2022-2023学年甘肃省定西市第一中学高一上学期期末考试理科数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年甘肃省定西市第一中学高一上学期期末考试理科数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
定西市第一中学高一年级线上教学质量检测考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．  1. 集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用并集和补集运算法则得到答案.【详解】，，，.故选：B.【点睛】本题考查了并集和补集运算，属于简单题.2. 过点和点的直线的斜率为（    ）A. -2 B.  C.  D. 2【答案】A【解析】【分析】根据两点确定的直线的斜率公式即可求解.【详解】根据斜率公式可得：过点和点的直线的斜率.故选：A【点睛】此题考查根据两点求直线的斜率，根据公式准确求解即可.3. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题的序号是（    ）A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【答案】A【解析】【分析】利用面面平行、面面垂直以及线面关系定理分别对四个命题分析解答.【详解】对于①，若，根据面面平行的性质容易得到，故①正确；对于②，若，，m与的关系不确定，故②错误；对于③，若，，可以在找到一条直线l与m平行，所以，故，故③正确；对于④，若，，那么m与的位置关系为或者，故④错误；故选：A.【点睛】本题考查了面面平行、面面垂直以及线面关系定理的运用，关键是熟练掌握应该的定理，正确运用.4. 已知函数在区间上是单调函数，则实数k取值范围是（　　）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用二次函数的单调性列不等式组即可求得.【详解】函数的对称轴为.要使函数在区间上是单调函数，只需或，解得：或.故选：A5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图画出主观图，利用锥体体积公式即可求得.【详解】由三视图可知，该几何体是底面是上底为，下底为，高为的直角梯形，高为的四棱锥，.故选：.【点睛】本题主要考查的是由三视图画出主观图，再求出其体积，由三视图画出主观图的步骤和思想方法是：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体的前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整，6. 设a＝log32，b＝log23，，则（　　）A. c<b<a B. a<c<bC. c<a<b D. b<c<a【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性，结合“媒介数”比较作答.【详解】依题意，，，则，而，因此，即选项C正确.故选：C7. 已知函数则的值为（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先计算，再将代入解析式中计算即可.【详解】解：因为所以，所以.故选：A.8. 若函数的定义域为，则的定义域是（    ）A.  B. C  D. 【答案】C【解析】【分析】由抽象函数定义域的求解原则可得出，解此对数不等式可求得函数的定义域.【详解】由于函数的定义域为，对于函数，则有，解得.因此，函数的定义域是.故选：C.9. 在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】过点作的垂线，垂足为，由线面垂直判定可知平面，则所求角即为，由长度关系求得即可.【详解】在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.，，，平面，平面，的正弦值即为所求角的正弦值，，，.故选：D.10. 若函数在区间[0,2]上的最大值和最小值的和为5，则函数在区间上的最大值和最小值之差是A. 1 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【详解】试题分析：依题意有，所以在区间的值域为，故最大值和最小值之差是.考点：函数的单调性与最值.11. 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【详解】12. 若定义在R上的偶函数满足，且时，，则方程的零点个数是（　　）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个【答案】C【解析】【分析】由题意可知是周期为2的偶函数，则做出函数与函数的图像，交点个数即为零点个数.【详解】解：由可知是周期为2的偶函数，作函数与函数的图像如下：方程的零点个数即函数与函数的交点个数，由图像可知，有四个不同的交点，故选：C.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知直线与直线互相平行，则______.【答案】【解析】【分析】由两直线平行得，，解出值.【详解】由直线与直线互相平行，得，解得故答案为：.【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题.14. 已知幂函数的图象过点，则___________．【答案】【解析】【分析】根据条件，设幂函数为为常数)，再根据幂函数过点即可求解.【详解】设幂函数为为常数)，因为幂函数过点，所以，则，所以，故答案为：.15. 已知函数，在R上是增函数，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数单调递增可得两段也必单调递增,且左段最大值小于等于右段的最小值,据此列式可解得.【详解】由函数在R上是增函数可得，解得.故答案为 .【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属于中档题.易错警示:忽视左段的最大值小于等于右段的最小值.16. 若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面ABC，，，且三棱锥的体积为，则球O的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据几何体特征补图成长方体，长方体的体对角线就是该锥体外接球的直径，即可求得体积.【详解】平面ABC，，，且三棱锥的体积为，即，解得，由题可得两两互相垂直，对几何体补图成如图所示的长方体，不共面的四点确定一个球，所以长方体与三棱锥有同一个外接球，球的直径为长方体体对角线长，即，所以外接球半径为，体积.故答案为：【点睛】此题考查求三棱锥外接球的体积，关键在于准确求出外接球的半径，解决此类问题，多做积累，特殊几何体常见的处理办法.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17. （1）求值（2）设，求函数的最大值和最小值.【答案】（1）19；（2）最大值为5，最小值为3.【解析】【分析】（1）利用幂的运算性质直接求解；（2）利用复合函数的值域求解方法直接求解.【详解】（1）（2）令，因为，所以.则函数可化为.因为在上单调递减，在上单调递增，所以当，即时，最小；当，即时，最大.所以函数的最大值为5，最小值为3.18. 如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】简单考察空间想象能力和推理论证能力、线面平行和垂直的判定与性质，容易题.【详解】（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，又平面面，直线EF‖平面PCD（2）F是AD的中点，又平面PAD⊥平面ABCD，所以，平面BEF⊥平面PAD.19. 已知函数满足，且．（1）求函数的解析式；（2）若在[0,2]上的最大值为2，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）利用换元法令，则，由求得，所以；（2）根据（1）有，对称轴为，函数左减右增，最大值在两端取得，、，当时，，当时，，，.（1）令，则，又，
 ，即. （2），图像对称轴为，在上是减函数，在上是增函数，在上的最大值为或，又，，当时，，当时，，，. 20. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，．（1）求圆A的标准方程；（2）求直线l的方程．【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程；（2）分别讨论直线l与x轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方程即可解得参数.【小问1详解】设圆A半径为R，由圆与直线相切得，∴圆A的标准方程为.【小问2详解】i. 当直线l与x轴垂直时，即，此时，符合题意；ii. 当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即，Q是MN的中点，，∴，即，解得，∴直线l为：.∴直线l的方程为或.21. 已知函数（1）当时，求的定义域、值域.（2）当时，判断的单调性，并用定义证明.【答案】（1）的定义域为，值域为；    （2）在上为减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）直接求出定义域和值域；（2）先判断出单调性，再用定义法证明.【小问1详解】要求函数的定义域，只需: ,即.因为,由指数函数的性质可得：,∴函数的定义域为.因为,并且,所以∴函数的值域为.【小问2详解】在上为减函数.任取,且.因为,则，所以，所以，即.故函数在上为减函数.22. 如下图，在三棱锥中，分别是的中点，，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；    （2）；    （3）.【解析】【分析】（1）先证明出，，利用线面垂直的判定定理直接证明；（2）取的中点，连接.判断出直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角，利用余弦定理即可求解；（3）利用等体积法求解【小问1详解】连接OC.∵，是的中点， ∴，且.又，是的中点，∴，且.在中，，所以，即.又，平面，平面，∴平面.【小问2详解】取的中点，连接.由是的中点，知，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角.在中， ，.∵OM是直角三角形AOC斜边上的中线，∴.在中，由余弦定理可得：，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.【小问3详解】设点到平面的距离为h..在△中， ，∴.∴.即点到平面的距离为.