2022-2023学年福建省龙岩市上杭县第一中学高一上学期期末测试（二）数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省龙岩市上杭县第一中学高一上学期期末测试（二）数学试题

一、单选题

1．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依据平移然后判断可知，简单判断可知结果.

【详解】由已知可得，

∴，∴．

∵，∴的最小值是．

故选：C

2．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：）

A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h

【答案】C

【分析】利用已知条件，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为，转化求解即可.

【详解】解：由题意得：

设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为

故，

故该新药对病人有疗效的时长大约为

故选：C

3．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（    ）（参考数据：取）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】根据题意列出相应的不等式，利用对数值计算可得答案.

【详解】设经过次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%，

由题意得，

得，

所以至少需要5次提炼，

故选：A.

4．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.

【详解】由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得：

所以函数的最小正周期为

故选：C

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

5．已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．

【详解】，．

，又，，又，，故选B．

【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．

6．已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.

【详解】因为，所以周期，故①正确；

，故②不正确；

将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，

故③正确.

故选：B.

【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.

7．已知函数的值域为，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】由题可得，令，设，则，再利用二次函数的性质分类讨论即求.

【详解】∵，

∴，

令，设，则，

当时，在上单调递减，

∴，解得，∴，

当时，在上单调递增，

∴，解得，∴，

当时，，无解，

当时，，无解.

综上，或.

故选：C.

8．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.

【详解】，因为，所以，因为，所以.

正弦函数在一个周期内，要满足上式，则，

所以，所以的取值范围是.

故选：D

二、多选题

9．若∈[0，2π]，sinsincoscos0，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．

【详解】解：因为∈[0，2π]，sinsincoscoscos＝0，

则或，

故选：CD．

10．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（    ）

A．

B．若，扇形的半径，则

C．若扇面为“美观扇面”，则

D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为

【答案】AC

【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.

【详解】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，

，A正确；

对于B，，，，B错误；

对于C，，，，C正确；

对于D，，D错误.

故选：AC.

11．设的终边在第二象限，则的值可能为（    ）

A．1 B．-1 C．-2 D．2

【答案】AB

【分析】先求得的范围，由此进行分类讨论，结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，化简求得所求表达式的值.

【详解】∵的终边在第二象限，

∴，，

∴，，

，

故当，时，

，

当，时，

，.

故选：AB

12．已知函数f(x)＝sin(|cosx|)＋cos(|sinx|)，则以下结论正确的是（    ）

A．f(x)的图象关于直线对称 B．f(x)是最小正周期为2π的偶函数

C．f(x)在区间上单调递减 D．方程恰有三个不相等的实数根

【答案】ACD

【分析】根据对称性，周期性，复合函数单调性可判断选项ABC，结合单调性和周期性对函数和的图象交点情况讨论可判断D.

【详解】，

，

，故A正确；

，故B不正确；

当时，单调递减，单调递增，所以，单调递减，同理，单调递减，故函数在区间上单调递减，所以C正确；

易知为偶函数，综上可知：的周期为，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减.

令，因为，，故函数与的图象在区间内有且只有一个交点；

又，故函数与的图象在区间内有且只有一个交点；

又，故函数与的图象在区间内有且只有一个交点.

因为，由周期性和单调性可知，当或时，两函数图象无交点.

综上所述，方程恰有三个不相等的实数根

故选：ACD

三、双空题

13．函数的最小值为___________，此时x的值为___________.

【答案】          ##

【分析】利用三角恒等变换将化为只含有一个三角函数的形式，结合余弦函数的性质即可求得答案.

【详解】由题意得

，

∵，

∴，

∴，

当时，有最小值，

此时，解得，

故答案为：；

四、填空题

14．已知函数 在 上单调递增，则的最大值是____.

【答案】4

【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.

【详解】由函数在区间上单调递增，

可得 ，求得，故的最大值为，

故答案为：4

15．若，，则___________.

【答案】

【分析】由余弦的和差角公式得，，进而得

【详解】解：因为，所以.

因为，所以，

所以，，

所以.

故答案为：

16．已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是_______

【答案】15

【分析】由题意可得是y＝f（x）图像的对称轴，而为f（x）的零点，从而可得•，n∈Z，由在区间上有最小值无最大值，可得周期T≥（），从而可求得ω≤16，然后对ω＝15进行检验即可

【详解】由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，

为f（x）的零点，∴•，n∈Z，∴ω＝2n+1．

∵f（x）在区间上有最小值无最大值，

∴周期T≥（），即，∴ω≤16．

∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，

当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），

在区间上，15x∈[，），此时f（x）在时取得最小值，

∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.

故答案为：15.

【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图像和性质的应用，解题的关键是恒成立，得是y＝f（x）图像的对称轴，再结合为的零点，可得•，n∈Z，考查分析问题的能力，属于较难题

五、解答题

17．已知函数的最大值为.

(1)求函数的单调递减区间；

(2)若，求函数的值域.

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，ωx＋φ整体替换进行单调区间的求解；

(2)求出ωx＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒

【详解】（1）．

由，解得．

又，

则，，

解得，，

所以函数的单调递减区间为，；

（2）由，则，所以，

所以，

所以函数的值域为．

18．已知.

（1）求的值；

（2）已知，，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先求出，再化简即得解；

（2）先求出，再求出，求出，即得解.

【详解】（1）由已知得，所以

（2）由，可得，

则.

因为，所以，

又，则，

因为，，

则，则，

所以.

【点睛】易错点睛：本题容易得出两个答案，或.之所以得出两个答案，是没有分析缩小的范围，从而得到.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.

19．已知函数，其中.

（1）求使得的的取值范围；

（2）若函数，且对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）化简函数的解析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；

（2）构造函数，由单调性的定义得出在区间上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数的最大值.

【详解】解：（1）由题意得，

令，得

即，故的取值范围为

（2）由题意得，

令

即

故在区间上为增函数

由，得出，，

则函数包含原点的单调递增区间为即

故正实数的最大值为.

【点睛】本题主要考查了解正弦不等式以及正弦型函数单调性的应用，属于中档题.

20．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.

已知角a是第一象限角，且___________.

(1)求的值；

(2)求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①：因为，求得，结合角是第一象限角，得到，进而求得的值.

选②：化简得到，结合角是第一象限角，进而得到的值.

（2）化简得到，结合，代入即可求解.

【详解】（1）解：选①：因为，所以，所以，

因为角是第一象限角，所以，则.

选②：因为，所以，

解得或，

因为角是第一象限角，所以.

（2）解：由

因为，所以，

即.

21．已知，，且，求、的值.

【答案】

【分析】首先利用和差化积以及二倍角公式对已知条件变形整理，得到一个可看作一元二次类的方程，通过对判别式、三角函数值的性质以及、的范围即可求解.

【详解】对 进行变形整理得，

，

即，

上式可看作的一元二次方程，此方程有实根，

，得，

但，∴，

∵，，

∴，

故，即，

将代入，解得，

故.

22．设为常数，函数（）

（1）设，求函数的单调递增区间及频率；

（2）若函数为偶函数，求此函数的值域．

【答案】（1）增区间为，频率；（2）．

【解析】（1）当时，化简得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；

（2）由函数为偶函数，得到对于任意的，均有成立，进而求得，即可求得函数的值域.

【详解】（1）当时，函数，

令，得，

所以此函数的单调递增区间为，

又由函数的的最小正周期为，所以．

（2）由题意，函数定义域，

因为函数为偶函数，所以对于任意的，均有成立，

即，

即对于任意实数均成立，只有，

此时，因为，所以，

故此函数的值域为．

【点睛】解答三角函数的性质的基本方法：

1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；

2、熟练应用三角函数的图象与性质（单调性、奇偶性、周期、对称轴（中心）最值等），结合整体代换的方法，列出方程求解；