2022-2023学年北京市丰台区高一上学期期末前数学线上模拟演练（三）试题（解析版）

2022-2023学年北京市丰台区高一上学期期末前数学线上模拟演练（三）试题

一、单选题

1．己知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据元素与集合关系，建立方程，可得答案.

【详解】由，则当时，；当时，；当时，，即.

故选：D.

2．若 ，则 的取值范围是（    ）

A．[3，7] B．  C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量共线时取得最值，即可求得答案.

【详解】由题意知，且,

当同向时，取得最小值，；

当反向时，取得最大值，；

当不共线时，取得最小值，，

故 的取值范围是，

故选：C

3．设，，，则，，的大小关系为（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合指数函数特征可知，由对数函数特征可得，进而比大小.

【详解】，所以，即，，所以，所以.

故选：D

4．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（       ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算

【详解】.

故选：B

5．网上一家电子产品店，今年1﹣4月的电子产品销售总额如图1，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2．

根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是（　　）

A．从1月到4月，电子产品销售总额为290万元

B．该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降

C．今年1﹣4月中，该款平板电脑售额最低的是3月

D．该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了

【答案】B

【分析】结合图1、图2即可计算出该款平板电脑1﹣4月份的销售额，即可出答案.

【详解】由图1可知从1月到4月，电子产品销售总额为万元，A正确；

该款平板电脑3月份的销售额为万元，

4月份的销售额为万元，

则该款平板电脑4月份的销售额比3月份多了万元，B错误；

该款平板电脑1月份的销售额为万元，

2月份的销售额为万元，

所以今年1﹣4月中，该款平板电脑售额最低的是3月10.8万元，C正确；

由图2可知该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了，D正确.

故选：B.

6．设奇函数的定义域.若当时，的图象如图，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合函数的图像，利用函数的奇偶性写出结果即可.

【详解】当时，由的图象可知，

时，不等式，

时，不等式，

又奇函数的定义域，

时，不等式，

时，不等式，

所以不等式的解集是，

故选：D.

7．设，，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的含义，结合特殊值说明即可.

【详解】设，，显然有，但是不成立；

若，因为，所以有成立.

所以，“”是“”的必要而不充分条件.

故选：C.

8．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得“，使”是真命题，再根据二次不等式恒成立满足的判别式关系求解即可.

【详解】命题“，使”是假命题，

命题“，使”是真命题，

则判别式，解得.

故选：C.

9．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　）

A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．

C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）

【答案】C

【分析】由图形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出.

【详解】解：由图形可知，，，

在Rt△OCF中，由勾股定理可得，

CF＝，

∵CF≥OF，

∴，

故选：C.

10．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发分钟.乙骑行分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（    ）

A．乙的速度为米/分钟 B．分钟后甲的速度为米/分钟

C．乙比甲晚分钟到达地 D．、两地之间的路程为米

【答案】C

【分析】首先由图象确定甲乙两人的速度，再求出甲到达地时乙距离的的距离，计算甲的总路程即为、两地之间的路程，进而可判断各个选项的正确性，即可得正确答案.

【详解】因为乙比甲早出发分钟，由图知：乙的速度为米/分钟，故选项A正确；

设甲的原速度为，因为，解得：米/分钟，

所以分钟后甲的速度为米/分钟，故选项B正确；

当时，甲到达地，此时乙距离地还有米，所以还需要分钟，所以乙比甲晚分钟到达地，故选项C

不正确；

、两地之间的路程为米，故选项D正确；

所以说法错误的是选项C，

故选：C.

二、填空题

11．函数= 的定义域为____________

【答案】且

【分析】根据初等函数定义及计算法则可求出定义域.

【详解】根据函数定义可知，解得且

故答案为：且

12．某城市有学校1000所，其中大学20所，中学400所，小学580所，现在取50所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样进行抽样，应该选取小学__________所．

【答案】29

【分析】根据分层抽样的定义，求出小学的数量在总体样本中所占的比例即可得出答案.

【详解】因为总体样本是1000所，小学580所，

小学在总体样本中所占的比例为，

所以在小学中抽取的样本为：所.

故答案为：29.

13．“定义在R上的函数满足，且在区间上存在零点”请写出一个符合要求的函数是______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题意结合零点定义分析求解.

【详解】的零点为，且满足，

故符合题意.

故答案为：（答案不唯一）.

14．关于的方程，给出下列四个命题：

①不存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③不存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；

其中正确命题的序号是___________．（写出所有正确命题的序号）

【答案】②④

【分析】将方程，转化为，令，转化函数与的交点情况，分，，，讨论求解.

【详解】方程，可化为，

令，则，，在同一坐标系中，作出其图象，如图所示：

当时，交点的横坐标为，且在t的值域中，

令，解得，

故方程恰有5个不同的实根；

当，即时，图象有两个不同的交点，设交点的横坐标为，且，

令，解得，故方程恰有2个不同的实根；

当，即时，图象有两个不同的交点，设交点的横坐标为，且，

令，令，解得，

故方程恰有4个不同的实根；

当，即时，图象有四个不同的交点，设交点的横坐标为，

且，

令，，，，

解得，

故方程恰有8个不同的实根；

故答案为：②④

三、双空题

15．已知若，且，则________；若对任意的，直线与函数的图像都有两个交点，则实数的取值范围是________．

【答案】     或    

【分析】第一空，将代入，分段讨论解方程即可求出答案；

第二空，画出函数的大致图象，数形结合即可求出答案．

【详解】解：当时，由得，

当时，，解得；

当时，，解得，或（舍去）；

画出函数的图象如图，

∵对任意的，直线与函数的图像都有两个交点，

∴由图可知，，解得；

故答案为：或；．

【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查分类讨论思想，属于基础题．

四、解答题

16．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数、将数据分成7组：，，…，，并整理得到如图的频率分布直方图．

(1)估计总体400名学生中分数小于60的人数；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；

(3)根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考．

【答案】(1)80

(2)20

(3)65分

【分析】（1）由频率分布直方图求出分数不小于60的频率，即可得到分数小于60的频率，即可估计人数；

（2）由频率分布直方图求出分数在区间内的人数，即可估计总体中分数在区间内的人数；

（3）根据百分位数计算规则计算可得.

【详解】（1）解：据频率分布直方图可知，样本中分数不小于60的频率为，所以样本中分数小于60的频率为，

所以估计总体400名学生中分数小于60的人数为．

（2）解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为，

分数在区间内的人数为，

所以总体中分数在区间内的人数估计为．

（3）解：设分数的第25百分位数为，

分数小于70的频率为，

分数小于60的频率为，

所以，即，解得，

则本次考试的及格分数线为65分．

17．在①；②这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．

已知集合．

(1)若，求；

(2)若________，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或

(2)答案见解析

【分析】（1）化简集合，根据集合的运算直接计算即可得到结果.

（2）根据条件分集合为空集与集合不为空集分别讨论计算，即可得到结果.

【详解】（1），

当时，，所以或

所以或

（2）由(1)知，

若选①：由，得

当，即时，，符合题意；

当时，，解得.

综上所述，实数的取值范围是

若选②：当时，，即；

当时，或

解得或不存在.

综上所述，实数的取值范围是

18．已知是定义在上的偶函数，当时，．

(1)求；

(2)求的解析式；

(3)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)2

(2)

(3)

【分析】（1）根据偶函数这一性质将问题转化为求的值，再代入计算即可；

（2）设，根据偶函数这一性质，求出另一部分的解析即可；

（3）由（2）可知函数的单调性，结合单调性解不等式即可.

【详解】（1）因为是偶函数，所以．

（2）设，则，因为是定义在上的偶函数，所以当时，

，

所以（也可表示为．

（3）由及是偶函数得，

由得，在上单调递增，

所以由得，，

解得，即a的取值范围是.

19．已知函数（，且）．

(1)若函数的图象过点，求b的值；

(2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．

【答案】(1)1

(2)或

【分析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.

【详解】（1），解得.

（2）当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；

当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.

综上：或

20．如图， 病人服下一粒某种退烧药后， 每毫升血液中含药量 (微克) 与时间 (小时)之间的关系满足： 前 5 个小时按函数 递增， 后 5 个小时 随着时间 变化的图像是一条线段．

(1)求 关于 的函数关系式；

(2)已知每毫升血液中含药量不低于 3 微克时有治疗效果， 含药量低于 3 微克时无治疗效果， 试问病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为多少小时？

【答案】(1)

(2) 小时

【分析】(1)根据图像中特殊点,求出函数的解析式即可.

(2)根据题意构造不等式,分段求解即可.

【详解】（1）由图可得,函数过点,可得 ， 得 ．

当 时， 设 ，

由图可得 得 所以 ．

故

（2）由题意得 或 得 或 ， 即 ．

故病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为 小时．

21．已知函数．

(1)若关于x的不等式的解集为，求，的值；

(2)当时，解关于x的不等式．

【答案】(1)；

(2)见解析

【分析】（1）根据一元二次不等式解法可知2，3为方程的两个根，然后利用韦达定理求解即可；

（2）化简，讨论a的取值分别求解不等式即可．

【详解】（1）由条件知，关于x的方程的两个根为2和3，

所以，解得．

（2）当时，，即，

当时，即时，解得或；

当时，即时，解得；

当时，即时，解得或．

综上可知，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．