安徽省六安市省示范高中2022-2023学年高三数学上学期期末试题（Word版附解析）

这是一份安徽省六安市省示范高中2022-2023学年高三数学上学期期末试题（Word版附解析），共21页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号等填写在答题卡和答题卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 全集，集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式可求得集合，由补集定义可得结果.
【详解】由得：，即，.
故选：C.
2. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】设，由复数相等条件可构造方程组求得，进而确定对应点的坐标，从而得到结果.
【详解】设，则，
，，解得：，
对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3. 已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量线性运算可得，知，根据投影向量为，结合长度和角度关系可求得结果.
【详解】，，，
又，，，，为等边三角形，；
在上的投影向量为.
故选：C.
4. 已知圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，则切线段的最小值为（）
A. 1B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线长公式和点到直线的距离公式求解.
【详解】，所以当时，的长最小，
C到l的距离为，所以，
故选:B．
5. 2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为66个．已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长．设66个超导量子比特共有种叠加态，则是一个（）位的数．（参考数据：）
A19B. 20C. 66D. 67
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得个超导量子比特共有种叠加态，结合指、对数运算求解.
【详解】根据题意，设个超导量子比特共有种叠加态，
所以当有66个超导量子比特共有种叠加态．
两边取以10为底的对数得，，
所以，由于，即，
故N是一个20位的数．
故选：B.
6. 已知函数的图象的一部分如图所示，则该函数解析式可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性可排除B；A中函数与与轴交点间距离相等，与图象不符，可排除A；根据时，可排除C，由此可得正确选项.
【详解】由图象可知：图象关于原点对称，则为奇函数，
，为偶函数，排除B；
令，解得：，则与轴交点间距离相等，与图象不符，排除A；
当时，，，
，即在右侧函数值先为负数，与图象不符，排除C.
故选：D.
7. 已知中，a、b、c为角A、B、C对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理求出，，，，得到，利用基本不等式求出面积的最大值.
【详解】，由正弦定理得：
∵，∴，
∵，
∴，为直角三角形且外接圆半径为，
∴，
∴，
设内切圆半径为，则．
其中，
因为，所以，
故，当且仅当时，等号成立，
∴，
当且仅当时等号成立，
故选：A
8. 已知，，．则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，，利用导数可求得在上的单调性，从而确定，，结合，令即可得到大小关系.
【详解】令，，则，
在上单调递增，，即；
令，，则，
在上单调递增，，即；
又当时，，当时，；
则当时，，即.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查采用构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据的形式的共同点，准确构造函数和，利用导数求得函数单调性后，通过赋值来确定大小关系.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法不正确的是（）
A. 已知命题，都有，则，使
B. 数列前项和为，则，，成等比数列是数列成等比数列的充要条件
C. 是直线与直线平行的充要条件
D. 直线的斜率为，则为直线的方向向量
【答案】BC
【解析】
【分析】根据全称命题的否定、等比数列片段和性质的基本要求、两直线平行的条件以及方向向量定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，根据全称命题的否定可知：，使，A正确；
对于B，当等比数列的公比时，且为偶数时，，，，不构成等比数列，必要性不成立，B错误；
对于C，当时，与方程均可写为：，即两直线重合，充分性不成立，C错误；
对于D，由直线方向向量定义可知：为直线的方向向量，D正确.
故选：BC.
10. 椭圆的上下顶点分别，焦点为，为椭圆上异于的一动点，离心率为，则（）
A. 的周长为
B. 离心率越接近，则椭圆越扁平
C. 直线的斜率之积为定值
D. 存点使得，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据椭圆定义可知焦点三角形周长为，结合离心率转化即可知A正确；根据椭圆离心率与椭圆形状的关系可知B正确；设，结合两点连线斜率公式化简可得斜率之积，知C错误；将问题转化为当为短轴端点时，，利用余弦定理可构造齐次不等式求得的范围，知D正确.
【详解】对于A，由椭圆定义知：，又，，
的周长为，A正确；
对于B，，当越接近时，的值越小，则椭圆越扁平，B正确；
对于C，设，则，又，，
，C错误；
对于D，由椭圆性质知：当为短轴端点时，最大，
若存在点使得，则当为短轴端点时，，
此时，即，，
又，，D正确.
故选；ABD.
11. 设函数，则下列结论正确的是（）
A. 若函数的最小正周期为，则
B. 存在，使得的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于原点对称
C. 若，当时，函数的值域为
D. 若在上有且仅有4个零点，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据周期公式可判断A,根据函数图象的对称性可判断B，讨论函数在给定区间的最值可判断C,根据函数图象分析零点的分布可判断D.
【详解】由倍角公式可得：，
，可知：，所以A选项错误，
将图像向右平移得到，
该函数图像关于原点对称，则，
所以，当时，满足题意，B选项正确．
当时，，所以，
则的值域为，所以C选项错误，
，则，
因为函数有且仅有4个零点，
所以，解得，D选项正确．
故正确选项为:BD．
12. 已知长方体中，，，点是四边形内（包含边界）的一动点，设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则（）
A. 点的轨迹为一条抛物线
B. 线段长的最小值为
C. 直线与直线所成角的最大值为
D. 三棱锥体积的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】作平面，，根据二面角平面角定义和线面角定义可得，由此可得，根据抛物线定义可知点轨迹为抛物线的一部分，对应的点轨迹也为抛物线的一部分，知A错误；若取得最小值，则最小，根据抛物线性质可知当为中点时，最小，由此可求得最小值，知B正确；将问题转化为求解与所成角的最大值，建立平面直角坐标系，可知当与抛物线相切时，最大，利用抛物线切线的求法可求得该最大值，知C正确；由体积桥可确定当点到的距离最大时，所求体积最大，结合抛物线图形可知当为中点时距离最大，由此可求得D正确.
【详解】过点作平面，垂足为，作，垂足为，
对于A，平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，即为二面角的平面角，
即，又，，，
点轨迹为以为焦点，为准线的抛物线在四边形内（含边界）的部分，
则点轨迹为以为焦点，为准线的抛物线在四边形内（含边界）的部分，A错误；
对于B，由抛物线性质知：当为中点时，，
，B正确；
对于C，与所成角即为与所成角，
在平面中，以中点为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，
则当与抛物线相切时，取得最大值；
由题意知：抛物线方程为：，，
设切线方程为：，则由得：，
，解得：，
在四边形内（含边界），结合图形可知：，此时，
直线与所成角的最大值为，C正确；
对于D，，，
若三棱锥的体积最大，则点到的距离最大，即点到的距离最大；
由C中图象可知：当为中点时，点到的距离最大，最大值为，
即点到距离的最大值为，
，D正确
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的轨迹相关问题的求解，解题关键是能够作出二面角的平面角，结合线面角定义确定动点满足到定点的距离等于到定直线的距离，从而确定动点轨迹为抛物线的一部分，进而结合直线与抛物线的知识来进行求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 抛物线的准线方程为_______.
【答案】
【解析】
【详解】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2p=1，
∴其准线方程是y=，．
故答案为．
14. 已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前20项和是______．
【答案】202
【解析】
【分析】根据题意求出数列的首项和公差，将的前9项和到分开求和即可求解.
【详解】由得，
又，∴，即
∴，公差．
因为，解得，
∴，
∴
∴的前n项和为
．
故答案为:202.
15. 正三棱锥的侧棱长为，为的中点，且，则三梭锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直判定可知平面，从而得到；由线面垂直判定可得平面，进而确定三棱锥为正方体的一角，通过求解正方体的外接球表面积即可得到结果.
【详解】为中点，，，，，
又，平面，平面，
平面，，又，，平面，
平面，又三棱锥为正三棱锥，侧面为全等的等腰直角三角形，
三棱锥为如图所示的棱长为的正方体的一角，
该正方体的外接球即为三棱锥的外接球，
正方体外接球半径，所求外接球表面积.
故答案为：.
16. 已知函数，，若，，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】对已知等式进行同构可得，令，利用导数可求得单调递增，由此可得，从而将所求式子化为；令，利用导数可求得，即为所求最大值.
【详解】由得：；
由得：，；
，
令，，
，在上单调递增，
；
令，则，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进行同构变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所求式子化为单变量的式子来进行求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角的对边分别为，且满足______．
（1）求角的大小：
（2）若的面积为，点在边上，且，求的最小值．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简得到，由此可得；若选②，利用正弦定理角化边，配凑出的形式，从而得到；
（2）利用三角形面积公式可构造方程求得；利用向量线性运算可用表示出，根据平面向量数量积的定义和运算律可表示出，利用基本不等式可求得的最小值，进而得到的最小值.
【小问1详解】
若选条件①，由正弦定理得：，
，
，，，即，
又，；
若选条件②，由正弦定理得：，，即，
，又，.
【小问2详解】
，，；
，
（当且仅当，即时取等号），
，即的最小值为.
18. 如图，在四棱锥中，，，，平面，，为线段上一点且．
（1）证明：∥平面；
（2）若，二面角的正弦值为，求PD的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）构造面面平行的性质定理解决.
(2)建立空间直角坐标系解决.
【小问1详解】
过点作交DC于点G，连接BG，
又∵，又
，又，故四边形是平行四边形.
∴，面，面，面，同理面
，∴平面平面
又平面，∴平面．
【小问2详解】
以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，令，
则，，
，，
设平面的法向量为
∴，，令，则，
易知平面的法向量为
∴，可得
∴
19. 已知是数列的前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，是的前项和，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据与的关系求解；（2）利用裂项相消法求和即可证明.
【小问1详解】
时，，
时，
经验证时
∴
【小问2详解】
时
时，，
，
∴．
20. 随䍰六安市经济发展的需要，工业园区越来越受到重视，成为推动地方经济发展的重要工具，工业园区可以有效创造和聚集力量，共享资源，克服外部负面影响，带动相关产业发展，从而有效促进产业集群的形成．已知工业园区内某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成．设矩形的两边长分别为，（单位：），要求，部件的面积是．
（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；
（2）为了节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．
【答案】（1），定义域；
（2）当时，面积最小值.
【解析】
【分析】(1)用表示阴影部分面积，由此可得y关于x的函数解析式，结合已知求定义域；
(2)用表示圆的半径的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圆的面积最小值.
【小问1详解】
，
故．
，即，又，所以．
故，
【小问2详解】
如图所示：作交于，交于，连接．
故，又
故
，
当，即时等号成立．
故当时，面积最小值．
21. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）函数，若在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)分类讨论，根据函数的导数分和求解；(2)分离参变量得到，讨论函数的单调性和最值求解.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
①当时，，所以在上为单调递减函数，
②当时，令解得，令解得，
所以在上为单调递减函数，在为单调递增函数．
【小问2详解】
由得，
∴，
令，
当时，时，，
所以在单调递增，在单调递减，
∴
故．
22. 已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、．
①证明：为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②存在；或
【解析】
【分析】(1)根据条件列出方程化简即可求出曲线方程；
(2) 设直线，，，联立方程组，利用韦达定理得出的和、积. ①利用两点的坐标直接表述出，将的和、积代入化简即可求证为定值；②根据题意求出的直线方程，通过整理化简得出直线过定点，根据三角形的面积求出的值，进而求解即可.
【小问1详解】
令，根据题意可知：，
化简，可得：，
所以曲线C的方程为：.
【小问2详解】
设，，可设直线，联立方程
可得：，
则，
故且
①
．
②∵轴，∴，由两点式方程可得的直线方程为：
，
∴，将，代入可得：
，
将代入上式，得到：
，
所以直线过定点，
∴
∴或（舍）
所以存在直线l，使得的面积为，
直线l的方程为：或．