2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题（解析版）

2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题

一、单选题

1．若复数，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.

【详解】因为，

所以.

故选：B

2．在中，已知，，，则角（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理的推论计算的值，进而求出C的值.

【详解】因为，，，

所以，

又，所以.

故选：C.

3．已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（    ）.

A．  B．  C．1 D．2

【答案】B

【分析】先求出的坐标，再由()∥，，列方程可求得结果

【详解】因为向量，，

所以，

因为()∥，，

所以，解得，

故选：B

4．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．

【详解】解：设原正方形的边长为，

根据斜二测画法的原则可知，，

高，

对应直观图的面积为，

即，故原正方形的面积为.

故选：C.

5．已知点D是所在平面上一点，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的加法、减法法则运算即可得到答案．

【详解】解：由题意：为所在平面内的一点，

，所以

所以

故选：．

6．瑞士著名数学家欧拉发现公式（i为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】由欧拉公式并结合三角函数的诱导公式进行计算，并结合复数的几何意义进行判断即可.

【详解】∵

，

∴表示的复数在复平面内对应的点，位于第三象限.

故选：C.

7．已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

【答案】D

【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G是△ABC的重心.

【详解】因为，所以.

以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示:

则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心.

故选：D

8．在棱长为的正方体中，为的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取中点，连接、、、、，证明出，故四点、、、共面，所以过、、三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形，根据已知，即可求解.

【详解】取中点，连接、、、、，

因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，

、分别为、的中点，所以，且，

所以，，故、、、四点共面，

所以过、、三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形，

其中，，，

过点、在平面内分别作的垂线，垂足点分别为、，

因为，，，

所以，，故，

在平面内，因为，，，

所以，四边形为矩形，则，

所以，，

所以，梯形的高，

梯形的面积.

故选：B.

9．已知非零向量，，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，为单位向量，则

C．若且与同向，则 D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.

【详解】对于A，若，则两向量的大小相等，方向相同，故成立，故A对，

对于B，若，都是单位向量，两向量的方向不定，故不成立，故B错，

对C，因为两向量不能比较大小，故C错，

对于D，根据平面向量的三角形法则成立，故D错，

故选：A

二、多选题

10．下列命题正确的是（    ）

A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内

B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线

C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行

D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行

【答案】BC

【分析】由公理1判断A，由公理3判断B，由空间中点、线、面的位置关系判断C和D.

【详解】由公理1可知，如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错误；

由公理3知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故B正确；

因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故C正确；

一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故D错误.

故选：BC.

11．已知△ABC中，D是BC上的点，AD平分，，下列结论正确的是（    ）

A． B．若，则△ABC为直角三角形

C．若，则△ADC为等边三角形 D．若，则△ABD为等腰三角形

【答案】ABD

【分析】由已知设，，利用正弦定理即可判断A；

若，结合已知得，可求得角C，即可判断B；

若，则，结合，求得△ABC的内角，即可判断CD.

【详解】解：做出图形：由已知设，，

在△ABD，△CAD中，由正弦定理得，，

两式相除得，所以.

对于A，由以上可知，A正确；

对于B，若，结合已知得，故，故B正确；

对于D，若，则，所以，代入得，

即，即，所以，所以，，故△ABD为等腰三角形，

△ADC为直角三角形，故C错误，D正确.

故选：ABD.

12．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（    ）

A．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状

B．水面四边形EFGH的面积不改变

C．棱始终与水面EFGH平行

D．当时，是定值

【答案】ACD

【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形EFGH的面积是改变的可判断B；

由，水面EFGH，水面EFGH，可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D.

【详解】根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有，

且平面平面DHGC，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确；

水面四边形EFGH的面积是改变的，故B错误；

因为，水面EFGH，水面EFGH，

所以水面EFGH正确，故C正确；

由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积不变，

即当E在时，是定值.故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知复数满足，则的最小值是______．

【答案】

【分析】根据绝对值不等式，求出的最小值即可．

【详解】∵复数满足，

∴，

∴的最小值是．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目．

14．已知向量，，且，则___________.

【答案】

【分析】由垂直的坐标表示求得，再由模的坐标运算求解．

【详解】由得，，

则，所以．

故答案为：．

15．如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则__________．

【答案】.

【分析】利用余弦定理求出的数值，正弦定理推出的余弦值，利用展开求出的值．

【详解】解：如图所示，在中，，，，

由余弦定理得，

所以由正弦定理得．

由知为锐角，故．

故．

故答案为：.

四、双空题

16．球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A，B，C是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB，BC，CA，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC.已知地球半径为R，北极为点N，P､Q是地球表面上的两点.

①若P，Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°，则球面△NPQ的面积为___________.②若，则球面的面积___________.

【答案】         

【分析】利用所在的经度求出球面三角形面积，再利用已知可得三角形为等边三角形，进而可以求解．

【详解】解：在赤道上，且经度分别为和，

上半球面面积为，

球面面积为，

当时，为等边三角形，

根据题意构造一个正四面体，如图所示：

其中心为，是高的靠近的四等分点，

则，

由余弦定理可得：，

解得，正好为题目所给的长度，

所以球面的面积为，

故答案为：；．

五、解答题

17．如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：

(1)，，，四点共面；

(2)平面平面．

【答案】(1)证明详见解析

(2)证明详见解析

【分析】（1）通过证明来证得四点共面.

（2）通过面面平行的判定定理来证得平面平面.

【详解】（1）由于分别是的中点，所以，

根据三棱柱的性质可知，，

所以，所以四点共面.

（2）由于分别是的中点，所以，

由于平面，平面，所以平面.

根据三棱柱的性质可知，

所以四边形是平行四边形，所以，

由于平面，平面，所以平面.

由于平面，所以平面平面.

18．已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和实数b是关于x的方程的两个根.

（1）求a，b的值；

（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积.

【答案】（1），；（2）在复平面内z对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆，.

【分析】（1）根据纯虚数的定义求得a，再根据和实数b是关于x的方程的两个根结合韦达定理即可求得b；

（2）设，根据，即可求得在复平面内z对应的点Z的轨迹，从而得出答案.

【详解】解：（1）∵复数（i为虚数单位，）为纯虚数，

∴，解得，

∴，由韦达定理可得，，解得；

（2）∵复数z满足，

∴，

设，则有，

∴在复平面内z对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆，

∴.

19．已知的面积为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①，；条件②：，.

(1)b和c的值.

(2)的值.

【答案】(1)若选①：，；若选②：，；

(2)若选①：；若选②：.

【分析】若选择条件①：

(1)利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用三角形的面积公式可求，的值，进而根据余弦定理可求的值．

(2)由正弦定理可求，的值，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解的值．

若选择条件②：

(1)由题意可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形的面积公式可求，的值，根据余弦定理可求的值．

(2)由正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的正弦公式即可求解的值．

【详解】（1）若选择条件①：

在中，∵，

∴，，

∵，，∴，

由余弦定理，，

∴；

若选择条件②：

在中，∵，∴．

∵，∴，，

∵，

∴，

由余弦定理，，∴；

（2）若选择条件①：

由正弦定理，可得，

∴，，

∵，∴，，

∴.

若选择条件②：

由正弦定理得，

∴，

∵，∴，

∴．

20．已知向量与的夹角为，且，.

（1）若与共线，求；

（2）求与的夹角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）可设，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数即可得解；

（2）计算出、的值，利用平面向量的数量积可求得与的夹角的余弦值.

【详解】（1）若与共线，则存在，使得

即，

又因为向量与不共线，所以，解得，所以；

（2），

 ，

.

21．如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.

（1）试确定R与r的关系；

（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为､，球的表面积为，求；

（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）根据题意分析出△ABC为直角三角形，及，进而得到答案；

（2）由题意，求出大小圆锥的母线长，进而算出它们的侧面积，再求出球的表面积，最后得到答案；

（3）根据（1），求出圆锥体积之和与球的体积，进而得到答案.

【详解】（1）由几何体的特征，得到△ABC为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，

故，所以：，，所以，

（2）球心到圆锥底面的距离，所以小圆锥的高为，

故小圆锥的母线长为R，大圆锥的母线长为，所以，，，故.

（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为，球的体积为.

故两个圆锥的体积和为；体积之比为：.

22．如图，某市政府计划在长为1km的道路AB一侧的一片区域内搭建一个传染病预防措施宣传区.该区域由直角三角形区域ABC（为直角）和以BC为直径的半圆形区域拼接而成.点P为半圆弧上的一点（异于B､C），.设.

（1）为了让更多的市民看到宣传内容，达到最佳宣传效果，需满足，且达到最大值.求为何值时，最大，最大值为多少？

（2）为了让宣传栏达到最佳稳定性，更加耐用，需满足，且达到最大值.问当为何值时，取得最大值.

【答案】（1）时，的最大值为；（2）.

【分析】（1）由题意得，则，，再结合平方关系及二次函数的最值即可出答案；

（2）在直角△ABC中，由，得，在直角△PBC中，，再利用三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得出答案.

【详解】解：（1）由题意得，千米，

则在直角△ABC中，，，

在直角△PBC中，，

，，

所以当，即时，的最大值为；

（2）在直角△ABC中，由，

解得，

在直角△PBC中，，

所以，，

故，

所以当时，达到最大值.