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    湖南省益阳市六校联考2022-2023学年上学期八年级期末数学试卷 (含答案)

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    湖南省益阳市六校联考2022-2023学年上学期八年级期末数学试卷 (含答案)

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    这是一份湖南省益阳市六校联考2022-2023学年上学期八年级期末数学试卷 (含答案),共23页。试卷主要包含了单项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2022-2023学年湖南省益阳市六校联考八年级第一学期期末数学试卷
    一、单项选择题(共60分)
    1.下列各式中是分式的是(  )
    A. B.x+y C. D.
    2.已知=(a≠0,b≠0),下列变形错误的是(  )
    A.= B.2a=3b C.= D.3a=2b
    3.的绝对值是(  )
    A.3 B.﹣3 C. D.﹣
    4.若关于x的不等式x﹣m≥﹣1的解集如图所示,则m等于(  )

    A.0 B.1 C.2 D.3
    5.设M=,其中a=3,b=2,则M的值为(  )
    A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1
    6.若等腰三角形的两边长分别为6和8,则周长为(  )
    A.20或22 B.20 C.22 D.无法确定
    7.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为(  )

    A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
    8.如图,△ABC的面积为8cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,则△PBC的面积为(  )

    A.2cm2 B.3cm2 C.4cm2 D.5cm2
    9.一专业户计划在一定时间内种植蔬菜60亩,在实际播种时,每天比原计划多种了3亩,故提前1天完成,那么求实际播种时间为x天的方程是(  )
    A.﹣=3 B.﹣=3
    C.﹣=3 D.﹣=3
    10.某种商品的进价为80元,出售时标价为120元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打几折?如果将该商品打x折销售,则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是(  )
    A.120x≥80×5% B.120x﹣80≥80×5%
    C.120×≥80×5% D.120×﹣80≥80×5%
    11.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(  )
    ①AD是∠BAC的平分线;
    ②∠ADC=60°;
    ③点D在AB的中垂线上.

    A.1 B.2 C.3 D.0
    12.如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①AC=BD;②∠AMB=40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC.其中正确的个数为(  )

    A.4 B.3 C.2 D.1
    二、填空题(共30分)
    13.9的平方根是    .
    14.计算:﹣=   .
    15.如图所示,已知AF=DC,BC∥EF,若要用“ASA”去证△ABC≌△DEF,则需添加的条件是   .

    16.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=20°,线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE为   .

    17.关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围为    .
    18.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,D是AC边上的一点,连接BD,过A作AE⊥BD交BD于E,AF⊥AE,且AF=AE,连接FE并延长,交BC于M点.若四边形ABME的面积为8,则△CFM的面积为   .

    三、解答题(共60分)
    19.解方程:
    (1).
    (2).
    20.求不等式组:的整数解.
    21.如图,∠BCA=90°,AC=BC,BE⊥CF于点E,AF⊥CF于点F,其中0<∠ACF<45°.
    (1)求证:△BEC≌△CFA;
    (2)若AF=5,EF=8,求BE的长.

    22.如图,长青农产品加工厂与A,B两地有公路、铁路相连,这家工厂从A地购买一批原料甲运回工厂,经过加工后制成产品乙运B地,其中原料甲和产品乙的重量都是正整数.铁路运价为2元/(吨•千米),公路运价为8元/(吨•千米).
    (1)若由A到B的两次运输中,原料甲比产品乙多9吨,工厂计划支出铁路运费超过5700元,公路运费不超过9680元,问购买原料甲有哪几种方案,分别是多少吨?
    (2)由于国家出台惠农政策,对运输农产品的车辆免收高速通行费,并给予一定的财政补贴,综合惠农政策后公路运输价格下降m(0<m<4且m为整数)元,若由A到B的两次运输中,铁路运费为5760元,公路运费为5100元,求m的值.

    23.(16分)如图,在等边三角形ABC右侧作射线CP,∠ACP=α(0<α<60°),点A关于射线CP的对称点为点D,BD交CP于点E,连接AD,AE.
    (1)求∠DBC的大小(用含α的代数式表示);
    (2)在α(0°<α<60°)的变化过程中,∠AEB的大小是否发生变化?如果发生变化,请直接写出变化的范围;如果不发生变化,请直接写出∠AEB的大小;
    (3)用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系,并证明.



    参考答案
    一、单项选择题(共60分)
    1.下列各式中是分式的是(  )
    A. B.x+y C. D.
    【分析】根据分式的定义,逐一判断即可解答.
    解:A、是整式,不是分式,故A不符合题意;
    B、x+y是整式,不是分式,故B不符合题意;
    C、是整式,不是分式,故B不符合题意;
    D、是分式,故D符合题意;
    故选:D.
    【点评】本题考查了分式的定义,熟练掌握分式的定义是解题的关键.
    2.已知=(a≠0,b≠0),下列变形错误的是(  )
    A.= B.2a=3b C.= D.3a=2b
    【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.
    解:由=得,3a=2b,
    A、由等式性质可得:3a=2b,正确;
    B、由等式性质可得2a=3b,错误;
    C、由等式性质可得:3a=2b,正确;
    D、由等式性质可得:3a=2b,正确;
    故选:B.
    【点评】本题考查了比例的性质,主要利用了两内项之积等于两外项之积.
    3.的绝对值是(  )
    A.3 B.﹣3 C. D.﹣
    【分析】首先利用立方根的定义化简,然后利用绝对值的定义即可求解.
    解:=|﹣3|=3.
    故选:A.
    【点评】本题考查了三次根式的化简和绝对值的定义,在计算过程中要注意按运算顺序逐步计算,以免出错.
    4.若关于x的不等式x﹣m≥﹣1的解集如图所示,则m等于(  )

    A.0 B.1 C.2 D.3
    【分析】首先解得关于x的不等式x﹣m≥﹣1的解集即x≥m﹣1,然后观察数轴上表示的解集,求得m的值.
    解:关于x的不等式x﹣m≥﹣1,
    得x≥m﹣1,
    由题目中的数轴表示可知:
    不等式的解集是:x≥2,
    因而可得到,m﹣1=2,
    解得,m=3.
    故选:D.
    【点评】本题解决的关键是正确解出关于x的不等式,把不等式问题转化为方程问题.
    5.设M=,其中a=3,b=2,则M的值为(  )
    A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1
    【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简,进而将已知代入求出答案.
    解:原式=×﹣×
    =1﹣,
    =1﹣|a|,
    ∵a=3,b=2,
    ∴原式=1﹣3=﹣2.
    故选:B.
    【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值,正确化简二次根式是解题关键.
    6.若等腰三角形的两边长分别为6和8,则周长为(  )
    A.20或22 B.20 C.22 D.无法确定
    【分析】分6是腰长与底边两种情况分情况讨论,再利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形.
    解:若6是腰长,则三角形的三边分别为6、6、8,
    能组成三角形,
    周长=6+6+8=20,
    若6是底边长,则三角形的三边分别为6、8、8,
    能组成三角形,
    周长=6+8+8=22,
    综上所述,三角形的周长为20或22.
    故选:A.
    【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,难点在于分情况讨论.
    7.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为(  )

    A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
    【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线,可得AN=BN,然后根据△BCN的周长是7cm,以及AN+NC=AC,求出BC的长为多少即可.
    解:∵MN是线段AB的垂直平分线,
    ∴AN=BN,
    ∵△BCN的周长是7cm,
    ∴BN+NC+BC=7(cm),
    ∴AN+NC+BC=7(cm),
    ∵AN+NC=AC,
    ∴AC+BC=7(cm),
    又∵AC=4cm,
    ∴BC=7﹣4=3(cm).
    故选:C.
    【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①垂直平分线垂直且平分其所在线段.②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.③三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等.
    8.如图,△ABC的面积为8cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,则△PBC的面积为(  )

    A.2cm2 B.3cm2 C.4cm2 D.5cm2
    【分析】延长AP交BC于点D,先根据已知条件可得AB=AD,再根据等腰三角形的性质可得AP=DP,再根据三角形中线的性质可得S△APB=S△DBP,S△APC=S△DPC,进一步可得△PBC的面积.
    解:延长AP交BC于点D,如图所示,
    ∵BP平分∠ABC,AP⊥BP,
    ∴∠ABP=∠DBP,∠APB=∠DPB=90°,
    ∴∠PAB=∠PDB,
    ∴BA=BD,
    ∵BP⊥AD,
    ∴AP=DP,
    ∴S△APB=S△DBP,S△APC=S△DPC,
    ∴,
    ∵△ABC的面积为8cm2,
    ∴△PBC的面积为4cm2,
    故选:C.

    【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质,角平分线的定义,三角形中线的性质,熟练掌握这些知识是解题的关键.
    9.一专业户计划在一定时间内种植蔬菜60亩,在实际播种时,每天比原计划多种了3亩,故提前1天完成,那么求实际播种时间为x天的方程是(  )
    A.﹣=3 B.﹣=3
    C.﹣=3 D.﹣=3
    【分析】设实际种了x天,则原计划需要(x+1)天,根据题意可得:实际每天种的亩数﹣原计划每天种的亩数=3,根据等量关系列出方程即可.
    解:设实际种了x天,由题意得:
    =3,
    故选:A.
    【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,再列出方程.
    10.某种商品的进价为80元,出售时标价为120元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打几折?如果将该商品打x折销售,则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是(  )
    A.120x≥80×5% B.120x﹣80≥80×5%
    C.120×≥80×5% D.120×﹣80≥80×5%
    【分析】直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案.
    解:根据题意可得:
    120×﹣80≥80×5%.
    故选:D.
    【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式,正确得出不等关系是解题关键.
    11.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(  )
    ①AD是∠BAC的平分线;
    ②∠ADC=60°;
    ③点D在AB的中垂线上.

    A.1 B.2 C.3 D.0
    【分析】根据角平分线的做法可得①正确,再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°,再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确.
    解:①AD是∠BAC的平分线,说法正确;
    ②∵∠C=90°,∠B=30°,
    ∴∠CAB=60°,
    ∵AD平分∠CAB,
    ∴∠DAB=30°,
    ∴∠ADC=30°+30°=60°,
    因此∠ADC=60°正确;
    ③∵∠DAB=30°,∠B=30°,
    ∴AD=BD,
    ∴点D在AB的中垂线上,故③说法正确,
    故选:C.
    【点评】此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的性质,熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键.
    12.如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①AC=BD;②∠AMB=40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC.其中正确的个数为(  )

    A.4 B.3 C.2 D.1
    【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB,AC=BD,①正确;
    由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD,由三角形的外角性质得:∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD,得出∠AMB=∠AOB=40°,②正确;
    作OG⊥MC于G,OH⊥MB于H,如图所示:则∠OGC=∠OHD=90°,由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS),得出OG=OH,由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC,④正确;
    由∠AOB=∠COD,得出当∠DOM=∠AOM时,OM才平分∠BOC,假设∠DOM=∠AOM,则∠COM=∠BOM,由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO,推出△COM≌△BOM,得OB=OC,而OA=OB,所以OA=OC,而OA>OC,故③错误;即可得出结论.
    解:∵∠AOB=∠COD=40°,
    ∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD,
    即∠AOC=∠BOD,
    在△AOC和△BOD中,,
    ∴△AOC≌△BOD(SAS),
    ∴∠OCA=∠ODB,AC=BD,①正确;
    ∴∠OAC=∠OBD,
    由三角形的外角性质得:∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD,
    ∴∠AMB=∠AOB=40°,②正确;
    作OG⊥MC于G,OH⊥MB于H,如图2所示:
    则∠OGC=∠OHD=90°,
    在△OCG和△ODH中,,
    ∴△OCG≌△ODH(AAS),
    ∴OG=OH,
    ∴MO平分∠BMC,④正确;
    ∵∠AOB=∠COD,
    ∴当∠DOM=∠AOM时,OM才平分∠BOC,
    假设∠DOM=∠AOM
    ∵∠AOB=∠COD,
    ∴∠COM=∠BOM,
    ∵MO平分∠BMC,
    ∴∠CMO=∠BMO,
    在△COM和△BOM中,,
    ∴△COM≌△BOM(ASA),
    ∴OB=OC,
    ∵OA=OB
    ∴OA=OC
    与OA>OC矛盾,
    ∴③错误;
    正确的个数有3个;
    故选:B.

    【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识;证明三角形全等是解题的关键.
    二、填空题(共30分)
    13.9的平方根是  ±3 .
    【分析】根据平方根的定义即可求解.
    解:∵(±3)2=9,
    ∴9的平方根是±3,
    故答案为:±3.
    【点评】本题主要考查了平方根,掌握平方根的定义是解题的关键.
    14.计算:﹣=  .
    【分析】原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分即可得到结果.
    解:原式=﹣

    =.
    故答案为:.
    【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
    15.如图所示,已知AF=DC,BC∥EF,若要用“ASA”去证△ABC≌△DEF,则需添加的条件是 ∠A=∠D .

    【分析】此题是一道开放型的题目,答案不唯一,只要添加一个条件符合全等三角形的判定定理即可.
    解:∠A=∠D,
    理由是:∵AF=CD,
    ∴AF+FC=CD+FC,
    ∴AC=DF,
    ∵BC∥EF,
    ∴∠BCA=∠EFD,
    在△ABC和△DEF中,

    ∴△ABC≌△DEF(ASA).
    故答案为:∠A=∠D.
    【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.
    16.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=20°,线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE为 60° .

    【分析】先根据△ABC中,AB=AC,∠A=20°求出∠ABC的度数,再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE,即∠A=∠ABE=20°即可解答.
    解:∵等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°,∴∠ABC==80°,
    ∵DE是线段AB垂直平分线的交点,
    ∴AE=BE,∠A=∠ABE=20°,
    ∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=80°﹣20°=60°.
    故答案为:60
    【点评】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
    17.关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围为  ﹣5<a≤﹣3 .
    【分析】首先解不等式求得不等式的解集,然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于a的不等式,求得a的值.
    解:解不等式2x+a≤1得:x≤,
    不等式有2个正整数解,一定是1和2,
    根据题意得:2≤<3,
    解得:﹣5<a≤﹣3.
    故答案为:﹣5<a≤﹣3.
    【点评】本题考查了不等式的整数解,正确解不等式,求出解集是解答本题的关键.解不等式应根据不等式的基本性质.
    18.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,D是AC边上的一点,连接BD,过A作AE⊥BD交BD于E,AF⊥AE,且AF=AE,连接FE并延长,交BC于M点.若四边形ABME的面积为8,则△CFM的面积为 8 .

    【分析】连接EC,过点B作BH⊥BE交FM的延长线于点H,由“SAS”可证△BAE≌△CAF,可得BE=CF,∠AEB=∠AFC=90°,S△ABE=S△ACF,通过证明△BMH≌△CMF,可得BM=CM,由中线的性质可得S△BME=S△MCE,即可求解.
    解:如图,连接EC,过点B作BH⊥BE交FM的延长线于点H,

    ∵AF⊥AE,AF=AE
    ∴∠EAF=90°,∠AEF=∠AFE=45°,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴∠BAC=∠EAF,
    ∴∠BAE=∠CAF,
    ∵△ABC是等腰直角三角形,
    ∴AB=AC,∠ABC=45°,
    在△BAE和△CAF中,

    ∴△BAE≌△CAF(SAS),
    ∴BE=CF,∠AEB=∠AFC=90°,S△ABE=S△ACF,
    ∴∠EAF+∠AFC=180°,
    ∴AE∥CF,
    ∴S△CEF=S△CEF=S△ABE,
    ∵∠AEF=∠AFE=45°,∠AEB=∠AFC=90°,
    ∴∠BEH=45°,∠CFE=45°,
    ∵BH⊥BE,
    ∴∠BEH=∠BHE=45°,
    ∴BE=EH=CF,且∠BHE=∠CFE=45°,∠BMH=∠CMF,
    ∴△BMH≌△CMF(AAS)
    ∴BM=CM,
    ∴S△BME=S△MCE,
    ∴S△BME+S△ABE=S△CME+S△CEF,
    ∴S四边形ABME=S△CMF=8,
    故答案为8.
    【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
    三、解答题(共60分)
    19.解方程:
    (1).
    (2).
    【分析】(1)根据解分式方程的过程进行计算即可;
    (2)先将分式方程变形后进行计算即可.
    解:(1),
    2x=3(x﹣3),
    2x=3x﹣9,
    2x﹣3x=﹣9,
    ﹣x=﹣9,
    x=9
    检验:当x=9时,x﹣3≠0,
    ∴原方程的解为x=9;
    (2)原方程变形为:
    =﹣,
    x+1=3(2x﹣1)﹣2(2x+1),
    x+1=6x﹣3﹣4x﹣2,
    ﹣6x+4x+x=﹣3﹣2﹣1,
    ﹣x=﹣6,
    x=6,
    检验:当x=6时,(2x+1)(2x﹣1)≠0,
    ∴原方程的解为x=6.
    【点评】本题考查了解分式方程,解决本题的关键是解分式方程的方法.
    20.求不等式组:的整数解.
    【分析】首先解不等式组求得不等式的解集,在解集中确定整数解即可.
    解:解第一个不等式得:x<;
    解第二个不等式得:x≥﹣1
    ∴不等式组的正整数解是:﹣1≤x<.
    则整数解是:1,0,1.
    【点评】此题考查的是一元一次不等式的整数解,正确解不等式,根据x的取值范围,得出x的整数解是解题关键.
    21.如图,∠BCA=90°,AC=BC,BE⊥CF于点E,AF⊥CF于点F,其中0<∠ACF<45°.
    (1)求证:△BEC≌△CFA;
    (2)若AF=5,EF=8,求BE的长.

    【分析】(1)由余角的性质可得∠B=∠ACF,即可证△BEC≌△CFA;
    (2)由全等三角形的性质可求解.
    【解答】证明:(1)∵BE⊥CF,∠BCA=90°,
    ∴∠B+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,
    ∴∠B=∠ACF,且AC=BC,∠BEC=∠AFC=90°
    ∴△BEC≌△CFA;
    (2)∵△BEC≌△CFA
    ∴CE=AF=5,BE=CF,
    ∵FC=CE+EF=5+8=13
    ∴BE=13
    【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练运用全等三角形性质是本题的关键.
    22.如图,长青农产品加工厂与A,B两地有公路、铁路相连,这家工厂从A地购买一批原料甲运回工厂,经过加工后制成产品乙运B地,其中原料甲和产品乙的重量都是正整数.铁路运价为2元/(吨•千米),公路运价为8元/(吨•千米).
    (1)若由A到B的两次运输中,原料甲比产品乙多9吨,工厂计划支出铁路运费超过5700元,公路运费不超过9680元,问购买原料甲有哪几种方案,分别是多少吨?
    (2)由于国家出台惠农政策,对运输农产品的车辆免收高速通行费,并给予一定的财政补贴,综合惠农政策后公路运输价格下降m(0<m<4且m为整数)元,若由A到B的两次运输中,铁路运费为5760元,公路运费为5100元,求m的值.

    【分析】(1)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以求得x的取值范围,本题得以解决;
    (2)根据题意可以得到相应的方程组,从而可以求得m的值.
    解:(1)设运送乙产品x吨,则运送甲产品(x+9)吨,

    解得,11.8<x≤14
    ∵x为整数,
    ∴x=12,13,14,
    ∴x+9为21,22,23,
    ∴购买原料甲有三种方案,分别是21吨、22吨、23吨;
    (2)设运送原料甲a吨,运送产品乙b吨,

    化简,得

    ∵a、b都为正整数,0<m<4且m为整数,
    ∴当m=1时,求得a、b不是整数,故不符合题意;
    当m=2时,求得a、b不是整数,故不符合题意;
    当m=3时,得a=21,b=12,
    由上可得,m的值为3.
    【点评】本题考查一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组和不等式组.
    23.(16分)如图,在等边三角形ABC右侧作射线CP,∠ACP=α(0<α<60°),点A关于射线CP的对称点为点D,BD交CP于点E,连接AD,AE.
    (1)求∠DBC的大小(用含α的代数式表示);
    (2)在α(0°<α<60°)的变化过程中,∠AEB的大小是否发生变化?如果发生变化,请直接写出变化的范围;如果不发生变化,请直接写出∠AEB的大小;
    (3)用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系,并证明.

    【分析】(1)如图,在BE上取点F,使∠FCE=60°,连接CD,设CP与AD交于点H,证△CBF≌△CAE,再证△CFE是等边三角形,可推出∠CEF=60°,进一步得出∴∠HED=∠HEA=∠CEF=60°,由外角的性质可求出∠DBC的度数;
    (2)由(1)知,∠CEF=60°,则∠HED=∠HEA=∠CEF=60°,再由平角的定义即可求出∠AEB的大小不发生变化,始终为60°;
    (3)证明∴BF=AE=ED,由(1)知,△CFE是等边三角形,所以CE=EF,即可推出结论2AE+CE=BD.
    解:(1)如图,在BE上取点F,使∠FCE=60°,连接CD,设CP与AD交于点H,
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠ACB=60°,AC=BC,
    ∴∠ACB﹣∠ACF=∠FCE﹣∠ACF,
    即∠BCF=∠ACE,
    ∵点A与点D关于PC对称,
    ∴PC垂直平分AD,
    则EA=ED,CA=CD,
    ∴∠EAD=∠EDA,∠CAD=∠CDA,
    ∴∠CAD﹣∠EAD=∠CDA﹣∠EDA,
    即∠CAE=∠CDE,
    ∵BC=AC=CD,
    ∴∠CBF=∠CDE,
    ∴∠CBF=∠CAE,
    ∴△CBF≌△CAE(ASA),
    ∴CF=CE,
    又∵∠FCE=60°,
    ∴△CFE是等边三角形,
    ∴∠CEF=60°,
    ∴∠HED=∠HEA=∠CEF=60°,
    ∵∠CAE+∠ECA=∠HEA,
    ∴∠CAE=60°﹣∠ECA=60°﹣α,
    即∠DBC=60°﹣α;

    (2)在α(0°<α<60°)的变化过程中,∠AEB的大小不发生变化,∠AEB=60°,理由如下:
    由(1)知,∠CEF=60°,
    ∴∠HED=∠HEA=∠CEF=60°,
    ∴∠AEB=180°﹣∠HEA﹣∠HED=60°,
    ∴∠AEB的大小不发生变化,∠AEB=60°;

    (3)2AE+CE=BD,理由如下:
    由(1)知,△CBF≌△CAE,
    ∴BF=AE,
    又由(1)知,AE=ED,
    ∴BF=AE=ED,
    由(1)知,△CFE是等边三角形,
    ∴CE=EF,
    ∵BF+EF+ED=BD,
    ∴2AE+CE=BD.

    【点评】本题考查了等边三角形的性质,轴对称变换,全等三角形的判定与性质等,解题的关键是能够结合图形的变换作出合适的辅助线,构造全等三角形等.


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