2022-2023学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量检测练习数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量检测练习数学试题

一、单选题

1．若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．以上选项均不正确

【答案】C

【分析】根据集合的描述法，对两个集合中描述元素的语言和等式进行分析即可.

【详解】对于集合，当时，是与的公倍数，因此是的正整数倍，

即是与的公倍数，，且，

∴由集合中元素的互异性，集合中元素有，，，，，，

对于集合，当时，是的正整数倍，

∴集合中元素有，，，，，，

∴.

故选：C.

2．设实数满足，则函数的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将函数解析式拼凑变形后使用基本不等式求最大值.

【详解】因为，所以，

所以

当且仅当时，等号成立，

故选：D.

3．若角的终边过点，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义逐一判断即可.

【详解】因为角的终边过点，

所以，即A正确；符号不确定，即BD不正确；

符号不确定，即C不正确；

故选：A.

4．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．

5．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒。该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上中下三匹马A2， B2， C2， 且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2（注：A>B表示A马与B马比赛，A马获胜）.一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.已知我方三个数为，，，对方的三个数以及排序如表所示：

当时，我方必胜的排序是（    ）A． B． C． D．

【答案】A

【分析】逐一进行判断，根据角度的范围以及对方每一局数据大小，结合三角函数性质进行比较，最后结合田忌赛马的事例即可得出我方必胜的排序.

【详解】对A，当时，，

，所以我方必胜；

对B，当时，，，

，所以我方必胜；

对C，当时，，

，所以我方必败；

对D，当时，，

，所以我方必败.

故选：AB

6．2021年12月，考古工作者又公布了关于北京建城的一件重要文字证据。这次在琉璃河遗址新发现的铭文，不仅是A国建城最早的文字证据，更是北京建城最早的文字证据.考古学家对现场文物样本进行碳14年代学检测，检验出碳14的残留量约为初始量的69%.已知被测物中碳14的质量M随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量），据此推测该遗址属于以下哪个时期（参考数据：）（    ）

A．西周 B．两汉 C．唐朝 D．元朝

【答案】A

【分析】由题意知，利用指对互化求解的值.

【详解】由题意知，所以，故，距今时间大约为 ，故推测该遗址属于西周时期.

故选：A.

7．设函数，若关于的方程有四个实根，，则的最小值是（    ）

A．15 B．15.5 C．16 D．17

【答案】C

【分析】作出分段函数的图象，由图象分析可得，且，然后表示出，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．

【详解】作出函数的图象如图所示，

由图可知，，

由，

可得或，故，

又因为，

所以，

故，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为16．

故选：C．

二、多选题

8．下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对于A直接比较即可，对于B，引入中间量进行比较，对于C，直接化简比较即可，对于D，构造指数函数，利用单调性即可判断.

【详解】对于A，因为，所以，A错误；对于B，因为，而，所以，B正确；对于C，因为，而，所以，C不正确；对于D，构造指数函数，则单调递增，则，即，故D错误；

故选：B

9．已知，则下列等式恒成立的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】ACD

【分析】由已知条件可得，然后逐个分析判断即可.

【详解】由，得，

所以，所以，

所以，

对于A，因为，所以，所以A正确，

对于B，因为，所以B错误，

对于C，因为，所以，所以C正确，

对于D，因为，所以，所以D正确，

故选：ACD

10．对，成立的充分不必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】首先求出满足，恒成立时的取值集合，然后只需求这个集合的真子集即可.

【详解】若，恒成立，只需，

又，所以，

所以对，成立的充分不必要条件可以是，或者是.

故选：AC.

11．王维，字摩诘，号摩诘居士，唐代山水田园派诗人、画家。北宋苏轼在《书摩诘蓝田烟雨图》中评价道：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗。”在王维所做的五言绝句《相思》中，以下诗句不可以作为命题的是（    ）

A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思

【答案】BCD

【分析】根据题意，由命题的概念依次分析即可得答案．

【详解】对于A，红豆生南国，是陈述句，是正确的，这句诗是命题，

对于B，春来发几枝，是疑问句，这句诗不是命题，

对于C，愿君多采撷，是祈使句，这句诗不是命题，

对于D，此物最相思，是感叹句，这句诗不是命题.

故选：BCD．

12．已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，， 则（    ）

A． B．不等式的解集是

C．函数是周期函数 D．当关于的方程恰有两个不同的解时，

【答案】BC

【分析】由取，结合奇函数性质可求，判断A，根据周期函数定义结合条件求函数的周期，结合奇偶性周期性性质判断B，C，作出函数与函数的部分图象，结合图象判断D.

【详解】对于A，由取可得，又函数是定义域为的奇函数，所以，因为当时，，所以，所以，A错；

对于C，由已知可得，故函数为周期函数，C对；

对于B，由奇函数的性质可得，则，，

当时，，当时，，则，

当时，，则，

当时，，则.

故当时，不等式的解为，

又因为函数的周期为，故不等式的解集是，C对；

对于D，作出函数与函数的部分图象如图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D错.

故选：BC.

三、填空题

13．函数的定义域为____．

【答案】

【分析】由题可得，进而即得.

【详解】要使函数有意义，

则，

解得或，

所以函数的定义域为．

故答案为：．

14．已知，则的值为____．

【答案】

【分析】根据两角和与差的正弦、余弦公式展开后将弦化切即可求解.

【详解】.

故答案为：.

15．已知函数的最小正周期是，且的图象过点，则的图象的对称中心坐标为___________.

【答案】

【分析】根据周期确定的值，再由的图象过点确定值，从而函数解析式确定，再根据正弦函数的对称中心可解得答案.

【详解】由题意函数的最小正周期是，

可知，

再由的图象过点，可得，

则,故,

所以由知：，所以，

令，可得，

所以的图象的对称中心坐标为，

故答案为：

16．已知，若对恒成立，则实数___________.

【答案】

【分析】分情况讨论当时，可得，当时，可得，即求.

【详解】当，即时，，

又，故，则恒成立，

所以，解得；

当，即时，，故，即恒成立，

∴，解得；

综上，实数.

故答案为：.

四、解答题

17．设集合，，．

(1)，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先求集合B的补集，再与集合A取交集；

（2）把“”是“”的充分条件转化为集合A与B之间的关系再求解的取值范围．

【详解】（1）时，，

又

故

（2）由题意知：“”是“”的充分条件，即

当时，，，满足题意；

当时，，欲满足

则必须解之得

综上得的取值范围为或

18．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性并证明；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.

【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析

(2)函数在区间上单调递减，证明见解析

【分析】（1）先求得的定义域，然后利用单调性的定义判断出的奇偶性.

（2）利用单调性的定义，由作出判断.

【详解】（1）因为，即，解得或，

所以函数的定义域为，定义域关于原点对称，

.

因为，所以为奇函数.

（2）在区间上单调递减，

证明：任取且，

，

因为，所以，

可得，所以，

所以，

所以在区间上单调递减.

19．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)将的图象上的各点________得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围．

在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.

①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．

②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据三角恒等变换化简，再求其最小正周期即可；

（2）选择不同的条件，根据三角函数的图象变换求得的解析式，再求其在区间上的值域即可.

【详解】（1）因为

所以函数的最小正周期．

（2）若选择①，

由（1）知，那么将图象上各点向左平移个单位，

再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到．

当时，可得，，，

由方程有解，可得实数m的取值范围为．

若选择②，

由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，

横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到．

当时，，，

由方程有解，可得实数m的取值范围为．

20．北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：

已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：

①，②，③

(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；

(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．

【答案】(1)模型③最合适，理由见解析；

(2)第天达到最低.

【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；

（2）由表中数据和第天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的模型和中的参数，代入，化简后使用基本不等式求解.

【详解】（1）模型③最合适，理由如下：

对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合适；

对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型②不合适；

对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型③，有

，解得，

∴，

经验证，均满足表中数据，

因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.

（2）∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套），

∴第天的日销售收入为（元），

∴，

∴，

由（1）所选模型③，当且时，

（元）

当且仅当，即时，等号成立，

∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.

21．函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，为该图象上三个点，其中为相邻的最高点与最低点，．且，.

(1)求的解析式；

(2)的图象向左平移1个单位后得到的图象，分析在的单调性及最值．

【答案】(1)；

(2)在单调递减；在单调递增，，.

【分析】（1）根据勾股定理，结合正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可；

（2）根据二倍角公式，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）过作轴于，连接与轴交于，则.

设，则，由，

即，可得

进而可得，，

记的最小正周期为，则，得，

故，又，且，得，

即；

（2）依题意，

由，可得单调减区间为；

由，可得单调增区间为；

故在单调递减；在单调递增

则，

设表示中最大数，

.

22．已知函数，．

(1)若，求函数的值域；

(2)已知，且对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)当时，；当且时，.

【分析】（1）由题设，令则，即可求值域.

（2）令，将问题转化为在上恒成立，再应用对勾函数的性质，讨论、，分别求出的取值范围．

【详解】（1）因为，

设，则，

因为，所以，即．

当时，，当或时，，

所以的值域为.

（2）因为，所以，

又可化成，

因为，所以，

所以，

令，则，，

依题意，时，恒成立，

设，，

当时，当且仅当，，故；

当，时，在上单调递增，

当时，，故，

综上所述：当时，；当且时，.

【点睛】关键点点睛：应用换元法及参变分离，将问题转化为二次函数求值域，及由不等式恒成立、对勾函数的最值求参数范围.