吉林省长春市长春外国语实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份吉林省长春市长春外国语实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吉林省长春市长春外国语实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．2022年12月28日，第26届长春冰雪节开幕．长春市重点打造的世界级冰雪主题乐园-“长春冰雪新天地”流光溢彩，该园占地超1560000平方米．数字1560000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为（　　）

A． B． C． D．
6．某品牌洗地机的进价为2000元，商店以2400元的价格出售．元旦期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该洗地机最多可降价多少元？若设洗地机可降价元，则可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知点是直线外一点，数学兴趣小组的同学用了4种不同的尺规作图方法想过点作直线的平行线，根据尺规作图痕迹，直线不一定与直线平行的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，矩形的顶点О与坐标原点重合，边，分别落在x轴和y轴上，点B的坐标为，点D是边上一动点，函数的图像经过点D，且与边交于点E，连接、．若线段平分，则点E的纵坐标为（　　）

A． B． C．1 D．
二、填空题
9．因式分解：2x2+xy＝__．
10．若代数式有意义，则实数的取值范围是___________．
11．某网络学习平台2020年的新注册用户数为100万，2022年的新注册用户数为144万，设新注册用户数的年平均增长率为，则_________（用百分数表示）．
12．直线关于轴对称的直线的函数表达式为___________．
13．如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是___________．

14．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是___________．

三、解答题
15．计算：
16．如图，电路上有①、②、③3个开关和一个小灯泡，若任意闭合电路上2个开关，用画树状图（或列表）的方法，求小灯泡发光的概率．

17．甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样180人所用时间与乙采样160人所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别采样多少人？
18．如图．在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作交CB的延长线于点F．

(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；
(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

(1)在图①中的圆上找一点D，使得．
(2)在图②中的圆上找一点E，使得平分．
(3)在图③中的圆上找一点F，使得平分．
20．第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有400名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：
A：，B：，C：，D：，E：，F：，
并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)八年级测试成绩的中位数是___________；
(3)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．
21．小林同学从家出发，步行到离家米的公园散步，速度为50米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离（米）与小林出发的时间（分钟）的函数关系如图所示．

(1)小林家与公园之间的路程为___________米；
(2)求哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式；
(3)小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔为___________分钟．
22．[问题情境]如图①，在四边形ABCD中，，求证：四点共圆．

小吉同学的作法如下：连接，取的中点，连接、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
[问题解决]如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作于点．
（1）如图②，当点恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为____；
（2）如图③，过点Р分别作于点，于点，连接，则的最小值为                       ．

23．在中，，，，点D为边的中点，连结．动点Р从点A出发沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，连结．设点P的运动时间为t秒．

(1)求线段的长（用含t的代数式表示）；
(2)当时，求t的值；
(3)当时，求的长；
(4)）当点P不与点C重合时，作点C关于直线的对称点E，当时，直接写出t的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为，，顶点为C，与y轴交点为D．点Р是抛物线上一个动点，其横坐标为m．

(1)）求抛物线的函数表达式；
(2)过点D作垂直抛物线的对称轴于点E，求的值；
(3)设抛物线在P、A两点之间的部分图形为G（包含P、A两点），设图像G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围；
(4)已知平面内一点Q的坐标为，点M的坐标为，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

参考答案
1．D
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．A
【分析】利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∴，，
∴，，，，
∴选项A正确，选项B、C、D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，解题的关键是会利用数轴进行判断．
4．C
【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，然后解方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5．D
【分析】根据所求角的三角函数值，必须将角放到一个直角三角形中，连接，如图所示，通过圆周角定理、直径所对的圆周角是直角，即可将转化到中，根据余弦函数值定义求解即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：

为圆的直径，
，
，
，
由图可知，在中，，则由勾股定理可知，
，
故选：D．
【点睛】本题考查圆背景下的求三角函数值问题，涉及圆周角定理、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，根据题意，作出辅助线，灵活运用相关知识求解是解决问题的关键．
6．A
【分析】根据“以利润率不低于的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．
【详解】解：根据题意，得．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键．
7．D
【分析】根据作图轨迹，结合平行四边形的判定与性质可对选项A判断；
根据作图轨迹，结合平行线的判定可对选项B判断；
根据作图轨迹，结合平行线的判定可对选项C判断；
根据作图轨迹可得，无法判断，则可判断选项D．
【详解】解：A．连接，
，
根据作图可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，即，
故A正确，但不符合题意；
B．如图，

根据作图可知，
∴，
故B正确，但不符合题意；
C．如图，

根据作图可知，，
∴，
故C正确，但不符合题意；
D．如图，
，
根据作图可知，
无法证明，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图，涉及知识有平行四边形的判定与性质，平行线的判定，角平分线定义等知识，掌握以上知识是解题的关键．
8．B
【分析】先根据矩形的性质，角平分线定义得出，然后根据等腰三角形的判定得出，在中根据勾股定理可求出，从而求出点D的坐标，根据待定系数法求出反比例函数解析式，最后把代入求解即可．
【详解】解∶∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点E的纵坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法等知识，正确求出点D的坐标是解题的关键．
9．x（2x+y）．
【分析】直接提取公因式y，进而分解因式即可．
【详解】解：2x2+xy＝x（2x+y）．
故答案为：x（2x+y）．
【点睛】此题考查因式分解法：提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
11．
【分析】根据2020的新注册用户数为100万以及2022年的新注册用户数为144万，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解∶根据题意得，
解得，（舍去）
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．根据数量关系得出关于x的一元二次方程是解题的关键．
12．
【分析】取直线上任意两点，然后求出这两点关于x轴的对称点坐标，最后根据待定系数法即可求解．
【详解】解：取直线上任意两点，，
，关于x轴的对称点分别为，，
设所求直线解析式为，
则，
解得，
∴函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握待定系数法是解题的关键．
13．
【分析】先作，作于点E，和交于点O，再根据边长求出，即可求出，然后根据面积公式即可求出答案．
【详解】作，作于点E，和交于点O，如图所示：

∵等边的边长为6
∴AB=6，则BD=3，
∵，
∴，
∴，
根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半，
∴
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形以及三角形的内切圆，解题关键是求出圆的半径．
14．
【分析】根据题意建立直角坐标系，提取出点的坐标求出抛物线解析式，根据能跳绳及高度大于米列不等式即可得到m的值．
【详解】解：以O为坐标原点，所在直线为y轴所在直线为x轴，由题意可得，

，，，
设抛物线解析式为，将点代入可得，
，
解得：，
∴，
∵身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处能够正常跳大绳，
即跳绳高度要高于米，
∴，
化简得，
当时
解得，，
令，
∵,抛物线开口向上，
∴当，，
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的应用及坐标求法，解题的关键是建立适当的直角坐标系，会根据题意得出点的坐标．
15．
【分析】根据负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值分别计算后，利用实数的混合运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值，掌握实数运算的相关运算法则是解决问题的关键．
16．小灯泡发光的概率为
【分析】这是一个两步概率问题，采用列表法求概率即可解决问题．
【详解】解：列表如下：

①
②
③
①
——
①②
①③
②
②①
——
②③
③
③①
③②
——

由表可知共有6种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的有4种结果，
小灯泡发光的概率为．
【点睛】本题考查列举法求两步概率问题，掌握列表法求概率的方法步骤，熟练运用概率公式是解决问题的关键．
17．甲每小时采样90人， 乙每小时采样80人
【分析】由实际问题找到合适的等量关系抽象出分式方程即可解答．
【详解】解∶设乙每小时采样x人，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲每小时采样90人， 乙每小时采样80人．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据题目所给条件得到三角形是等腰三角形，由角平分线的条件，根据“三线合一”的知识，从而得到点D为中点，再利用中位线的性质，从而得到，再根据平行四边形判定定理即可证明；
（2）根据等腰三角形“三线合一”的知识，从而得到为直角三角形，根据题目所给条件，得出的长，再根据直角三角形斜边中线的性质以及平行四边形的性质，得到的长度，从而得到最后结果．
【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝BC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴，
又∵BD为∠ABC的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴D为中点，
又∵点E为AB的中点，
∴为中位线，
∴，
即，
又∵，
∴四边形DEFB是平行四边形．
（2）解：∵由（1）得，
∴，
又∵点E为AB的中点，
∴为的中线，
∴，
∵在中，AD＝4，BD＝3，
∴，
∴，
又∵四边形DEFB是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定定理和性质，等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边上的中线的性质和勾股定理的知识，解决本题的关键是利用好中点的条件以及平行四边形的性质．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据圆周角定理即可解答；
（2）取格点N，易证，根据等腰三角形三线合一性质可证，最后根据垂直定理即可解答；
（3）连接，相交于点M，连接并延长交于点F，则平分．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求（答案不唯一），

（2）解，如图，，即为所求，

（3）解：如图，点F即为所求，

【点睛】本题考查了格点作图，圆周角定理，垂径定理等知识，掌握以上知识是解题的关键．
20．(1)20；4
(2)86.5
(3)220

【分析】（1）根据八年级D组人数及其所占百分比即可得出n的值，用n的值分别减去其它各组的频数即可得出a的值．
（2）先计算八年级各组的人数，确定中位数位于D组，再根据中位数的定义解答即可．
（3）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：（1）由题意得：（人），
故，
解得，
故答案为：20；4；
（2）解∶ A组∶人数∶，
B组人数∶ ，
C组人数∶ ，
D组人数∶ ，
F组人数∶ ，
E组人数∶，
八年级中位数应为第10和11数的平均数，
而A、B、C三组人数和为，A、B、C、D四组人数和为，
则八年级中位数在D组，
把八年级测试成绩从小到大排列为85，85，86，86，87，88，89，第10和11个数分别为86，87，故中位数为（分），
故答案为：86.5分；
（3）解：

（人），
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有220人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答．
21．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据图像，小林从家离开到达公园用时分钟，速度为50米/分钟，根据路程速度时间，代值求解即可得到答案；
（2）根据图像，分两段考虑，结合图中关键点，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（3）根据图像，利用待定系数法确定小林离家的距离（米）与小林出发的时间（分钟）的函数关系，然后根据（2）中确定的函数关系式，联立方程组求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由图可知，小林从家离开到达公园用时分钟，速度为50米/分钟，
小林家与公园之间的路程为米，
故答案为：；
（2）解：如图所示：

哥哥从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，由（1）知路程为米，哥哥到公园的速度与返回速度不变，
哥哥来去的用时一样，由图像可得哥哥到达公园时对应的坐标为，
，
设的表达式为，将代入得
，解得，
表达式为；
设的表达式为，将代入得
，解得，
表达式为；
综上所述：哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式：；
（3）解：如图所示：

由图知，设表达式：，则，解得，
表达式为，
由（2）知哥哥往返的过程中与之间的函数关系，
联立，解得；联立，解得；
小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔为分钟，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图像与性质，读懂题意，看懂图像中的信息，求出相应解析式是解决问题的关键．
22．【小问1】证明见解析
    【小问2】；
【分析】[问题情境]连接，取的中点，连接、，如图所示，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可得证；
[问题解决]（1）由[问题情境]中结论知四点共圆，如图所示，根据圆周角定理及正方形性质得到，利用勾股定理得到，从而由等腰直角三角形边的关系得到；（2）根据矩形性质得到，求的最小值就是求最小值，结合[问题情境]中结论知四点共圆，从而利用“圆外点到圆周上动点距离最值模型”，即可得到答案．
【详解】[问题情境]
证明：连接，取的中点，连接、，如图所示：

，
，
四点共圆；
[问题解决]
（1）解：由[问题情境]中结论可知四点共圆，如图所示：

，
在正方形中，当点恰好落在正方形对角线上时，
，
在正方形中，，点是边的中点，，
，
，
在，，，，则，
故答案为：；
（2）由题意可知，四边形为矩形，则；由[问题情境]中结论知四点共圆，圆心为中点，如图所示：

的最小值就是求最小值，根据“圆外点到圆周上动点距离最值模型”，则
的最小值就是最小值，
过作，则四边形为矩形，如图所示：

，
圆心为中点，
由平行线分线段成比例定理得到为中点，即为中位线，
，，
在中，，，则，
的最小值就是最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆综合，涉及四点共圆、正方形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、“圆外点到圆周上动点距离最值模型”、平行的判定与性质、中位线判定与性质等知识，熟练运用相关几何性质及判定求证是解决问题的关键．
23．(1)时，个单位；当时，个单位；
(2)当或时，
(3)或
(4)或

【分析】（1）分和两种情况讨论即可解答；
（2）先求出，然后分和两种情况根据三角形面积公式列方程解答即可；
（3）当时，证明，根据相似三角形的性质可求，得解；当时，证明，得出，然后证明，即可求出，得解；
（4）当点P在时，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可得，得，当点P在上时，同理可得答案．
【详解】（1）解：当时，点P在上，
∴个单位；
当时，点P在上，
∴个单位；
综上，时，个单位；当时，个单位；
（2）解：∵，，
∴，
当时，点P在上，
过点D作于H，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，点P在上，
过点D作于M，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，当或时，；
（3）解：当时，

∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵点D为边的中点
∴，
∴，
∴；
当时，

∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
综上，当或时，；
（4）解：当时，点P在上，
如图，连接交于点M，

∵C，E关于对称，
∴，，
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴；
当时，点P在上，
如图，连接交于点M，

同理可得，
∴，
∴，
∴，
综上，当或时，．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角函数等知识，运用分类思想是解决问题的关键．
24．(1)
(2)
(3)或
(4)或

【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求C、D的坐标，从而求出，，最后根据正切的定义求解即可；
（3）分析图形G，分P在A的左侧；P在A、C之间；P在C的右侧，且点P在x轴的上方；P在C的右侧，且点P在x轴的下方，讨论即可；
（4）根据函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小，指的是在抛物线的对称轴同一侧，列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式；
（2）解：∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴；

（3）解：当时，，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去）
当时，，
∴（不符合题意，舍去）；
当时，（不符合题意，舍去）；
当时，，
∵，
∴，
∴或（不符合题意，舍去）；
综上，当或时，；
（4）解：由题意，知：或，
解得或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，解不等式组，正切的定义等知识，解题的关键是注意分类讨论．