2021-2022学年山东省烟台市莱阳市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年山东省烟台市莱阳市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省烟台市莱阳市第一中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．已知全集，集合，，则等于（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】化简集合，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.【详解】，或，所以.故选：B2．命题“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果.【详解】命题“，” 的否定是，.故选：C3．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．【详解】∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，∴0＜cosx≤1，又sinx＜0，∴角x为第四象限角，故选D．【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．4．已知幂函数的图象过点，，，则m与n的大小关系为（    ）A． B． C． D．不等确定【答案】B【分析】根据给定条件求出幂函数的解析式，再借助的单调性即可判断作答.【详解】依题意，设，由得：，解得，则有，且在上单调递增，又在上单调递增，即，因此有，则，B正确.故选：B5．函数的图象大致是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求函数定义域得，再根据定义域分，，三种情况分别讨论即可得答案.【详解】解：函数的定义域为：，当时，函数，故排除CD选项；当时，，故函数，故排除B选项；当时，函数，该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．在中，且，则等于（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中， ，再利用两角和的余弦公式展开计算即可.【详解】解：∵在中，，∴，又，，∴，，∴.故选：B.【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知函数，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，可得出，令，证明出函数在上为减函数，在上为增函数，由此可求得函数在区间上的最大值，即为所求.【详解】令，则，则，令，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，任取、且，则，，则，，，，所以，函数在区间上为减函数，同理可证函数在区间上为增函数，，，.因此，函数的最大值为.故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下：（1）判断或证明函数在区间上的单调性；（2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.8．已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　)A．∪(5，＋∞) B． ∪ C． ∪(5，7) D． ∪[5，7)【答案】A【详解】由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)，因此f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点可转化成y＝f(x)与h(x)＝loga|x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论．若a＞1，则h(5)＝loga5＜1，即a＞5.  若0＜a＜1，则h(－5)＝loga5≥－1，即0＜a≤.  所以a的取值范围是∪(5，＋∞)．故选A.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 二、多选题9．以下四个选项表述正确的有（    ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】利用元素集合的关系判断得错误，正确.【详解】，所以该选项错误；空集是任何集合的子集，所以该选项正确；由子集的定义得，所以该选项正确；是一个集合，它和之间不能用连接，所以该选项错误.故选：BC10．下列不等式中正确的是（    ）A．已知，则有 B．已知，，，则C．已知，则 D．已知，，则【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式即可较易得出判断.【详解】因为，所以有：，所以：，又：，所以：，所以：，所以A正确；因为，所以有：，所以：，所以：，又，所以：，所以B错误；因为，，当时，成立，当时，，所以C错误；因为，，所以有：，，所以，即：，，所以：，即：，所以D正确.故选：AD.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ）A． B．，C． D．【答案】BD【解析】对于ABC：通过解方程可得答案；对于D，通过作出两个函数的图象可得答案.【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的，对于A：当时，该方程无解，故A不满足；对于B：当，时，解得，故B满足；对于C：当，即时，无实数根，故C不满足；对于D；画出与的图象显然有交点，即存在一个点，使得，故D满足；综上，BD均满足.故选：BD【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.12．已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（    ）A．为奇函数B．若的一个零点为，且，则C．在区间的零点个数为3个D．若大于1的零点从小到大依次为，则【答案】ABD【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C；由时，和的图象，结合正切函数的性质，可判断D.【详解】因为，所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，时，，所以当，时，，当，时，，当，，则，由于的一个零点为，则，故B正确；如图：当时，令，，则大于0的零点为，，的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且，所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；由图可知，大于1的零点，，，所以，而，故推出，故D正确.故选：ABD. 三、填空题13．若，则______．【答案】【分析】由于，然后代值计算即可【详解】因为，所以，故答案为：14．已知R+,且则的最大值为_______.【答案】9【解析】将展开化为，利用基本不等式即可求解.【详解】且R+, ，当且仅当时取等号，故的最大值为9.故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，在运用基本不等式时注意验证等号成立的条件，此题属于基础题.15．如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________. 【答案】【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中， ， ，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为.点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论. 四、双空题16．已知函数，则f(6)=________；若方程在区间有三个不等实根，实数a的取值范围为________.【答案】     8     【解析】（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解．（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出的取值范围．【详解】解：因为作出函数在区间上的图象如图：设直线，要使在区间上有3个不等实根，即函数与在区间上有3个交点，由图象可知或所以实数的取值范围是故答案为：8；．【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题． 五、解答题17．求值：(1)；(2).【答案】(1)112(2)3 【分析】（1）依据幂的运算性质即可解决；（2）依据对数的运算性质及换底公式即可解决.【详解】（1）（2）18．已知函数的定义域是.（1）当时，求函数的值域；（2）设，，都有，若是的充分不必要条件，写一个满足题意的集合并说明理由.【答案】（1）；（2）(答案不唯一)，理由见解析.【解析】（1）利用二次函数的知识求出答案即可；（2）求出，都有的充要条件，然后可得答案.【详解】当时，，所以，所以值域是.（2）据题意使“，都有”为真命题的充要条件是，即有，其解集是，故使是的充分不必要条件的集合可以是.19．已知函数为奇函数，.(1)求的值；(2)判断函数的单调性；(3)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)在R上是增函数(3) 【分析】（1）根据奇函数性质可得，，代入即可得到的值；（2）利用单调性的定义证明，任取，设，然后，再分析判断其符号即可；（3）利用奇函数性质可推得，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在上恒成立的问题，求解即可.【详解】（1）函数定义域为.因为函数为奇函数，所以有，即.又，则，所以，.（2）由（1）知，.任取，不妨设 ，，∵，∴，∴.又，，∴，即，∴函数是上的增函数.（3）因为，函数为奇函数，所以等价于，∵是上的单调增函数，∴，即恒成立，∴，解得.20．已知函数在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和m值的两个条件作为已知．条件①：的最小正周期为；条件②：的最大值与最小值之和为0；条件③：．(1)求的值；(2)若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）先由三个条件得出结果，再选择条件即可求出；（2）根据正弦函数的单调性即可列出式子求解.【详解】（1）若选择条件①，则，故可得；若选择条件②，则，故可得；若选择条件③，则，故可得；根据题意，只能选择①②或①③作为已知条件．若选择①②，则，此时；若选择①③，则，此时．（2）根据（1）中所求，不论选择①②还是①③，，又其单调性与相同，故函数在区间上是增函数，可转化为在上是增函数．又当，，要满足题意，只需，故可得，即实数a的最大值为．21．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.所以，解得，当时， ，当时， .所以（2）①当时， ，所以；②当时， ，由于，当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.综合①②知，当，取得最大值为6104万美元.【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．22．已知函数，，当时，恒有．（1）求的表达式及定义域；（2）若方程有解，求实数的取值范围；（3）若方程的解集为，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）．【分析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式；（2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围.（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【详解】（1）∵当时，．，即，即，．整理得恒成立，∴，又，即，从而．∴，∵，∴，或，∴的定义域为．（2）方程有解，即，∴，∴，∴，∴，或，解得或，∴实数的取值范围．（3）方程的解集为，∴，∴，∴，方程的解集为，故有两种情况：①方程无解，即，得，②方程有解，两根均在内，，则解得．综合①②得实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.