2021-2022学年陕西省西安市高新第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省西安市高新第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列能正确表示集合和关系的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出集合N，再求出即可得答案.

【详解】解：，

故，

故选：A

2．若，是第二象限的角，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得，然后求得.

【详解】由于，是第二象限的角，

所以，

所以.

故选：C

3．已知向量＝(3，1)，＝(2，λ)(λ∈R)，若⊥，则(    )

A．5 B． C． D．10

【答案】B

【分析】向量垂直，它们数量积为零，求出λ即可计算.

【详解】依题意，即，解得，则＝(2，－6)，，

故．

故选：B.

4．三个数a＝0.42，b＝log20.3，c＝20.6之间的大小关系是（    ）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【答案】C

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性得0＜a＜1，b＜0，c＞1，由此可判断得选项.

【详解】解：∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a＜1，

∵log20.3＜log21＝0，∴b＜0，

∵20.6＞20＝1，∴c＞1，

∴b＜a＜c，

故选：C．

5．已知点是直线与单位圆在第一象限内的交点，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据同角三角函数基本关系可得，，解方程可得的值，再由余弦的二倍角公式即可求解.

【详解】由题意可得且，

则，解得：，

所以，

故选：A.

6．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

7．已知函数是偶函数，则在上的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简可得，根据函数为偶函数可得，再利用余弦函数的性质可求出值域.

【详解】因为函数为偶函数，

所以.

又∵，∴，即.

因为，∴，

∴当时，的最大值为1，当时，的最小值是.

所以在上的值域是.

故选：D.

8．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先判断的奇偶性和单调性，由此化简不等式，从而求得的取值范围.

【详解】的定义域为，，所以为奇函数，

在上递增，

由得，

∴，，

解得.

故选：B

9．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为的图象与轴的交点为，则的图象的一条对称轴方程可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先化简函数为，再根据函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，求得，再根据的图象与轴的交点为，由求得函数解析式，然后令求解.

【详解】由题意知，

因为函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，

所以其最小正周期为，

故，

因为的图象与轴的交点为，

所以，

又，

所以，

所以，

令，得，

令，得，则的图象的一条对称轴方程可以为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.

3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．

10．在中，，，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知数量积相等求得，取中点D，从而求得中线的长，可表示为的函数，由三角函数知识得取值范围．

【详解】在中，，即，取中点D，即，则

又BD是中线，所以是等腰三角形，BA=BC.由，即，

，

则，

由，则，所以.

故选：C．

二、填空题

11．已知向量，且，则___________.

【答案】

【分析】由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果.

【详解】解：向量，且，

所以，

解得.

故答案为：.

12．函数的零点个数为_______.

【答案】2

【分析】由题意结合函数零点的概念可转化条件得，在同一直角坐标系中作出函数与的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数.

【详解】令，则，

在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：

由图象可知，函数与的图象有两个交点，

所以方程有两个不同实根，所以函数的零点个数为2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.

13．已知，与的夹角为，那么=___________.

【答案】

【分析】根据向量加法运算公式计算求解即可

【详解】解：根据向量模的计算公式得

，

，

所以

故答案为：

14．已知函数，下列说法正确的序号是___________.

①函数的周期为；

②；

③在区间上单调递增；

④的图像关于点中心对称.

【答案】②③

【分析】应用特殊值法，结合周期性、对称的性质判断①、④，利用是函数的周期直接求判断②；由已知区间有，即可判断③.

【详解】解：对于①，函数，

，

，函数的周期不是，故①不正确.

对于②，因为，

所以是函数的周期，所以，②正确；

对于③，当时，，

因为，所以在区间上单调递增，③正确；

对于④，

，

，

则，

所以的图像不关于点中心对称，故④不正确.

故答案为：②③.

三、解答题

15．已知tan α＝2.

(1)求的值；

(2)求的值

【答案】(1)-3

(2)

【分析】（1）由正切的和角公式求解即可；

（2）由余弦的二倍角公式与弦的齐次式弦化切求解即可

【详解】（1）；

（2）

16．试用向量的方法证明：在中，.

【答案】证明见解析

【分析】设，从而得出，化简整理可得

，两边同时与作内积，利用向量的数量积公式即可求解.

【详解】设，从而得出，

，，

，得证.

17．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.

(1)求关于x的函数表达式；

(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式；

（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论.

【详解】（1）解：根据题意，可算得，．

因为，所以，

所以，.

（2）解：根据题意，可知

，

当时，.

综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.

18．已知函数.

(1)求函数的对称中心；

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，根据正弦函数的对称中心，令，解之即可求解；

(2)结合（1）的结论，将化简整理可得：，进而求出，代入即可求解.

【详解】（1）因为

，

令，则，

所以函数的对称中心为；

（2），

所以，又，所以，

则.

19．已知向量a＝(cos2ωx－sin2ωx，sinωx)，b＝(，2cosωx)，设函数f(x)＝a·b(x∈R)的图象关于直线x＝对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝h(x)的图象，若关于x的方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

【答案】（1）T＝6π；单调递增区间为，k∈Z.（2）{k|或k＝－2}．

【分析】（1）先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式、辅助角公式得到，再利用对称性求出值，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用三角函数图象变换得到，再令，利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解.

【详解】(1)f(x)＝a·b＝(cos2ωx－sin2ωx)＋2sinωxcosωx

＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.

∵直线x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴，

∴(k∈Z)，即ω＝k＋(k∈Z)．

又ω∈(0，1)，∴ω＝，f(x)＝2sin，

∴T＝6π.

令，k∈Z，得，k∈Z，

即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)由（1）得f(x)＝2sin，将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝2sin的图象，∴h(x)＝2sin.

令＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤，

方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，

即方程2sint＋k＝0在上有且只有一个实数解，

亦即y＝2sint，t∈的图象与直线y＝－k有且只有一个交点，

画出图象分析可知－≤－k＜或－k＝2，即或k＝－2.

故实数k的取值范围是{k|或k＝－2}．

【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、三角函数的图象变换，意在考查学生的逻辑思维能力和综合分析解决问题的能力，属于中档题．解决本题的易错点在于三角函数的图象变换，学生往往得到错误的结果“”，在处理图象平移时，要注意平移的单位仅对于“自变量”而言，如本题中.

20．设函数，若实数使得对任意恒成立，求的值.

【答案】

【分析】整理得，，

则可整理得，

，据此，列出方程组，

，解方程组，可得答案.

【详解】解：，

，

即，

即，

化为：，

依题意，对任意恒成立，

，

由得：，

故答案为：

21．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.

（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；

（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；

（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.

【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.

【解析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；

（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；

（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.

【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解，

故不是“依赖函数”.

（2）因为在上递增，故，即，，

由，故，得，

从而在上单调递增，故.

（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；

②若，故在上单调递减，

从而，解得(舍)或，

从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，

即恒成立，

由，得.

由，可得，

又在单调递减，故当时，，

从而，解得，

综上，故实数的最大值为.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：

① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

② 数形结合( 图象在 上方即可)；

③ 讨论最值或恒成立.