精品解析：湖南省岳阳市2023届高三上学期教学质量监测(一)数学试题（解析版）

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岳阳市2023届高三教学质量监测（一）数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在复平面内，复数z对应的点为，则（）A. i B. －i C. 2i D. －2i【答案】B【解析】【分析】由题可得，再由复数除法法则即可求解.【详解】因为复数z对应点的坐标为，所以，所以.故选：B.2. 已知集合，，则（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先解不等式，即，再根据并集的运算求解即可.【详解】因为，所以，即，又，所以,故选：C3. 已知直线l：和圆，则“”是“直线l与圆C相切”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线和圆相切求得的值，由此求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为，若直线与圆相切，则，解得.所以“”是“直线l与圆C相切的充要条件.故选：C4. 已知函数的一个零点是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象的表达式为（）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求得，然后根据三角函数图象变换、诱导公式等知识求得正确答案.【详解】依题意，，所以，，向左平移个单位长度得到.故选：D5. 核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（）（参考数据）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，每年的剩余量可构成等比数列，据此求出800年后剩余量即可得解.【详解】由题意，设一开始锶90质量为1，则每年的剩余量构成以为公比的等比数列，则经过800年锶90剩余质量为，两边取常用对数可得：，所以，故选：B6. 已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（）A. 1666 B. 1654 C. 1472 D. 1460【答案】A【解析】【分析】根据题意求出两个数列相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.【详解】有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：2，14，26，38，50，…，182，194，共有项，是公差为12的等差数列，故新数列前17项的和为，即数列的各项之和为1666.故选：A.7. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（）A. 9 B. 18 C. 27 D. 36【答案】A【解析】【分析】由题意可得，，进而说明平面，再求得球的半径，根据即可求得答案.【详解】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径O为中点，∴，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，设，由球O的体积为，可得，则 ，∴三棱锥的体积为9，故选∶A．8. 已知正实数x，y满足，则下列不等式恒成立的是（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断AC，利用不等式性质及指数函数单调性判断B，根据排除法判断D.【详解】取，则不成立，故A错误；由，当时，，所以，即，故B错误；取时，，而，所以，故C错误；由ABC错误，排除法知，故D正确.故选：D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9. 已知函数，则（）A. 是周期函数 B. 函数在定义域上是单调递增函数C. 函数是偶函数 D. 函数的图象关于点对称【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦函数周期判断A，由指数函数、反比例函数的单调性判断B，根据奇偶性定义判断C，由函数中心对称充要条件判断D.【详解】令，则，所以函数为周期函数，故A正确；因为，因为在定义域上单调递减，且，所以由复合函数的单调性质可得在定义域上是单调递增函数，故B正确；令，则，所以函数是奇函数，故C错误；因为，所以函数的图象关于点对称，故D正确.故选：ABD10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（）A. 四名同学的报名情况共有种B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有72种C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据分步乘法计数原理可求得四名同学的报名情况的种数，判断A;根据古典概型的概率公式可判断；根据条件概率的概率公式，可判断D.【详解】由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择，则共有种，A正确；“每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目，故此时报名情况有种，B错误；“四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目，报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，故共有种报名情况，则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，有 种报名方法，则，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，若同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目，则有种报名方法，则，故，D正确，故选：11. 正方体的棱长为1，点P在线段BC上运动，则下列结论正确的是（）A. 异面直线与所成的角为60°B. 异面直线与所成角的取值范围是C. 二面角的正切值为D. 直线与平面所成的角为45°【答案】BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法确定AB，由二面角的平面角的定义法确定C，利用向量法求线面角判断D.【详解】如图，在正方体中建立空间直角坐标系，则，设，对A，由，，即异面直线与所成的角为90°，故A错误；对B，，则，当时，，，当时，，因为的对称轴为，所以当时，，即，由，知，综上，，故B正确；对C，取中点，连接，则，所以为二面角的平面角，在中，，故C正确；对D，在正方体中，,平面，所以平面，即平面一个法向量为,又，所以，故D错误.故选：BC12. 已知抛物线上的两点，及抛物线上的动点，直线PA，PB的斜率分别为，，坐标轴原点记为O，下列结论正确的是（）A. 抛物线的准线方程为B. 三角形AOB为正三角形时，它的面积为C. 当为定值时，为定值D. 过三点，，的圆的周长大于【答案】BCD【解析】【分析】由抛物线方程判断A，根据正三角形求出直线斜率，联立抛物线求点A坐标即可判断B，直接计算结合在抛物线方程上化简可判断C，根据题意及圆的性质求出半径，结合点在抛物线上可得出半径范围，即可判断D.【详解】对A，由抛物线知准线方程为，故A错误；对B，当三角形AOB为正三角形时，不妨设A在第一象限，则，直线方程为，联立，可得，故，所以，故B正确；对C，，当为定值时，为定值，故C正确；对D，因为圆过三点，，，所以可设圆心为，则，平方后可得，故，因为，所以，即，故，所以圆的周长，故D正确.故选：BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）13. 已知，，，均为锐角，则______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式求解.【详解】因为，，且，均为锐角，所以，，所以.故答案：14. 已知某车间在上半年的六个月中，每个月的销售额y（万元）与月份（）满足线性回归方程，则该车间上半年的总销售额约为______万元.【答案】198【解析】【分析】根据线性回归方程，分别将x的值代入，结果相加，即可得答案.【详解】由题意可得该车间上半年的总销售额约为：（万元），故答案为：19815. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为、，圆P：分别交线段、于M、N两点，则______.【答案】##1.2【解析】【分析】根据椭圆的定义及圆的半径确定，再由数量积坐标运算求解.详解】由知圆心，半径，又椭圆方程为，所以在椭圆上，且椭圆的焦点，，所以，，因为,所以,又，所以.故答案为：16. 数列的前n项和为，，且对任意的都有，则（1）若，则实数m的取值范围是______；（2）若存在，使得，则实数m为______.【答案】    ①.     ②. 或【解析】【分析】（1）由求得的取值范围.（2）求得的规律，对进行分类讨论，由此列方程求得的值.【详解】依题意，，对任意的都有，则，，，，，以此类推，结合两式相减得，可知数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列；偶数项是首项为，公差为的等差数列.（1）若，即.所以的取值范围是.（2）若存在，使得，.当为奇数时，为偶数，由得：，解得.当为偶数时，为奇数，由得：，解得.综上所述，的值为或.故答案为：；或【点睛】根据递推关系求解数列的有关问题，关键是从递推关系中求得数列的通项公式.本题中的递推关系，通过分析后可知奇数项和偶数项是不同的，所以在求解时，要对的奇偶性进行分类讨论.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足，且数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由对数运算及等比数列的定义判断数列为等比数列即可得解；（2）根据裂项相消法求数列的和即可.【小问1详解】因为，所以.所以数列是首项为1公比为3的等比数列，所以数列的通项为.【小问2详解】由(1)知数列的前n项和，所以.所以数列前n项和.18. 8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下：取到食品所需的时间（分）12345频率0.050.450.350.10.05假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时.（1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率；（2）若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由频率估计概率得出Y的分布列，“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”对应3个互斥事件，据此求概率即可；（2）X所有可能的取值为0，1，2，结合（1）求出对应概率得分布列，由期望定义求期望.【小问1详解】设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下:123450.050.450.350.10.05A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，则事件A对应三种情形：①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟；②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟；③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟.所以.【小问2详解】X所有可能的取值为0，1，2.对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟，所以;对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，所以；对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，所以；所以X的分布列为：0120.50.49750.0025所以19. 在中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.（1）证明：；（2）求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换的知识证得.（2）转化为只含的三角函数的形式，利用换元法、构造函数法，结合导数求得的取值范围【小问1详解】依题意，由余弦定理得，，由正弦定理得，，，，由于，所以，则由于，所以，则，所以或（舍去），所以.【小问2详解】由于，所以为锐角，即，而，即.，令，，，所以在区间上，递增；在区间上递减.，所以，所以的取值范围是.20. 已知直三棱柱中，E，F分别为棱和的中点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面EFC所成角的正弦值为且，证明：平面平面EFC.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面平面；（2）利用直线与平面EFC所成角的正弦值求得，然后利用向量法证得平面平面EFC.【小问1详解】如图所示，以为原点为轴和轴的正方向，在平面内，过作轴的垂线为轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，，设平面的法向量为，则，令，故.设平面的法向量为，则，令，故，由于，所以，所以平面平面；【小问2详解】，由（1）知平面的一个法向量为，由直线与平面EFC所成角的正弦值为，得，整理得，由于，所以解得，即，此时，，所以，所以平面，由于平面，所以平面平面EFC.21. 已知直线：和直线：，过动点E作平行的直线交于点A，过动点E作平行的直线交于点B，且四边形OAEB（O为原点）的面积为4.（1）求动点E的轨迹方程；（2）当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线，若过点的直线m与曲线交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若，，求证：为定值.【答案】（1）或；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，根据直线相交求出点的横坐标，再求出，点到直线的距离表示出四边形面积，化简方程可得解；（2）验证特殊情况可知，再由一般情况设设直线m的方程为，由题意求出，联立直线与双曲线方程，由根与系数关系代入化简即可得证.【小问1详解】设，过且平行的直线方程为，由得交点的横坐标为，所以，点到直线的距离为，所以四边形OAEB的面积为，即或，故动点E的轨迹方程为或.【小问2详解】由题知的方程为，设，、当直线的斜率为0时，，若，由，，知，所以；若，由，，知，所以；当直线m的斜率不为0时，设直线m的方程为 (显然)，则，即，因为，，所以，解得由消并整理得，因为直线m与曲线有两个交点，则在且判别式时有且所以，即证得为定值.22. 已知函数，，.（1）讨论函数在区间上的最大值；（2）确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.【答案】（1）答案详见解析（2）【解析】【分析】（1）构造函数，求得，对进行分类讨论，由此求得所求的最大值.（2）对进行分类讨论，化简不等式，利用构造函数法，结合导数来求得的值.【小问1详解】，，则，当时，对任意恒成立，又，所以恒成立，所以在上递减，所以的最大值为.当时，在区间，递增；在区间递减.所以的最大值是.【小问2详解】由（1）知，当时，时，；当时，对任意，，要使成立，显然.当时，，令，则，对于方程，，所以方程有两个不同的实数根，，由于，所以，故在区间，递增，此时，即，所以满足题意的不存在.当时，由（1）知，存在，使得对任意恒有，此时，令，，对于方程，，所以方程两个不同的实数根，，由于，所以，所以在区间递增，此时即，即与中较小者为，则当时，恒有，所以满足题意的不存在.当时，由（1）知当时，，令，，所以当时，递减，所以在区间上，故当时，恒有，此时任意实数满足题意.综上所述，.【点睛】利用导数研究函数的最值，当导函数含有参数时，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.当所要研究的函数含有绝对值时，可对绝对值内的式子的符号进行分类讨论，去绝对值，将式子转化为没有绝对值的形式来进行研究.