数y＝的取值范围是y＜﹣或y＞2，
故答案为：y＜﹣或y＞2；
（3）由对称性可知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交点A（2，2），B（﹣2，﹣2），
所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2，
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞2．
21．解：（1）∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵CD2＝AD•BD，
∴AD：CD＝CD：BD，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A＝∠BCD，
又∵∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°；
（2）由（1）可知，△ADC∽△CDB，AD：CD＝CD：BD，
∵BD＝3CD，
∴AD：CD＝CD：BD＝1：3，即CD＝3AD，
∴△ACD的面积：△BCD的面积＝1：9，
∵△ACD的面积为2，
∴△BCD的面积为18，
∴△ABC的面积为20．
22．解：（1）如图①，连接OC，
∵AC＝CD，∠CDA＝24°，
∴∠CAD＝∠CDA＝24°，＝，
∴∠COD＝∠AOC＝2×24°＝48°，
∴∠AOD＝96°，
∴∠BOD＝180°﹣96°＝84°；
（2）如图②，连接OC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，AC＝3，
∴∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO＝60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠E＝∠CAO﹣∠ACE＝30°，
∴∠E＝∠ACE，
∴AE＝AC＝3．

23．解：（1）61﹣60＝1，300﹣290＝10，以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，
所以当每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，则月销售量为300﹣10x，
故答案为：300﹣10x；
（2）由题意得：y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，
∵每件售价不能高于64元，
∴0≤x≤4，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x2+100x+6000（0≤x≤4，x为整数）；
（3）由（2）知，y＝﹣10x2+100x﹣6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，
∵﹣10＜0，0≤x≤4，
∴当x＝4时，y有最大值，最大值为6240，
此时60+x＝64，
答：当售价定为64时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，最大利润是6240元．
24．解：（1）如图（1），过P点作PG⊥x轴，垂足为G，
过Q点作QH⊥x轴，垂足为H．

∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOB＝45°．
∵B（6，6），
∴OA＝6．
在Rt△OPG中，
，
∴OG＝PG＝2．
∴AG＝OA﹣OG＝4．
∵△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，
∴∠PAQ＝90°，AQ＝AP，
∴∠PAG+∠QAH＝90°，
∵∠PAG+∠APG＝90°，
∴∠APG＝∠QAH，
∴△AQH≌△APG（AAS）．
∴AH＝PG＝2，QH＝AG＝4．
∴Q（8，4）；
（2）如图（2），过P点作PG⊥x轴，垂足为G．

∵△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝90°．
∵P（x，y），∠POG＝45°，
∴OG＝PG＝x，
∴AG＝6﹣x．
在Rt△APG中，根据勾股定理，
AP2＝AG2+PG2＝（6﹣x）2+x2，
整理得AP2＝2x2﹣12x+36．
∵S△APQ＝AP•AQ，
∴S＝x2﹣6x+18＝（x﹣3）2+9．
∴当S取最小值时，有x＝3，
∴P（3，3）；
（3）Q（13，﹣1）．
理由如下：如图（3），

∵△AOP绕点A旋转得到△ABQ，
∴OP＝BQ．
∵BP+BQ＝，
∴BP+OP＝．
∵OB＝，
∴点P在OB的延长线上．
∴OP﹣BP＝OB＝．
由
解得：OP＝，BP＝．
∴，
∴AG＝OG﹣OA＝1，
同（1）：Rt△AQH≌Rt△APG，
∴AH＝PG＝7，QH＝AG＝1，
∴OH＝OA+AH＝6+7＝13，
∴Q（13，﹣1）．
25．解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0）
设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把D（0，﹣3）代入得a•1•（﹣6）＝﹣3，解得a＝，
所以抛物线l2的解析式为y＝（x+1）（x﹣6），即y＝x2﹣x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）
抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
设P（1，t），则AC2＝12+32＝10，PC2＝12+（t﹣3）2，PA2＝22+t2，
∵∠APC＝90°，
∴PC2+PA2＝AC2，即12+（t﹣3）2+22+t2＝10，
整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，
∴点P的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）抛物线l2与抛物线l1经过的另一个交点为F，如图2，
解方程x2﹣x﹣3＝﹣x2+2x+3得x1＝﹣1，x2＝4，则F（4，﹣5），
设M（x，x2﹣x﹣3），则N（x，﹣x2+2x+3），
当﹣1≤x＜4时，MN＝﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，此时x＝时，MN有最大值；
当4≤x≤6时，MN＝x2﹣x﹣3﹣（﹣x2+2x+3）＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣，此时x＝6时，MN有最大值21；
所以点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为21．