2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设全集，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对集合进行补集运算即可求解.

【详解】因为，，

所以，

故选：C

2．是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】A

【解析】由即可得到答案.

【详解】因为，所以为第一象限角.

故选：A.

3．命题“”的否定是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由特称命题的否定判断，

【详解】由题意得“”的否定是“”

故选：D

4．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果

【详解】半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（其中为扇形所对应的弧长，为半径，为扇形所对应的圆心角）.

故选：A.

5．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数与指数函数的性质，分别判断，，的范围，即可得出结果.

【详解】因为，，，

所以.

故选：C.

6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断

【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；

即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件

故选：A

7．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先判断在上恒成立，排除CD；再判断在上单调，计算出，，，根据函数零点存在性定理，即可得出结果.

【详解】当时，，所以恒成立，故和内不可能存在零点；排除CD.

当时，单调递增，也单调递增，所以在上单调递增；

又在上为连续函数，且，

，

，因此，，

由函数零点存在性定理可得，仅区间内有零点，即A正确，B错.

故选：A.

8．设函数的定义域为，，当时，.若存在，使得有解，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据，可知，可得函数解析式并画出函数图象，由图象可得的取值范围.

【详解】根据，可知，

又当时，，

所以时，，，

时，，，

时，，，即恒成立，

可画出函数图象，

当时，，解得或，

故若存在，使得有解，则实数，

故选：D.

二、多选题

9．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上单调递增且图象关于轴对称的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.

【详解】A选项，定义域为，在上显然单调递增，但，即不是偶函数，其图象不关于轴对称，A排除；

B选项，定义域为，在上显然单调递增，且，

所以是偶函数，图象关于轴对称，即B正确；

C选项，定义域为，在上显然单调递减，C排除；

D选项，的定义域为，在上显然单调递增，且，所以是偶函数，图象关于轴对称，即D正确.

故选：BD.

10．设，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】根据已知条件，结合不等式的性质，对选项进行逐一判断即可.

【详解】因为，

对A：根据不等式的可加性，即可得，故A一定成立；

对B：由，则，所以，故B一定成立；

对C：因为，故可得，故C一定不成立；

对D：，

因为，但的正负不确定，故D不一定成立.

故选：AB.

11．将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数的图象，则下列结论中正确的有（    ）

A．的图象关于点对称 B．的图象关于对称

C．在上的值域为 D．在上单调递减

【答案】ABD

【解析】通过函数图象的伸缩平移变换可得的值，以及与解析式，再根据三角函数图象性质判断各个选项.

【详解】函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,

得，

又为偶函数，故轴为的对称轴，

即，解得，

，，

，

的对称中心：令，即对称中心为，

当时，对称中心为，故A选项正确；

对称轴：令，当时，对称轴为，故B选项正确；

，，故C选项错误；

的单调递减区间：令，即，

又，故函数在上单调递减，D选项正确；

故选：ABD.

12．若函数对，，不等式成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】令，题中条件转化为判断在上是减函数，再逐项构造函数，进行判断即可．

【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，

则，

令，因为，则，，且恒成立，

在上是减函数，

对于A选项，，则，对称轴是，开口向下，所以在递减，故A正确；

对于B选项，，则在上单调递增，故B错；

对于C选项，，则在上显然单调递减，故C正确；

对于D选项，，则，因为与在都是减函数，所以在递减，故D正确；

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于将恒成立转化为新函数满足上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.

三、填空题

13．已知幂函数的图像过点，则___________.

【答案】

【分析】先设幂函数解析式，再将代入即可求出的解析式，进而求得.

【详解】设，

幂函数的图像过点，，，，

故答案为：

14．已知，则_______________.

【答案】

【解析】利用诱导公式直接求解.

【详解】由诱导公式可知，

故答案为：

15．若，则不等式的解集为_____________.

【答案】

【解析】根据分段函数解析式，讨论或，将解析式代入不等式，解不等式即可.

【详解】由，

当时，则，解得，此时；

当时，则，解得，此时，

所以不等式的解集为.

故答案为：

16．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则______________.

【答案】

【解析】由题，分别化简的值代入即可.

【详解】因为，所以，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.

四、解答题

17．已知集合，.

(1)求；

(2)定义且，求.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据并集的定义可求得集合；

（2）根据题中定义可求得集合.

【详解】（1）解：因为，，则.

（2）解：由题意可得：且或.

18．已知

（1）作出函数的图象，并写出单调区间；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据函数的表达式，作出函数的图象即可；

（2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，由数形结合得出即可．

【详解】解：（1）画出函数的图象，如图示：

，

由图象得：在，单调递增；

（2）若函数有两个零点，

则和有2个交点，

结合图象得：．

【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题．

19．已知函数，

（1）判断的奇偶性；

（2）用定义证明在上为减函数.

【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析.

【详解】试题分析：

(1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用可说明是奇函数.

(2)利用函数单调性的定义设设是上的任意两数，且，讨论的符号即可证明函数在上为减函数.

试题解析：

（1）函数的定义域为，

又

∴是奇函数.

（2）证明：设是上的任意两数，且，

则

∵且，

∴

即.

∴在上为减函数.

点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．

20．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，.

（1）求的值；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由三角函数的定义即可求解；

（2）由三角函数的定义分别求出、、的值，再计算的值即可出的值.

【详解】（1）因为点的为角终边与单位圆的交点，且纵坐标为，

将代入，因为是锐角， ，所以，

由三角函数的定义可得：，

（2）由，是锐角，可得，

因为锐角的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为，

将代入，因为是锐角， ，可得，

所以，，

所以，

因为，，所以，

所以.

21．已知函数．

求函数的最小正周期与对称中心；

求函数的单调递增区间．

【答案】（1）最小正周期，对称中心为；（2）

【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称中心；直接利用整体思想求出函数的单调递增区间．

【详解】函数，

，

，

所以函数的最小正周期为，

令：，解得：，

所以函数的对称中心为．

由于，

令：，

解得：，

所以函数的单调递增区间为．

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.

22．已知函数.

(1)若的解集为，求实数、的值；

(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）分析可知、为关于的方程两根，且，利用根与系数的关系可求得实数、的值；

（2）由参变量分离法可知，对任意的恒成立，结合基本不等式可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：由题意可知、为关于的方程两根，且，

所以，，解得.

此时方程为，，合乎题意，

因此，，.

（2）解：当时，由，可得，，

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故，

所以实数的取值范围为