辽宁省沈阳市沈河区实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份辽宁省沈阳市沈河区实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

辽宁省沈阳市沈河区实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若，则的值为（    ）
A． B． C． D．
2．下面几何体的左视图为（    ）

A． B．
C． D．
3．在一个不透明的纸箱中，共有个蓝色、红色的玻璃球，它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在，则纸箱中红色球很可能有（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．以下说法不正确的是（    ）
A．平行四边形是抽对称图形 B．矩形对角线相等
C．正方形对角线互相垂直平分 D．菱形四条边相等
5．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，1） B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜1 D．y随着x的增大而减小
7．已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列4个命题：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是平行四边形；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中正确命题的个数是（    ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（    ）
A．12 B．12或24 C．27 D．12或27
10．抛物线的对称轴为直线，其部分图象交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，如图所示，则下列结论：
①；
②；
③为任意实数）；
④点，，，，，是该抛物线上的点，且．
其中正确结论的个数是（   ）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．方程的根是___________．
12．如图，直线，直线AB和直线DF分别与三条平行线相交．已知AC：CB＝2：3，EF＝6，则DE＝______．

13．某社区组织A、B、C、D小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这4个小区的居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批的概率是______．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是______．

15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______.
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，点M是线段OB的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线B→A向终点A匀速运动，设运动的时间为t秒，连接MP，将沿MP翻折，使点B落在点处，若平行于坐标轴时，则此时的时间t为______秒．

三、解答题
17．计算：2cos245°+tan60°•tan30°﹣cos60°
18．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是多少；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
19．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点， ，点是的中点，过点作，交 于点．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求 的长．
20．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
21．如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点C处，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．现量得，．

(1)当支撑板与底座的夹角（）为时，求点C到底座的距离；（结果保留根号）
(2)小强在使用过程中发现，当为且为时，此支架使用起来最舒适，求此时点A到底座的距离．（结果保留根号）
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点C，与反比例函数的图像交于A，B两点，过点B作轴于点E，已知A点坐标是，．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图像直接写出的x的取值范围．
(3)连接、，求的面积．
23．某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
(1)在横线上直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；
(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
24．如图，在中，，，点D为射线上一动点，作，过点B作，交于点E，（点A，E在的两侧）连接．

（1）如图1，若时，请直接写出线段，的数量关系：
（2）如图2，若时，（1）中的结论是否成立；如果成立，请说明理由，如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由：
（3）若，，且为等腰三角形时，请直接写出线段的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接，作直线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线上方抛物线上一动点时，连接，当时，求点P坐标；
(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q，x轴上有一动点N，是否存在四边形是矩形？若存在，在横线上直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案
1．A
【分析】根据比例的性质得到x、y的关系，即可求解．
【详解】解：∵，
∴3x﹣3y=2y，即3x=5y，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，推导出x、y的关系式是解答的关键．
2．D
【分析】根据图示确定几何体的左视图即可得到答案．
【详解】解：左视图是一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：D．
【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．
3．D
【分析】根据篮球的频率得出概率，再根据概率计算得出结论即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识，根据题意得出红球的概率是解题的关键．
4．A
【分析】由平行四边形的性质可知，平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，可判断A错误；
因为矩形的两条对角线相等，所以B正确；
由正方形的对角线互相垂直平分可判断C正确；
由菱形的性质可知，菱形的四条边相等，可判断D正确．
【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，
故A错误；
由矩形的性质可知，矩形的对角线相等，
故B正确；
由正方形的性质可知，正方形的对角线互相垂直平分，
故C正确；
由菱形的性质可知，菱形的四条边相等，
故D正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，正确理解平行四边形与特殊的平行四边形之间的区别和联系是解题的关键．
5．A
【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．
6．D
【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【详解】解：A、x=1，y==1，∴图象经过点（1，1），正确；
B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；
C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；
D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．
7．B
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
8．A
【分析】根据菱形、平行四边形、矩形、正方形的性质和判定去判定①②③④命题是否正确．
【详解】①对角线互相垂直平分的四边形是菱形；正确．
②对角线互相垂直的四边形是平行四边形；不正确．
③对角线相等的四边形是矩形；不正确．
④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；不正确．
故选A．
【点睛】此题考察的知识点：菱形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定；准确掌握各种图形的性质和判定是解答此题的关键．
9．D
【分析】把面积之比转化为周长之比，后分周长为较大三角形或较小三角形的两种情形求解即可.
【详解】∵两个相似三角形面积比是，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
当较大三角形的周长为18时，
较小三角形的周长为18×=12；
当较小三角形的周长为18时，
较大三角形的周长为18×=27；
故选D.
【点睛】本题考查了相似三角形面积之比，周长之比，解答时，熟练将面积之比转化为周长之比，会用分类思想求解是解题的关键.
10．A
【分析】由抛物线的图象与轴有2个交点，依据根的判别式可知与0的关系，然后根据对称轴推理、关系，最后根据抛物线的递增情况，判断函数值的大小
【详解】解：①图象与轴有2个交点，依据根的判别式可知，正确；
②抛物线的对称轴为直线，，，正确；
③图象开口向下，对称轴为直线，时，有最大值，对于任意实数均有，即，正确；
④，的对称点，，
，
，正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故选：A
【点睛】本题考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11．，
【分析】先移项得到，再把方程左边进行因式分解得到 ，方程转化为两个一元一次方程：或，即可得到原方程的解为，．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
12．4
【分析】利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
【详解】解：∵，
∴AC：CB＝DE：EF，
∴2：3= DE：6，
∴DE＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
13．
【分析】列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】画树状图如下：

从树状图可得，共有12种等可能结果，A小区被分在第一批的有6种，A、B两个小区被分在第一批的有2种，
A、B两个小区被分在第一批的概率为，
故答案为：
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．或．
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或，把B点的横纵坐标分别乘以或即可得到点的坐标．
【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，
∴点的对应点的坐标是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．
15．且
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.
【详解】∵原方程是关于x的一元二次方程，
∴，解得.
又∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
即k的取值范围是且.
故答案为：且
【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，掌握根的判别式及一元二次方程是解题的关键.
16．
【分析】分平行于x轴时，平行于y轴时，画出图形，根据折叠的性质以及相似三角形的判定和性质即可求出t的值．
【详解】由题意得：
∵直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，
∴点，点，
∴
∵点M是线段OB的中点，
∴
∴，
①平行于y轴，

∵平行于y轴，
∴，
∵将沿MP翻折，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当平行于x轴时，过点M作轴交于N，
∴轴，
∴，
∵M是线段OB的中点，
∴
∵翻折，
∴，，,
当P在N下方时，交y轴于C，

∵翻折，
∴，，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当P在N上方时，交轴于D，

∵轴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
综上，t的值为或或．
故答案为：或或．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解本题的关键．
17．
【分析】先计算特殊三角函数值，再算乘方，再算乘法，最后算加减法即可．
【详解】解：原式=2×()2+
=1+1﹣
=．
【点睛】本题考查了特殊三角函数值的混合运算问题，掌握特殊三角函数值、实数混合运算法则是解题的关键．
18．（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）甲组抽到A小区的概率是，
故答案为．
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.
19．（1）见解析；（2）的长为10．
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，点是的中点，可得是 的中位线，则有，，可证四边形 是平行四边形，根据，，可得，可证得四边形 是矩形；
（2）根据，，可得，则有，根据可求出结果．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
，点是的中点，
是的中位线．
， ．
，，
四边形是平行四边形．
，，
．
四边形是矩形．
（2）解：， ，
．
．
在中，，由勾股定理可得，
．
故的长为10．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，中位线等知识；熟悉相关性质是解题的关键．
20．(1)20%
(2)18个

【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
21．(1)点C到底座的距离为；
(2)点A到底座的距离为．

【分析】（1）过点作，利用含角直角三角形的性质，求解即可；
（2）过点作，再作，通过证明为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：过点作，如下图：

由题意可得：，
∴，
由勾股定理可得：，
即点C到底座的距离为；
（2）解：过点作，再作，如下图：

由题意可得：
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
点A到底座的距离为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，理解题意，构造出直角三角形．
22．(1)；；
(2)或；
(3)．

【分析】（1）利用待定系数法：将点A坐标代入反比例函数表达式即可得m；然后求点B坐标，将点A、B的坐标代入一次函数表达式即可求出的值，从而得解；
（2）利用数形结合的方法直接写出变量的取值范围即可；
（3）将的分解成与，然后根据三角形面积公式求解得出答案．
【详解】（1）解：反比例函数的图象交于A，B两点，A点坐标是，
，
反比例函数的表达式为：；
，
设点
，
即，
A，B两点均在一次函数的图像上，
，
，
一次函数的表达式为：；
（2）解：根据的x的取值范围表示：一次函数的图像不在反比例函数图像的下方的部分图像所对应的变量的取值范围；
故的x的取值范围是：或；
（3）解：对于一次函数，
令，则，
，

；
的面积为．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积求法等知识，熟练掌握待定系数法与数形结合的思想方法是解答此题的关键．
23．(1)
(2)当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元
(3)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元

【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）根据销售量×（售价进价）=2400，解方程求出在自编量范围内的解即可；
（3）根据销售利润=销售量×（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【详解】（1）根据题意得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；
（3）根据题意得：，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，最大值为2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
24．（1）；（2）不成立，，见解析；（3）或3或
【分析】1）由，在中，，，可得AB=CB，由，，可得，证△ABD≌△CBE（SAS）即可；
（2）不成立，，证 ，再证 可得，由中，，利用三角函数可求可得即可；
（3）当，，分三种情况当AD=BD时，当AB=AD，当AB=BD时，由，和三角函数计算即可求出．
【详解】解：（1）∵，
在中，，，
∴AB=CB，
又∵，，
，
∴，
，
，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴ ，
（2）不成立，，
证明：∵，，
∴，
又∵，
∴ ，
∴，
∴，
又∵=90°，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
当AD=BD时，点D在AB的中垂线DG上，，
∴DG∥BC，
，
∴点D为AC中点，
∴AD=BD=DC=，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

当AB=AD时，
∵，
∴，
∴，
∵，AC=6，，
∴CE=BC=；

当AB=BD时，
∵，
∴，，
∴，
∴BC=，
∴，
∴，

线段的长为或3或．
【点睛】本题考查图形旋转变换，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，30°直角三角形性质，等腰三角形分类讨论思想，掌握图形旋转变换，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，30°直角三角形性质，等腰三角形分类讨论思想是解题关键．
25．(1)
(2)或
(3)存在，或

【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）过点P作轴交于点F，先求出，可得，再求出直线的解析式为，然后设点P的坐标为，则点，可得，然后分两种情况讨论：当时点P在y轴左侧时，当时点P在y轴右侧时，结合，即可求解；
（3）设点，，，根据矩形的对角线相等且互相平分，可得到，即可求解．
【详解】（1）解：把点和代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点P作轴交于点F，

∵点和，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴点，即，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∴，
当时点P在y轴左侧时，
∴

，
∴，
解得：或（舍去）；
当点P在y轴右侧时，同理；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：存在，
设点，，，
∵四边形是矩形，
∴，且的中点重合，
∴，
整理得：，
解得：或，
∴或，
∴点N的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．