江西省名校2023届高三数学（文）上学期10月联考试卷（Word版附解析）

高三阶段性考试

数学（文科）

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：集合与简易逻辑、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量占80%，数列、不等式、直线与圆占20%。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.（    ）

A. B. C. D.

3.已知，则的值约为（    ）

A.3.18 B.6.36 C.3.17 D.6.34

4.鲸是水栖哺乳动物，用肺呼吸，一般分为两类：须鲸类，无齿，有鲸须；齿鲸类，有齿，无鲸须，最少的仅具1枚独齿.已知甲是一头鲸，则“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

5.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A. B. C. D.

6.已知函数的最小值为2，且的图象关于点对称，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

7.现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为2cm，高为8cm，用一个注射器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积（单位：ml）关于时间（单位：s）的函数解析式为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（    ）

A.4cm/s B.5cm/s C.6cm/s D.7cm/s

8.函数的大致图象不可能是（    ）

A. B. 

C. D.

9.钝角的内角，，的对边分别是，，，已知，，且，则的周长为（    ）

A.9 B. C.6 D.或9

10.现有下列四个命题：

①，；②存在，使得为质数；

③，；④若，则的最大值为.

其中所有真命题的序号为（    ）

A.②④ B.①③ C.③④ D.②③④

11.函数的最小值为（    ）

A. B. C. D.

12.黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在上.当（，都是正整数，为最简真分数）时，；当或1或为内的无理数时，.若为偶函数，为奇函数，当时，，则（    ）

A.且

B.且

C.且

D.且

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.若，，则______.

14.写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：______.

15.已知函数的零点恰好是的极值点，则______.

16.在等差数列中，，，，则的取值范围是______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在等比数列中，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18.（12分）

已知，函数，的部分图象如图所示.

（1）求的最小正周期；

（2）求函数在上的值域.

19.（12分）

已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程.

（2）讨论的单调性.

20.（12分）

已知圆.

（1）若圆被直线截得的弦长为8，求圆的直径；

（2）已知圆过定点，且直线与圆交于，两点，若，求的取值范围.

21.（12分）

人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点处正上空的点处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍，此时位于点西南方向的草丛处潜伏着一只饥肠辘辘的猎豹，猎豹正目不转睛地盯着其东偏北15°方向上点处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°.假设，，三点在同一水平面上.

（1）求此时猎豹与羚羊之间的距离.

（2）若此时猎豹到点处比到点处的距离更近，且开始以28m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？若有可能，求猎豹狩猎成功的最短时间；若不能，请说明原因.

22.（12分）

已知函数.

（1）若在上存在极值，求的取值范围；

（2）若在上恒成立，求整数的最小值.

高三阶段性考试

数学参考答案（文科）

1.A【解析】本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法，考查数学运算的核心素养.

因为，，所以.

2.A【解析】本题考查向量的运算，考查数学运算的核心素养.

.

3.D【解析】本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养.

.

4.B【解析】本题考查充分必要条件的判定，考查应用意识与逻辑推理的核心素养.

若甲的牙齿的枚数不大于1，则甲可能是独齿鲸也可能是须鲸.若甲为须鲸，则甲的牙齿的枚数为0，所以它的牙齿的枚数不大于1.故“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的必要不充分条件.

5.D【解析】本题考查平面向量的夹角，考查运算求解能力.

设与的夹角为，因为，所以，即，所以，解得.

6.C【解析】本题考查三角函数的对称性与最值，考查数学运算的核心素养.

依题意可得，，则，，

因为，所以的最小值为，故的最小值为.

7.C【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学建模的核心素养与应用意识.

设杯中水的高度为，则，解得，则，当时，.故当时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为6cm/s.

8.C【解析】本题考查函数图象的识别，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

由题意知，则，当时，，，，所以的大致图象不可能为C，而当为其他值时，A，B，D均有可能出现.

9.A【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养.

因为，所以，又，所以，从而，由，解得或（舍去），所以的周长为.

10.D【解析】本题考查基本不等式及命题真假的判断，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

因为，，所以①是假命题.因为，且29为质数，所以②为真命题.，当且仅当，即时，等号成立，所以③为真命题.若，则，当且仅当，即时，等号成立，所以④为真命题.

11.A【解析】本题考查导数的应用，考查化归与转化的数学思想及数学抽象的核心素养.

.令，设，则.

当时，；当时，.

所以.

易证函数的最小值为，所以方程有解，故的最小值为.

12.C【解析】本题考查函数的新定义域函数的综合，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.

因为为偶函数，所以的图象关于直线对称.

因为为奇函数，所以的图象关于点对称.

所以，所以，所以.

所以.

若，中至少有一个为0或1或内的无理数时，，而，则；

若，均为内的无理数时，设，（，，，为正整数，，为最简真分数），则.

当能约分时，则约为最简真分数后的分数的分母，；

当不能约分时，此时.

综上，当，时，，而，，所以

.

13.【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.

因为，所以，故.

14.（答案不唯一，只要写出，，其中一个即可）【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想.

在直角坐标系中，画出这两个圆，根据对称性可知这两个圆的公切线的方程为，，.

15.【解析】本题考查函数的零点和极值点，考查运算求解能力.

设是的零点，因为，所以解得，.

16.【解析】本题考查不等式与线性规划的交汇，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.

不妨记，，由题意可知作出可行域如图所示.当直线经过点时，取得最小值；当直线经过点时，取得最大值3.故的取值范围是.

17.解：（1）设等比数列的公比为，因为，所以，则，……2分

又，所以，……3分故.……5分

（2）……8分.……10分

18.解：（1）依题意可得，即，……1分

则，即……3分

因为，所以.……4分故.……6分

（2）由（1）知.……8分

当时，，……9分

则，……11分所以在上的值域为，……12分

19.解：（1）当时，，则，……1分

所以，……2分又，……3分

所以曲线在点处的切线方程为，

即（或）.……5分

（2），……6分

令，得，.……7分

当时，，在上单调递增.……8分

当时，令，得，令，得，……9分

则在上单调递减，在，上单调递增.……10分

当时，令，得，令，得，……11分

则在上单调递减，在，上单调递增.……12分

20.解：（1）依题意可知圆的圆心为，……1分

到直线的距离，……2分

因为圆被直线截得的弦长为8，所以，……3分

解得，……4分故圆的直径为.……5分

（2）圆的一般方程为，

令，得，解得，所以定点的坐标为.……7分

联立解得或……9分

所以，……10分因为，所以.……11分

又方程表示一个圆，所以，所以的取值范围是.…12分

21.解：（1）由题意可知，，，，……1分

，，……2分

由正弦定理，可得，……3分

因此或120°，……4分

当时，，猎豹与羚羊之间的距离为；……5分

当时，，猎豹与羚羊之间的距离为.……6分

（2）由（1）可知，若猎豹到点处比到点处羚羊的距离更近，则

，，.……7分

设猎豹在最短时间内捕猎成功的地点为点，，，

则，则，……9分

整理得，解得（负根舍去），……10分

因为，所以猎豹这次捕猎有成功的可能，……11分

且狩猎成功的最短时间为.……12分

22.解：（1），……1分令，得，……2分

因为，所以，所以，……3分

所以，经检验当时，存在极值，故的取值范围是.……5分

（2）（方法一）由，可得在上恒成立.……6分

令，则，……7分

令，则，

因此在上为减函数.……9分

而，，可知在区间上必存在，使得满足，

且在上单调递增，在上单调递减.……10分

由于，而，故，

由，可知，，

所以，因此整数的最小值为1.……12分

（方法二）由，可得，当时，，则，即.7分

当时，令，，则，…9分

则在上单调递增，所以，所以成立.……11分

因此整数的最小值为1.……12分