2022-2023学年广东省东莞市五校高一上学期11月期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省东莞市五校高一上学期11月期中联考数学试题

一、单选题

1．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分别表示的数集，对选项逐一判断即可.

【详解】不属于自然数，故A错误；

不属于正整数，故B正确；

是无理数，不属于有理数集，故C错误；

属于实数，故D错误.

故选:B.

2．已知集合，，，则（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．

【答案】B

【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性计算可得.

【详解】解：因为，且，则,

又，即，所以，即；

故选：B

3．“”是“”的（　　）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先解一元二次不等式,再结合充要条件定义即可求解.

【详解】因为，解得,又因为是的真子集，

所以“”是“”的必要而不充分条件;

故选：．

4．已知命题p：，，则是（　　）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】“任一情况都符合”的否定是“存在一种情况不符合”.

【详解】命题p为全称命题，则是，．

故选：B．

5．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.

【详解】解：由已知得，解得且，

所以函数的定义域为，

故选：B.

6．设函数，则（    ）

A．6 B．7 C．9 D．10

【答案】B

【分析】根据分段函数的特征，首先把，由，代入即可求解.

【详解】

故选：B

7．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件(x1>x2>0)的函数的个数是（    ）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】条件(x1>x2>0)表明函数应是上凸函数，结合幂函数的图象可作答．

【详解】①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，＝；

②函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，；

③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，

故当x1>x2>0时，；

④函数f(x)＝的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，；

⑤在第一象限，函数f(x)＝的图象是一条凹形曲线，

故当x1>x2>0时，.

故仅有函数f(x)＝满足当x1>x2>0时，，

故选：A.

8．已知函数满足对任意实数，都有 成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】易知函数在R上递增，由求解.

【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立，

所以函数在R上递增，

所以，

解得，

故选：C

二、多选题

9．以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是2；

B．若且，则；

C．的最小值是2；

D．函数的最大值为0．

【答案】BD

【分析】根据判断A，由均值不等式可判断B，利用对勾函数判断C，根据均值不等式判断D.

【详解】对于A，当时，结论显然不成立，故错误；

对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确；

对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；

对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：BD

10．已知，下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则ac2>bc2

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】由不等式的性质可判断ABC，由作差法可判断D.

【详解】对于A，若，则，A错误；

对于B，若,且时，则，B错误；

对于C，若，则，故，则必有，C正确；

对于D，若，则，

所以，D正确.

故选：CD

11．已知函数的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D使得：

（1）在上是单调函数；

（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”．

下列函数中存在“倍值区间”的有（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据定义分别讨论是否满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论.

【详解】解：根据题意，函数中存在“倍值区间”，则满足f（x）在内是单调函数，其次有或，依次分析选项：

对于A，，在区间上，是增函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”，

对于B，f（x）＝，在区间上，是减函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”，

对于C，f（x）＝x+，当x＞0时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

若函数存在倍值区间，则有或，

对于，有，解可得m＝n＝1，不符合题意，

对于，，变形可得且，必有，不符合题意，故不存在倍值区间，C错误.

对于D，f（x）＝，在区间上，有，

则是增函数，且其值域为，

则区间是函数的“倍值区间”，

故选：ABD．

12．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（　　）

A．是奇函数 B．

C．的图像关于对称 D．

【答案】BCD

【详解】由为奇函数得的图象关于点对称，由为偶函数得的图象关于直线对称，即可进一步得，即函数是周期为4的周期函数，

对任意的，且，都有得函数的单调性，结合函数的性质依次综合判断即可.

【点睛】根据题意，函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，则的图象关于点对称，同时关于直线对称，

则有，则有，故有，则函数是周期为4的周期函数，

依次分析选项：

对A，的图象关于点对称，同时关于直线对称，则即y轴也是函数的对称轴，则为偶函数，A错；

对B，是 周期为4的周期函数，则，B对；

对C，为奇函数，的图象关于点对称，C对；

对D，对任意的，且，都有，则在区间上为增函数，

为偶函数，则，的图象关于直线对称，，又由＞，故，D对.

故选：BCD．

三、填空题

13．不等式的解集为_________．

【答案】

【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.

【详解】由，得，

由解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

14．已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据，可得，从而可得出答案.

【详解】解：∵，∴，∴．

故答案为：.

15．已知定义在上的减函数满足是其图象上一点，那么的解集为__________.

【答案】（

【分析】由题意可得，结合条件，利用奇偶性和单调性可解出不等式，得到答案.

【详解】由知为奇函数，

由即

又，

又知函数在上为减函数，可得，

解得解集为.

故答案为：

四、双空题

16．定义在上的函数满足，当时，，若直线与的图象恰有个交点、、、，则_____；的取值范围为 _______．

【答案】         

【分析】作出函数与的图象，利用对称性可得出的值，数形结合可出当直线与函数的图象有

【详解】解：定义在上的函数满足，

当时，，

则当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

作出函数与在上的图象如下图所示：

不妨设，结合图形可知，点、关于直线对称，则，

同理可得，，，

因此，，

由图可知，当时，直线与函数的图象有个交点.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知全集为R，集合，集合，.

(1)求；

(2)求

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据并集的计算方法计算即可；

(2)求出集合D，并求出其补集，再根据交集的运算方法运算即可.

【详解】（1）；

（2）,∴或，

∴.

18．已知是定义在上的偶函数，且时，．

(1)求函数的表达式；

(2)判断并证明函数在区间上的单调性．

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析.

【分析】（1）设，则，由偶函数定义可得的表达式；

（2）由单调性定义证明即可

【详解】（1）设，则；

∵是定义在上的偶函数，∴.

∴；

（2）函数在区间上单调递增，证明如下：

设， ，

∵，∴，

∴函数在区间上单调递增.

19．已知函数.

(1)若，判断的奇偶性并加以证明.

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)为奇函数，证明过程见解析；

(2)

【分析】（1）分与两种情况，先求定义域，再利用函数奇偶性的定义判断；

（2）参变分离，整理为恒成立问题，求出的最大值，从而求出实数的取值范围.

【详解】（1），

当时，，定义域为R，此时，

所以为奇函数，

当时，定义域为，且，

所以为奇函数，

综上：为奇函数.

（2）,

即，在上恒成立，

整理为在上恒成立，

令，

当时，，

所以，

故实数的取值范围为.

20．已知二次函数，不等式的解集为．

(1)求函数的解析式；

(2)解关于的不等式（其中）．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据不等式的解集为，得到的根，由韦达定理求出未知数和，即可求出函数的解析式

（2）将（1）求出的函数的解析式代入不等式，分类讨论即可求出不等式的解.

【详解】（1）由题意

在中，的解集为

∴的根为

∴，，

解得：，

∴

（2）由题意及（1）得，

在中，

∴

即

当时，不等式化为：，解得：，

当时，，则不等式的解为：或，

当时，，不等式化为，即，

若，即，则不等式化为：，其解集为空集．

若，即，则不等式的解集为，

若，即，则不等式的解集为，

综上所述：

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【分析】（1）根据题意列方程即可.

（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.

【详解】（1）由题意知，当时，（万件），

则，解得，∴．

所以每件产品的销售价格为（元），

∴2020年的利润．

（2）∵当时，，

∴，

当且仅当即时等号成立．

∴，

即万元时，（万元）．

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．

22．设是定义在上的函数，对任意的，恒有，且当时，．

(1)求．

(2)证明：时，恒有．

(3)求证：在上是减函数．

【答案】(1)1

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）令，代入，即可得到.

（2）令，代入，即可证明.

（3）用定义法即可证明在上是减函数.

【详解】（1）由题意

在中，

∴

解得：或

当时，令，则恒成立，故舍去，

∴

（2）由题意及（1）得

在中，

令，

若，则

即，

而当时，，矛盾，

∴

∴

∴时，恒有

（3）由题意及（1）（2）得

在中，

当时，

设任意的且

∵

∴

即

∴

∴在上是减函数