辽宁省沈阳市第七中学东校区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

辽宁省沈阳市第七中学东校区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列语句中不正确的有（    ）

①相等的圆心角所对的弧相等          ②圆是中心对称图形

③圆是轴对称图形、任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如图，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（    ）

A．100° B．110° C．120° D．135°

3．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，是的直径，是上一点，，，平分交于点，则劣弧的长为（    ）

A． B． C． D．

5．在圆内接正六边形中，正六边形的边长为，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

6．二次函数的最大值为0，则的值等于（    ）

A．4 B． C． D．16

7．已知点，是拋物线上的两点，则，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．无法确定

8．某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（    ）

A． B．

C． D．

9．二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）

A． B．

C．当时， D．函数的最大值为

10．如图，在正方形中，、分别是、的中点，，，垂足分别为，，设，图中阴影部分面积为，则与之间的函数关系式是（    ）

A． B． C． D．

11．如图所示，在中，为弦，交于点．且．为上任意一点，连接，，若的半径为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是______．

14．⊙O外一点P到⊙O上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O的半径为_________．

15．二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则点的坐标为______．

16．设为的外心，若，则的度数为______．

17．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．这个矩形花圃的最大面积是______．

18．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______．

19．如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点．若，，则的直径是______．

20．如图，已知以为直径的，为弧中点，为弧上任意一点，交于，连．若，则的最小值为______．

三、解答题

21．如图，为的直径，为外一点，且，是的弦，．

(1)求证：是的切线；

(2)若，．则阴影部分的面积为__________

22．平面直角坐标系中，抛物线经过原点，点在这条抛物线上，

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，若直线与抛物线交于点M和N，连接和，求的正切值；

(3)点P为抛物线上的一点，且点P与点O在直线的同侧，当的面积与的面积相等时，请直接写出点P的坐标；

(4)如图2，已知点，抛物线向左或向右平移后，点C、D的对应点分别为、．当四边形的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标．

参考答案

1．C

【分析】由圆的性质以及垂径定理对每个选项一一判断即可.

【详解】同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，结论①错误；

圆是中心对称图形，结论②正确 ；

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，结论③错误；

长度相等的两条弧不一定是等弧，结论④错误.不正确的有①③④.

故选：C．

【点睛】本题主要考查圆的性质，熟记相关概念是解题的关键.

2．C

【详解】解：连接OC、OD，

∵BC=CD=DA，

∴∠COB=∠COD=∠DOA，

∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，

∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，

∵OB=OC=OD，

∴△COD、△BOC是等边三角形，

∴∠OCD=∠OCB=60°，

∴∠BCD=∠OCD+∠OCB=120°，

故选：C．

3．D

【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为，

把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，

所以平移后得到的抛物线解析式为．

故选D．

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

4．A

【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，即可求出半径，然后根据圆周角定理可得出，最后利用弧长公式计算即可．

【详解】如解图，连接，

是的直径，

，

在中，，，

由勾股定理得，

，

平分，

，

由圆周角定理得，

劣弧的长为．

故选：A．

【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理及弧长公式，掌握圆周角定理，勾股定理及弧长公式是解题的关键．

5．D

【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得．

【详解】解：这个正六边形的中心角为，

如图，过圆心作于点，

，

是等边三角形，

，

，

即这个正六边形的边心距为，

故选：D．

【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．

6．B

【分析】将二次函数化为顶点式，根据题意得出，即可求解．

【详解】解：∵的最大值为0，

∴，

解得：，

故选：B．

【点睛】本题考查了求二次函数的最值，化为顶点式是解题的关键．

7．A

【分析】先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴，再由二次函数的性质即可得出结论．

【详解】解：∵抛物线，

∴此抛物线开口向上，对称轴，在对称轴左侧y随x的增大而减小，

∵点，是拋物线上的两点，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．

8．B

【分析】根据降价x元，则售价为（30−x）元，销售量为（200＋20x）本，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．

【详解】设每本降价x元，则售价为（30−x）元，销售量为（200＋20x）本，

根据题意得，y＝（30−x）（200＋20x），

故选B．

【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．

9．D

【分析】根据图象得出抛物线开口向下，且对称轴直线在y轴左侧，顶点的纵坐标为函数的最大值，当时函数值大于0，根据对称轴求得另一个交点为,结合函数图象，分别判断各选项即可．

【详解】由图得，抛物线开口向下，且对称轴直线在y轴左侧，与x轴有两个交点，

，故A选项正确；

时，，且对称轴为直线，

时，，

当时，，故C选项正确；

根据二次函数的对称性，可知与对应的函数值相等，

当时，，故B选项正确；

时，，

即函数的最大值为，故D选项错误；

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，能够运用数形结合的思想，熟练掌握知识点是解题的关键．

10．D

【分析】根据已知条件，证四边形是平行四边形，四边形是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用含的式子表示出、，从而可求出与之间的关系式．

【详解】解：∵四边形是正方形

∴，

∵、分别是、的中点

∴，

∴四边形是平行四边形

∴

∵，

∴四边形是矩形

∵

∴

∴

∴

∵设

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查正方形、矩形的综合问题，涉及锐角三角函数，勾股定理，正方形的性质、矩形的性质与判定等知识，综合运用以上知识是解题的关键．

11．A

【分析】连接，根据已知条件得出，当点为优弧的中点时，的面积最大，此时为等边三角形，求得的面积即可求解．

【详解】如图，连接，

∵，

∴， ，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

当点为优弧的中点时，的面积最大，此时为等边三角形，

∴的面积的最大值为．

故选：A．

【点睛】本题考查了垂径定理，根据特殊角的三角函数值求角度，勾股定理，得出点为优弧的中点时，的面积最大是解题的关键．

12．C

【分析】连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，，接着证明，利用相似比得到，即可求解．

【详解】解：连接，如图，

为直径，

，

，

，

而，

，

，

，

而，

，

，

，

在中，

，

，，

，

，

，

，即，

，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

13．且

【分析】根据二次函数的定义得出，根据二次函数与x轴的有公共点，得出，解不等式即可得出答案．

【详解】解：∵是二次函数，

∴，

∵二次函数的图象与轴有公共点，

∴，

解得：，

∴的取值范围是且，

故答案为：且．

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出是解题的关键．

14．2

【分析】根据圆外一点P到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径即可求解．

【详解】解：∵⊙O外一点P到⊙O上各点的最大距离为5，最小距离为1，

∴⊙O的直径为5－1=4，

∴⊙O的半径为2，

故答案为：2．

【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离求出直径是解答的关键．

15．

【分析】连结交于，如图，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，则，，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质得出点坐标．

【详解】解：连结交于，如图，

四边形为菱形，

，

，

，

，

设，则，

，，

把，代入

得，

解得舍去，，

，，

故点坐标为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的长是解题关键．

16．或

【分析】根据三角形的外心是三角形外接圆圆心，是圆心角，可得出的度数．

【详解】解：当三角形是锐角三角形

∵是的外心，

∴圆心角与圆周角所对弧是同弧，

∴．

．

当三角形是钝角三角形，

同理可得：．

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了三角形的外心与圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．

17．

【分析】直接根据题意表示出垂直于花圃的一边长，再利用矩形面积求法列出关系式，配方可得答案．

【详解】解：设花圃的长为x,面积为y,

则y关于x的函数表达式为：

∴当时，面积最大为．

【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．

18．或

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式的解集，本题得以解决．

【详解】解：∵抛物线与直线交于两点，

∴的解集是或，

∴的解集是或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．

19．

【分析】连接，，由切线的性质可得，即可证得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，连接，由勾股定理求得，然后通过证得，求得直径，从而求得半径．

【详解】连接，，

为的切线，

，

，

，

．

又，

，

．；

在中，，，，

，

是的直径，

，

，

，

，

，即，

，

的半径是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．

20．##

【分析】如图所示，连接，，以为斜边作等腰直角三角形，则，得出点在以点为圆心，A长为半径的上运动，因为两点之间线段最短，即为最短，连接，因为，所以，由勾股定理有，．

【详解】解：如图所示，连接，，以为斜边作等腰直角三角形，则，

∵为直径的，为弧中点，

∴，是等腰直角三角形，

∵，

∴,

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴点在以点为圆心，长为半径的上运动，

连接交为点，此时为最短，

，

，

在中，，

∴．

故答案为：

【点睛】本题考查了圆的综合问题，求动点最值时，首先找到动点轨迹，再结合两点之间线段最短找出最小值是解题的关键．

21．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，易证，由全等三角形的性质可得，即，进而可证明是的切线；

（2）过点作，垂足为，首先利用勾股定理可求出，的长，证得是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】（1）证明：如图，连接，

∥，

，，

在中，，

，

，

在和中，

，

．，

，

即  ，

又是的半径，

是的切线；

（2）如图，过点作，垂足为．

在中，，

，

，

，

，

，

是等边三角形，

，，

∴阴影部分的面积．

故答案为．

【点睛】本题考查了切线的判断和性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．

22．(1)

(2)

(3)

(4)或者

【分析】（1）、用待定系数法，将点坐标代入解析式列出方程求解即可．

（2）、过点M、N分别作x轴的垂线，然后利用点坐标性质和勾股定理可计算出OM、ON、MN，长，再用定理逆定理可判断三角形OMN为直角三角形，再用正切的定义求解即可．

（3）、先求出，然后用面积分割法列出方程求解即可．

（4）、由图可知，要使周长最小，只能向右平移，且当左右平移时，之间距离，A、B之间距离不变，只需用勾股定理方法表示出，求最小值，即可得出答案．

【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，点在这条抛物线上，

将点D、C、原点坐标代入得：

，

解得：，

；

（2）∵直线与抛物线交于点M和N，

，

解得：或者，

过M、N两点分别作、垂直于x轴于、，过N作垂直于于，

，，

在中，，

在中，，

在中，，

，

，

，

；

（3），

设：，

分别作MA、PD、NB垂直x轴于A、D、B，直线与x轴交于E，

则令y=0，x=2，

，

，

，

∴梯形MADP的面积为：，

梯形PDBN的面积为：，

三角形MAE面积为：，

三角形NBE面积为：，

-S梯形MADP-S梯形PDBN-，

，

整理得：

或者

点P与点O在直线的同侧

则P、O不重合，

（舍去），

，

；

（4）由图可知，要使周长最小，只能向右平移，

假设图像向右平移m个单位，则，，

当左右平移时，之间距离，A、B之间距离不变，

过点作，

同（2）的方法可得：

，

要使其最小，或者，

此时平移后的顶点坐标为：；

综上所述：周长最小时，平移后的顶点为：或者．

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数，二次函数图像和性质，二次函数图像平移，勾股定理，面积法列方程等知识，对二次函数图像性质、图像的变形的掌握和面积的割补法是解题的关键．