2021-2022学年上海市川沙中学高一下学期5月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市川沙中学高一下学期5月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市川沙中学高一下学期5月月考数学试题 一、填空题1．1与9的等比中项为______．【答案】【分析】由等比中项直接求解.【详解】1与9的等比中项为.故答案为：.2．设是等差数列的前项和，若，则______.【答案】1【解析】先设等差数列的公差为d，根据题意得出首项和公差的关系，再由求和公式计算，即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以，即，所以.故答案为：1.3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差d为_________.【答案】5【分析】设偶数项和为，则奇数项和为，由 可得 的值，根据 公差 求得结果．【详解】设偶数项和为，则奇数项和为，由 可得，故公差，故答案为：5．【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，得到，公差，是解题的关键．4．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于_____.【答案】【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列定义及性质求得公比，然后根据等比数列的求和公式即得.【详解】设等比数列的公比为，则, 又数列也是等比数列，则，∴,∴，即,∴,即,∴，,所以.故答案为：.5．已知等差数列的前10项之和为30，前20项之和为100，则__.【答案】14【分析】根据等差数列前和公式得到关于的方程组，解出的值，再利用等差数列通项公式求出的值即可.【详解】设等差数列的公差为，，，所以①，②，由②①得，将代入①得，则.故答案为：14.6．若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是____.【答案】2【分析】由无穷等比数列各项的和为，结合等比数列的前n项和公式列方程求解即可．【详解】由题意知，，，且，所以各项的和，解得或，因为，所以只有满足题意．【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与极限思想，属于基础题．7．等差数列的前项和为，若，，则当_____时，最大.【答案】8【分析】由结合等差数列的前项公式结合条件即得．【详解】∵，∴，，∴，，∴，，∴当时，最大．故答案为：8.8．若数列的前n项和为，则通项公式_____________．【答案】【分析】利用当时，，求通项公式，并验证n=1时是否适合，可得答案.【详解】当时，，当时，不适合上式，∴，故答案为:.9．已知数列满足，.求的通项公式___________.【答案】【分析】推出数列是以为首项、3为公比的等比数列．即可求解数列的通项公式．【详解】由，可得，．数列是以为首项、3为公比的等比数列．，，数列的通项公式为．故答案为：.10．设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________.【答案】【分析】由题设函数式易得，再由，应用倒序相加得，即可求数列的前2020项和.【详解】∵，又，∴，∴，∴. 故答案为：11．记数列的前项和为，，下列三个命题中错误的序号有_________．①若（非零常数满足，），则数列为等比数列；②若数列为等比数列，则，，，…仍为等比数列；③为严格递增数列是为严格递增数列的必要非充分条件．【答案】②③【分析】由和的关系可得，由可知数列为等比，知①正确；通过反例可说明②③错误.【详解】对于①，当时，；当时，；经检验：满足；，，数列是以为首项，为公比的等比数列，①正确；对于②，若数列为：，，，，…，则为等比数列；当时，，，，…，此时，，不是等比数列，②错误；对于③，若为等差数列，且，则；此时为严格单调递增，但是先减后增的数列，充分性不成立；若，则；当时，；，数列不是严格单调增数列，必要性不成立；③错误.故答案为：②③.12．已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________【答案】62【分析】设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，根据，得到即有，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解.【详解】解： 由题意知：等差数列满足，故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，由，则，即，即有，则，可得，解得，即有的最大值为，的最大值为.故答案为：. 二、单选题13．设是等差数列，其前项和为.则“”是“为递增数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先由进行化简，能推出，即为递增数列.再由为递增数列，得，能推出故“”是“为递增数列”的充分必要条件.【详解】设的公差为 .充分性证明：由得： ，即：.所以为递增数列.必要性证明：由为递增数列得： ，所以所以“”是“为递增数列的充分必要条件故选：C.【点睛】本题主要结合等差数列考查充分条件及必要条件的判断.属于基础题目.14．已知数列的前项和为，且对任意正整数都有，则下列关于的论断中正确的是（    ）A．一定是等差数列 B．一定是等比数列C．可能是等差数列，但不会是等比数列 D．可能是等比数列，但不会是等差数列【答案】C【分析】根据得，分类讨论当和两种情况分析得数列可能为等差数列，但不会为等比数列.【详解】，，，若，则数列为等差数列；若，则数列为首项为，公比为4的等比数列，，此时（），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列可能为等差数列，但不会为等比数列.故选：C【点睛】关键点点睛：数列中含有和的式子一般需要转化，转化后可利用等差数列和等比数列的定义，此类问题注意验证时是否满足递推式，属于中档题．15．有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2021个数字为（    ）A．5979 B．5980 C．5981 D．以上都不对【答案】C【分析】首先分析出第次报数的个数，得到第次报完数后总共报数的个数，计算出是第次报数中会报到第2020个数字，再计算当第次报数时，3人总的报数次数，再推算出此时报数的最后一个数，再推出报出的第2021个数字.【详解】由题可得第次报数的个数为，则第次报完数后总共报数的个数为，再代入正整数，使的最小值为37，得，而第37次报时，3人总共报数为次，当第次报完数3人总的报数个数为，即报出的第2035个数字为，故报出的第2021个数字为.故选：C16．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（    ）.（取，）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】D【解析】由折线长度变化规律可知“次构造”后的折线长度为，由此得到，利用运算法则可知，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为，则“一次构造”后的折线长度为，“二次构造”后的折线长度为，以此类推，“次构造”后的折线长度为，若得到的折线长度为初始线段长度的倍，则，即，，即，至少需要次构造.故选：.【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点. 三、解答题17．在等比数列中，，公比.设，且，.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的前项和及的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2），.【解析】（1）根据等差数列的定义，结合对数的运算性质和等比数列的定义进行证明即可；（2）利用等差数列的通项公式，结合已知，通过解方程组求出等差数列的首项和公差，然后根据等差数列的前项和、等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】（1）证明：因为，所以为常数，所以数列是公差为的等差数列.（2）设等差数列的公差为，因为，所以，所以.因为，所以，又因为，所以，即即解得因此，所以，解得，，解得，所以.18．数列是递增的等差数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）通过等差数列的通项公式得到关于的方程组，解出即可.（2）分和，讨论，结合等差数列前项和的公式即可得到答案.【详解】（1）设递增的等差数列的公差，因为，，所以，解得，或（舍去），所以.（2）设，则.由，即，解得.当，时，.当，时，.故.19．王先生因病到医院求医，医生给开了个处方药(片剂)，要求每天早晚8时各服一片，已知该药片每片毫克，每小时从体内排出这种药的，并且如果这种药在体内的残留量超过毫克时，就将产生副作用，请问：（1）王先生第一天上午8时第一次服药，则第二天早晨8时服完药时，药在他体内的残留量是多少？（2）如果王先生坚持长期服用此药，会不会产生副作用，为什么？【答案】（1）克；（2）不会，解析见解析.【分析】（1）由题意可知，第二天早晨8时服药，是第3次服药，根据题意列式求解；（2）首先列出递推关系式，根据递推公式，求数列的通项公式，根据等比数列的单调性可求数列的极限，得到结论.【详解】设第次服药后的体内残留量为（1），，；（2），，即，解得：， ， 数列是首项为，公比为的等比数列，，，是单调递增数列，∴长期服用不会出现副作用.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解题意，并能根据题意列出递推公式.20．已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列.⑴ 求；⑵ 求证：在数列中、但不在数列中的项恰为；⑶ 求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【详解】（1）；（2）① 任意，设，则，即;② 假设（矛盾），∴∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为.（3），，，,∵,∴当时，依次有，……,∴.21．已知等比数列的首项，前n项和为，且满足，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前n项和；(3)在（2）的条件下，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根据等比数列前项和可以求出公比，结合对数的运算法则即可得结果；（2）将分组求和与裂项相消法相结合即可得结果；（3）将（2）中的结论代入可得对于任意的恒成立，利用作差法求出右侧的最小值即可得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，由，显然，所以，解得，由于，所以的通项公式为；所以，所以的通项公式为（2）由（1）知，所以，即数列的前n项和.（3）恒成立，即对于任意的恒成立，令，，当时，，所以，即的最小值为，所以实数的取值范围为.