2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县育英学校八年级（上）期末数学试卷

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2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县育英学校八年级（上）期末数学试卷
一、单选题
1．（3分）下列图形是轴对称图形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+a＝4a2 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．（a3）2÷a5＝1 D．3a3•2a2＝6a6
3．（3分）下列变形中，从左到右不是因式分解的是（　　）
A．x2﹣2x＝x（x﹣2） B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．
4．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，7cm B．4cm，5cm，3cm
C．8cm，8cm，18cm D．3cm，5cm，9cm
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．等腰三角形两边长为4，9，则三角形的周长为17或22
B．在三角形、四边形、五边形中只有三角形具有稳定性
C．n边形的外角和为180°
D．四边形共有4条对角线
6．（3分）下列式子运算结果为x+1的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，BE＝6cm，∠AEC＝30°，则AC等于（　　）

A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
8．（3分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP＝PQ＝QB＝BC，则∠PCQ的度数为（　　）

A．30 B．36 C．45 D．37.5
9．（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C．140 D．140
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，点P在∠BAC的平分线上，则下列结论：①PR＝PS，②AS＝AR，③QP∥AR，④△BRP≌△QSP，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（3分）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）已知：x﹣y＝3，x2+y2＝29，则xy＝　 　．
13．（3分）若（a+3）a+1＝1，则a的值是 　 　．
14．（3分）已知关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 　 　．
15．（3分）有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰三角形纸片的顶角为　 　度．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，5），B（2，0），在第一象限内的点C，使△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为 　 　．

三、解答题
17．（6分）分解因式：
（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；
（2）3x2﹣18xy+27y2．
18．（8分）（1）化简：；
（2）解方程：．
19．（6分）先化简，再求值：（m+2）•，其中m．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（2，3），点C的坐标是（0，3）．
（1）尺规作图：作出四边形OABC关于y轴对称的图形，并写出点B对应点的坐标．
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小．（不要求写作法，保留作图痕迹）

21．（8分）如图，点E是BC边上的点，BM∥NC，BM＝NC．试判断点E是否为线段BC的中点，并说明理由．

22．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．

23．（8分）甲乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍．两人各加工900个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这样的零件．
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这样的零件加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过5400元，那么甲至少加工了多少天？
24．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：DE＝DF，DE⊥DF；
（2）若AC＝2，求四边形DECF面积．

25．（10分）如图所示，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F．
（1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝　 　，∠EPF＝　 　（用含α的代数式表示）；
（2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
②若∠O＝45°，OP＝xcm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示）


2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县育英学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：由轴对称图形的定义可知，从左到右第2、第3、第4、第5个图形是轴对称图形，
所以是轴对称图形的有4个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：A、3a+a＝4a，本选项计算错误，不符合题意；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，本选项计算正确，符合题意；
C、（a3）2÷a5＝a6÷a5＝a，本选项计算错误，不符合题意；
D、3a3•2a2＝6a5，本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
3．【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
B．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
C．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
4．【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
【解答】解：A、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＞5，能组成三角形，符合题意；
C、8+8＜18，不能组成三角形，不符合题意；
D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．
5．【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的稳定性，多边形的外角和等于360°，多边形的对角线的求法即可求解．
【解答】解：A、等腰三角形的两边长为4，9，则三角形的周长为9+9+4＝22，故本选项错误；
B、在三角形、四边形、五边形中只有三角形具有稳定性，故本选项正确；
C、n边形的外角和为360°，故本选项错误；
D、四边形共有2条对角线，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，三角形的稳定性，多边形的外角和等于360°，多边形的对角线，需要熟练掌握．
6．【分析】根据分式的运算法则逐项计算即可．
【解答】解：A.，故不符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故符合题意；
D.，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
7．【分析】根据线段垂直平分线的性质求出BE＝AE＝6cm，再根据含30°角的直角三角形性质求出AC的长即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∵∠C＝90°，∠AEC＝30°，
∴Rt△ACE中，ACAE6＝3（cm），
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形性质的应用，解题时注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
8．【分析】可设∠A＝x，根据在AC上取点D，使QD＝PQ，连接QD、BD，再利用已知得出△BDQ为等边三角形，进而得出x的角度，即可得出答案．
【解答】解：在AC上取点D，使QD＝PQ，连接QD、BD，
设∠A＝x，则∠QDP＝∠QPD＝2x，∠BQD＝3x，
∵DQ＝QB，
∴∠QBD＝90°﹣1.5x，∠BDC＝90°﹣0.5x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣0.5x，
∴BD＝BC，
∴BD＝BQ＝QD，
∴△BDQ为等边三角形，
∴∠QBD＝90°﹣1.5x＝60°，
故x＝20°，
∴∠ABC＝80°，
∴∠QCB＝50°，
∴∠PCQ＝80°﹣50°＝30°．
故选：A．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质的理解和掌握，此题的关键是得出△BDQ为等边三角形．
9．【分析】设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程．
【解答】解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键正确找出等量关系，列出分式方程．
10．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PR＝PS，从而判断出①正确，根据HL证明△APR与△APS全等，利用全等三角形对应边相等即可得到②正确，根据等边对等角的性质可得∠APQ＝∠PAQ，进而得到∠APQ＝∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确，由Rt△QPS≌Rt△CPS，Rt△BPR≌Rt△CPS即可得到④正确．
【解答】解：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，点P在∠BAC的平分线上，
∴PR＝PS，故①正确；
在Rt△APR与Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，故②正确；
∵AQ＝PQ，
∴∠APQ＝∠PAQ，
∵Rt△APR≌Rt△APS，
∴∠PAR＝∠PAQ，
∴∠APQ＝∠PAR，
∴QP∥AR，故③正确；
∵△ABC是等边三角形，点P在∠BAC的平分线上，
∴∠BAP＝∠PAC∠BAC＝30°，BP＝CP，
∵AQ＝PQ，
∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠C，
∴△PQC是等边三角形，
∴PQ＝PC，
在Rt△QPS与Rt△CPS中，
，
∴Rt△QPS≌Rt△CPS（HL），
在Rt△BPR与Rt△CPS中，
，
∴Rt△BPR≌Rt△CPS（HL），
∴△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选：D．

【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
二、填空题
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10．
故答案为：3.4×10﹣10．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】把x﹣y＝3两边平方，然后把x2+y2＝29代入进行计算即可求解．
【解答】解：∵x﹣y＝3，
∴x2﹣2xy+y2＝9，
∵x2+y2＝29，
∴29﹣2xy＝9，
解得xy＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，把其中一个已知条件利用完全平方公式进行平方是解题的关键，难度不大．
13．【分析】可以考虑三种情况：①零指数幂；②底数为1；③﹣1的偶数次方，分别解答即可．
【解答】解：当a+1＝0，a+3≠0时，a＝﹣1；
当a+3＝1时，a＝﹣2；
当a+3＝﹣1时，a＝﹣4，此时a+1＝﹣3，（a+3）a+1＝（﹣1）﹣3＝﹣1，不符合题意；
综上，a＝﹣1或a＝﹣2．
故答案为：﹣1或﹣2．
【点评】本题考查零指数幂，有理数的乘方，体现分类讨论的数学思想，解题时注意不要漏解．
14．【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，解不等式即可得答案．
【解答】解：去分母，得2x﹣m﹣（x﹣3）＝﹣x，
解得：x，
∵关于x的方程的解为正数，
∴x0且x≠3，
∴m＞3且m≠9；
故答案为：m＞3且m≠9．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，解出分式方程，根据解为正数列出不等式是解题关键．
15．【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠BAC与∠B的关系，再根据三角形内角和定理即可求得顶角的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设∠B＝∠C＝x，
∵AB＝BD，AD＝DC，
∴∠BAD＝∠BDA，∠DAC＝∠C，
∴∠ADB＝2∠C，
∴∠BAC＝3x，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BAC＝3x＝108°，
故答案为：108．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．
16．【分析】分别从当∠ABC＝90°，AB＝BC时，当∠BAC＝90°，AB＝AC时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．
【解答】解：如图①，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠CDB＝∠AOB＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠OAB＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝5，CD＝OB＝2，
∴OD＝OB+BD＝7，
∴点C的坐标为（7，2）；
如图②，当∠BAC＝90°，AB＝AC时，
过点C作CD⊥y轴于点D，
同理可证得：△OAB≌△DCA，
∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝5，
∴OA＝OA+AD＝7，
∴点C的坐标为（5，7）；
综上可得：点C的坐标为：（7，2）或（5，7）．
故答案为：（7，2）或（5，7）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三、解答题
17．【分析】（1）首先提取公因式（m﹣n），然后利用平方差公式继续进行因式分解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式把原式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）
＝（m﹣n）（x2﹣y2）
＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；

（2）3x2﹣18xy+27y2
＝3（x2﹣6xy+9y2）
＝3（x﹣3y）2．
【点评】本题考查了完全平方公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．
18．【分析】（1）先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后根据分式的减法法则进行计算即可；
（2）方程两边都乘3（x+1）得出3x＝2x+3（x+1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）原式•


；

（2）1，
1，
方程两边都乘3（x+1），得3x＝2x+3（x+1），
解得：x，
检验：当x时，3（x+1）≠0，
所以x是原方程的解，
即原方程的解是x．
【点评】本题考查了分式的混合运算和解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
19．【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．
【解答】解：（m+2）•，
•，
•，
＝﹣2（m+3）．
把m代入，得
原式＝﹣2×（3）＝﹣5．
【点评】本题考查了分式的化简求值．分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解．
20．【分析】（1）延长BC至B′，使B′C＝BC，在x轴负半轴上截取OA′，使OA′＝OA，然后顺次连接A′B′CO即可，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等写出点B的对应点的坐标；
（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接AB′与y轴的交点即为点P．
【解答】解：（1）四边形OABC关于y轴对称的图形如图所示；
点B的对应点的坐标为（﹣2，3）；

（2）如图所示，点P即为所求．

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质找出对应点的位置是解题的关键．
21．【分析】根据平行线性质求出∠M＝∠CNE，根据AAS推出△BME≌△CNE即可．
【解答】解：结论：点E是线段BC的中点，
理由：∵BM∥CN，
∴∠M＝∠CNE，
在△BME和△CNE中，
，
∴△BME≌△CNE（AAS），
∴BE＝CE，
即E为BC中点．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了平行线的性质．
22．【分析】先根据条件得出∠ACD＝∠BDE，BD＝AC，再根据ASA判定△ADC≌△BED，即可得到CD＝DE．
【解答】证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵AC＝BC BC＝BD，
∴AC＝BD，
∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDE+∠BDE，∠CDE＝∠A，
∴∠ACD＝∠BDE，
在△ACD与△BDE中，
，
∴△ACD≌△BDE（ASA），
∴CD＝DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．【分析】（1）设乙每天加工数量是x个零件，根据题意列出分式方程，求解并检验即可；
（2）设甲加工x天，乙加工y天，根据题意得出方程及不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设乙每天加工数量是x个零件，根据题意得，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，
∴1.5x＝1.5×60＝90，
∴甲每天加工90个零件，乙每天加工60个零件；
（2）设甲加工x天，乙加工y天，根据题意得：
，
由①得y＝50﹣1.5x③，
将③代入②中得x≥20，
当x＝20时，y＝20，符合实际意义，
∴甲至少加工了20天．
【点评】本题主要考查分式方程及不等式，正确读懂题意列出方程及不等式是关键．
24．【分析】（1）首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，再证明BD＝CD，∠DCF＝∠A，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，继而可得出结论．
（2）根据全等可得S△AED＝S△CFD，进而得到S四边形CEDF＝S△ADC，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．
【解答】证明：（1）如图，连接CD．

∵AB＝AC，∠BCA＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠A＝∠B＝45°，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∴∠DCF＝45°，
在△ADE和△CFD中，，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠CDF+∠EDC＝∠EDF＝90°，即DE⊥DF．
（2）∵△ADE≌△CFD，
∴S△AED＝S△CFD，
∴S四边形CEDF＝S△ADC，
∵D是AB的中点，
∴S△ACDS△ACB2×2＝1．
∴S四边形CEDF＝1．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．
25．【分析】（1）如图，连接OP、OM、ON，根据轴对称的性质可得△OMP和△EMP都是等腰三角形，且∠MOA＝∠AOP，进而可根据等腰三角形的性质得∠OME＝∠OPE，同理可得∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，于是可推得∠MON＝2∠AOB，∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案；
（2）①根据轴对称的性质可推出MN＝△PEF的周长，进而可得结果；
②易得△OMN是等腰直角三角形，且OM＝ON＝OP＝x，从而可根据勾股定理求出MN，而由轴对称的性质可知MN即为△PEF的周长的最小值，于是可得结果．
【解答】解：（1）如图，连接OP、OM、ON．
∵M是点P关于AO的对称点，
∴OP＝OM，ME＝PE，∠MOA＝∠AOP，
∴∠OMP＝∠OPM，∠EMP＝∠EPM，
∴∠OME＝∠OPE，
同理可得：OP＝ON，∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，
∴OM＝ON，∠MON＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α°；
∴∠OMN+∠ONM＝180°﹣∠MON＝180°﹣2α°，
∴∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM＝180°﹣2α°，
故答案为：2α°，180°﹣2α°；

（2）①∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，
∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，
∵△PEF的周长等于10cm，
∴MN＝10cm；
②∵∠AOB＝45°，OM＝ON＝OP＝x，
∴∠MON＝2∠AOB＝90°，，
∵MN＝△PEF的周长，且△PEF的周长的最小值为MN的长，
∴△PEF的周长的最小值是cm．
【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
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