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北师大版八年级上册3 勾股定理的应用课后复习题
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这是一份北师大版八年级上册3 勾股定理的应用课后复习题，共50页。试卷主要包含了应用勾股定理解决旗杆高度，应用勾股定理解决小鸟飞行的距离，应用勾股定理解决航海问题，应用勾股定理解决河的宽度，应用勾股定理解决台阶上地毯问题等内容，欢迎下载使用。
专题1.6 勾股定理的应用（专项练习）
一、 单选题
知识点一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
2．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米。则梯子顶端A沿墙下移了（）米.
A．1.4 B．1.2 C．1.3 D．1.5
3．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（ ）
A．x2+52 ＝（x+1）2 B．x2+52 ＝（x﹣1）2
C．x2+（x+1）2 ＝102 D．x2+（x﹣1）2＝52
知识点二、应用勾股定理解决旗杆高度
4．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22
5．小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．16m B．20m C．24m D．28m
6．丽丽想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．12米
知识点三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
7．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（ ）
A．13米 B．12米 C．5米 D．米
9．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高5米，两树相距12米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．13米 D．14米
知识点四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
10．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
11．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1长=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则树高为（ ）．
A． B． C． D．
知识点五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
13．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．翻译成数学问题是：如图，有一个水池，水面是边长为 10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )
A．10 尺 B．11 尺 C．12 尺 D．13 尺
知识点六、应用勾股定理解决航海问题
16．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（ ）千米．
A．26 B．18 C．13 D．32
17．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．90°
18．某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿( )方向航行．
A． 西南 B．东北 C．西北 D．东南
知识点七、应用勾股定理解决河的宽度
19．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )
A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m
20．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得，又量得，，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．10m B． C．12m D．13m
21．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝50 m，AC＝30 m，则A、B两点间的距离是( )
A．20m B．40m C．20m D．50 m
知识点八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
22．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）
A．21 B． C． D．
23．如图，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少是（ ）
A．4米 B．5米 C．7米 D．10米
24．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm
二、 填空题
知识点一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
25．如图，一架10米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时为8米，如果梯子的底端外移2米到了处，则梯顶下滑的距离为_________米．
26． 如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了______米．
27．《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高一丈.依木于垣，上于垣齐.引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意即：一道墙高一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长______尺(1丈=10尺).
知识点二、应用勾股定理解决旗杆高度
28．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度______．
29．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．
30． 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多出，当它把绳子的下端拉开旗杆后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为________
知识点三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
31．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．
32．如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行__________米.
33．如图所示，一只小鸟在一棵高20米的大树树梢上觅食，它的伙伴在离该树12米，高4米的一棵小树树梢上发出叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向它的伙伴，那么这只水上鸟________秒后能与它的伙伴在一起.
知识点四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
34．东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：如图所示一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少？_____．
35．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为__________．（1丈=10尺，1尺=10寸）
36． 有一棵9米高的大树，如果大树距离地面4米处这段（没有断开），则小孩至少离开大树__________米之处才是安全的．
知识点五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
37．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺．
38．如图，一根长的吸管置于底面直径为高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是___________．
39．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为_____cm．
知识点六、应用勾股定理解决航海问题
40．如图，某海关缉私艇在点0处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里∕时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里∕时的速度准备在B处迎头拦截．经过_________小时能赶上。
41．如图， 有三条两两相交的公路，从地测得公路的走向是北偏东48°，从地测得公路的走向是北偏西42°，若、、的长分别为12千米，5千米、13千米。如果点是公路上任意一点，则线段的最小值为________________.
42．如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile，“长峰”号每小时航行16n mile，它们离开港东口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20n mile，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是________.
知识点七、应用勾股定理解决河的宽度
43．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为_____．
44．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为_____米．
45．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC =25m，AC=15m，则A，B两点间的距离是____m．
知识点八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
46．如图所示，在一个高为6米，长为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺地毯.若每平方米地毯50元铺满整个楼梯至少需_________元.
47．如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是______________cm.
48．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为_____cm．
49．如图，有一个三级台阶，它的每一级的长， 宽和高分别是，，，点和点是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到点的最短路程是____．
三、 解答题
知识点一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
50．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．
知识点二、应用勾股定理解决旗杆高度
51．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少?
知识点三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
52．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题:小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵棕榈树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺;两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标.问:这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远?
知识点四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
53．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则等于多少尺？
54．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”
知识点六、应用勾股定理解决航海问题
55．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东40°方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里（即RQ=30）.解答下列问题:
（1）求PR、PQ的值；
（2）求“海天”号航行的方向.(即求北偏西多少度？)
56．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后，分别位于点Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，请求出“海天”号的航行方向？
知识点九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
57．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米．
（1）求BC间的距离；
（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
58．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
知识点十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
59．重庆八中渝北校区前的同茂大道的路有一座小山，因工程开发需要爆破．小山北偏东方向，距小山米的处是同茂大道中央公园东公交站；小山北偏西方向，距小山米的处是同茂大道上麗山公交站．
（1）爆破时，在爆破点周围米范围有危险请问，为了安全，在爆破小山时需不需要暂时封闭同茂大道？请通过计算说明理由；
（2）点是同茂大道上一点（点不与点重合），，区域是规划中的公园，问：这个公园占地多少平方米？
知识点十一、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
60．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
61．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
62．如图，在笔直的铁路上两点相距，为两村庄，，，于，于．现要在上建一个中转站，使得，两村到站的距离相等，求的长．
参考答案
1．C
【分析】
如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．
【详解】
解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，
∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+0.72＝6.25，
∴BD2＝5.76，
∵BD＞0，
∴BD＝2.4米，
∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．C
【分析】
要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【详解】
在Rt△ACB中, ，
∴AC=2，
∵BD=0.9，
∴CD=2.4.
在Rt△ECD中, ，
∴EC=0.7，
∴AE=AC−EC=2−0.7=1.3.
故选C.
【点拨】此题考查勾股定理的运用，解题关键在于掌握勾股定理结合实际的实际运用.
3．A
【分析】
首先根据图形将题目中的数字对应起来，再根据题意设出未知数，用勾股定理求解即可.
【详解】
解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
则x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺，
故选A．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程，将其化简成一元一次方程.
4．A
【分析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
5．C
【分析】
根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】
解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC=10米，
由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
∴x2+102=（x+2）2，
解得：x=24，
∴AB=24．
∴旗杆的高24米，
故选：C．
【点拨】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理列出方程．
6．B
【分析】
据题意设出旗杆的高，表示绳子的长，再利用勾股定理即可求得绳子的长，即旗杆的高
【详解】
解：设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．
根据题意得：
x2+62=（x+2）2，
解得x=8，
∴绳长为x+2=8+2=10．
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用的知识，根据题意应用勾股定理构造方程是解答关键．
7．C
【分析】
此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．
【详解】
解：如图所示，
AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，过D作DE⊥AB于E，
则DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，
在Rt△ADE中，AD＝5m．
故选：C．
【点拨】能够正确理解题意，准确画出图形，熟练运用勾股定理即可．
8．A
【分析】
根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.
【详解】
如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E,
∵AB=13，CD=8，
又∵BE=CD，DE=BC，
∴AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5,
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,
∴
∴AD=13（负值舍去）,
故小鸟飞行的最短路程为13m,
故选A.
【点拨】考查勾股定理，画出示意图，数形结合是解题的关键.
9．C
【详解】
根据题意，可得图形如下图，因此可构成直角三角形，因此可得.
故选C
10．B
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
11．C
【分析】
根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【详解】
解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
12．D
【分析】
根据题意画出三角形，用勾股定理求出BC的长，树高就是AC+BC的长．
【详解】
解：根据题意，如图，画出一个三角形ABC，AC=6m，AB=8m，
∵，
∴，
∴，
树高=．
故选：D．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解三角形的方法．
13．A
【分析】
首先设水深为尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程．
【详解】
解：设水深为尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：,
，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
14．A
【分析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
15．D
【分析】
找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x＋1）尺，
根据勾股定理得：x2＋（）2＝（x＋1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x＋1＝12＋1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：D．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
16．A
【分析】
根据题意可知两次航向的方向构成了直角．然后根据题意知两次航行的路程即是两条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长．
【详解】
解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，
∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，
根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，
∴AC2＝242＋102，
∴AC＝26km．
故选：A．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键．
17．C
【分析】
求出，根据勾股定理的逆定理得出，根据平角定义求出即可．
【详解】
解：海里，海里，海里，
，
，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出是解此题的关键．
18．C
【分析】
根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而进行分析求解．
【详解】
解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30(海里)．
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠1=45°，则∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行．
故选：C．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．
19．C
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，
∴AB2=AC2-BC2，
=1602-1282=9216，
∴AB=96（m），
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
20．C
【分析】
根据勾股定理计算直角三角形的直角边即可．
【详解】
解：，，，
，
故选：C．
【点拨】此题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理，熟记9，15，12勾股数．
21．B
【分析】
在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
【详解】
∵CB=50m，AC=30m，AC⊥AB，
∴AB=40m，
故选B
【点拨】考查的是勾股定理的应用，解题的关键是正确的从实际问题中发现直角三角形并对应好直角边和斜边．
22．B
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】
如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：=+=，
解得：．
故选：B．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
23．C
【分析】
利用勾股定理求解出水平的那条直角边为4米，地毯所用的长度平移到两直角边上刚好是两直角边的长度，所以直接把两直角边的长度加起来就是地毯的长度.
【详解】
解：楼梯长为5米，高为3米，由勾股定理可知，其水平宽为4米．因为地毯铺满楼梯应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，所以地毯的长度至少是3+4=7（米）．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是对图像的观察以及勾股定理，如果我们直接求解地毯的长度难度比较大，所以需要把地毯长度平移到两直角边上即可求解.
24．B
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】
三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故选B．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
25．2
【分析】
根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．
【详解】
解：在中，米，米，
由勾股定理得：，
∵外移2米，则米，米，
由勾股定理得：米，
米，
下滑为2米；
故答案为：2.
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，注意梯子的长度不变进而求出是解题关键．
26．1.3
【分析】
分别在两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即得．
【详解】
解：由题意得：米，米
∴在中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
∴AC=2米，
∵BD=0.9米，
∴CD=2.4米．
∵
∴在中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，
∴EC=0.7米，
∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3米．
故答案为：1.3．
【点拨】考查了勾股定理的应用，抓住梯子的长度不变并应用勾股定理计算是解题关键．
27．14.5
【分析】
如图，若设木棒AB长为x尺，则BC的长是（x－4）尺，而AC=1丈=10尺，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：如图所示，设木棒AB长为x尺，则木棒底端B离墙的距离即BC的长是（x－4）尺，
在直角△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴，解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
28．12米
【分析】
设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．
【详解】
解：设旗杆的高度为米，根据题意可得：
，
解得：，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12米．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
29．15米
【分析】
根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．
【详解】
设BD=米，则AD=（）米，CD=（）米，
∵，
∴，
解得．
即树的高度是10+5=15米．
故答案为：15米．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．
30．
【分析】
根据题意画出示意图，利用勾股定理可求出旗杆的高．
【详解】
解：如图所示：
设旗杆米，则米，
在中，，即，
解得：．
旗杆的高为7.5米
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是画出示意图，熟练运用勾股定理．
31．5m
【分析】
由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．
故答案为：5m．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
32．10
【分析】
从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．
在Rt△BDE中，DE＝8米，BE＝8−2＝6米．
根据勾股定理得BD＝10米．
故填：10.
【点拨】注意作辅助线构造直角三角形，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
33．5
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，只需求得AB的长．根据已知条件，得BC=12，AC=20-4=16，再根据勾股定理就可求解．
【详解】
如图所示，根据题意，得
AC=20−4=16，BC=12.
根据勾股定理，得
AB=20.
则小鸟所用的时间是20÷4=5(s).
【点拨】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于画出图形，只需求得AB的长．
34．4.2尺．
【分析】
根据题意画出图形，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
解：如图所示：
由题意得：∠AOB＝90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
即：折断后的竹子高度OA为4.2尺．
故答案为：4.2尺．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，理解勾股定理，准确画出示意图以及表示出各边长是解题关键．
35．
【分析】
设长方形门的宽尺，则高是（）尺，根据勾股定理即可列得方程．
【详解】
设长方形门的宽尺，则高是（）尺，
根据题意得，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．
36．3
【分析】
根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．
【详解】
在Rt△ABC中，AB为斜边，
已知AC＝4米，AC＋AB＝9m，
则AB2＝BC2＋AC2，
即（9−4）2＝42＋BC2，
解得：BC＝3．
故小孩至少离开大树3米之外才是安全的．
故答案为：3．
【点拨】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．
37．13
【分析】
设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】
解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
38．5
【分析】
当杯子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的吸管与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出吸管在水杯中的长度，吸管总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．
【详解】
设杯子底面直径为a，高为b，吸管在杯中的长度为c，
根据勾股定理，得：c2＝a2＋b2，
解得：c＝15，
∴吸管露在外面最短为20－15＝5（cm），
故答案为：5．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用，牢记公式稍加分析即可．
39．2
【分析】
吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可构造直角三角形用勾股定理解答．
【详解】
解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x2＝32+42，
解得：x＝5，
所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，
故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，并在实际问题中构造直角三角形是解答的关键.
40．
【分析】
设经过x小时能赶上，表示未知量，在Rt△ABO中，根据勾股定理方程问题可解．
【详解】
解：设经过x小时能赶上，则OB=75x，则AB=60x，
在Rt△ABO中，OB为斜边，
则OB2=OA2+AB2，
（75x）2=302+（60x）2，
解得：x=，
故经过时间为小时．
故答案为小时．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解答关键是应用勾股定理构造方程求解．
41．
【解析】
【分析】
过B作BD⊥AC于D，依据∠ABC=90°，可得Rt△ABC中， AB×BC=×AC×BD，进而得出BD=，代入数值求解即可．
【详解】
如图，过B作BD⊥AC于D，
由题可得，AE∥BF，∠BAE=48°，∠CBF=42°，
∴∠ABC=180°-48°-42°=90°，
∴Rt△ABC中，AB×BC=×AC×BD，
∴BD==，
即线段BP的最小值为，
故答案为：．
【点拨】此题是一道方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
42．南偏东30°
【分析】
直接得出AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案.
【详解】
如图，
由题意可得：AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile，
∵122+162=202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB=90°，
∵“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，
∴∠BPQ=30°，
∴“长峰”号沿南偏东30°方向航行；
故答案为南偏东30°.
【点拨】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．
43．400m
【分析】
根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边AB的距离
【详解】
解：根据题意可知AC=500m，BC=300m，
由勾股定理得AC2=AB2+BC2，
即5002=3002+AB2，解得AB=400．
答：该河的宽度AB为400米．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
44．75
【分析】
设BC=xm，由题意得AB=40m,AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可．
【详解】
解：设BC=x，由题意得AB=40m,AC=x+10
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75．
故答案为75．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键．
45．20
【分析】
在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
【详解】
解：，，，
，
即，两点间的距离是．
故答案为：20．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
46．1750
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高=6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．
【详解】
在中根据勾股定理
,
∴AB=8
∴AB+BC=14(米)，
∴14×2.5×50=1750(元).
答：铺设地毯至少需要花费1750元.
【点拨】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，本题解题的关键在于根据平移的性质得出楼梯表面的长度之和等于AB+BC.
47．130
【分析】
只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】
将台阶展开，如图：
因为BC=30×3+10×3=120，AC=50，
所以AB2=AC2+BC2=16900，
所以AB=130（cm），
所以壁虎爬行的最短线路为130cm．
故答案是：130．
【点拨】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．
48．180
【分析】
将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC的长可求出，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度．
【详解】
解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可，
在Rt△ABC中，
∵AB=36，BC==27cm，
∴AC2=AB2+BC2=362+272，
∴AC=45cm，
∴应裁剪油纸的最短=45×4=180(cm)．
故答案为：180．
【点拨】本题主要考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是本题的解题关键
49．20
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为16，宽为（3+1）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=162+[（3+1）×3]2=400，
解得x=20.
【点拨】本题主要考查了平面展开—最短路径问题以及勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
50．2.2米
【分析】
先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
【详解】
解：在中，，米，米，
．
在△中，，米，，
，
，
，
米，
米，
答：小巷的宽度为2.2米．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
51．101寸
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r寸，
则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，
∴AE=（r1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，
解得：r=50.5，
∴2r=101（寸），
∴AB=101寸．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
52．20．
【详解】
试题分析：根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．
试题解析：画图解决，通过建模把距离转化为线段的长度．
由题意得：AB=20，DC=30，BC=50，设EC为x肘尺，BE为（50﹣x）肘尺，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，，，
又∵AE=DE，∴，解得：，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺．
考点：勾股定理的应用．
53．4尺．
【分析】
设尺，从而可得尺，再在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
设尺，则尺，
由题意得：，
则是直角三角形，
由勾股定理得：，即，
解得，
即尺，
答：等于4尺．
【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
54．尺
【分析】
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．
【详解】
解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：
x2=102+（x-4）2，
解得：x=，
∴秋千的绳索长为尺．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
55．（1）18海里、24海里；（2）北偏西
【分析】
（1）根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长；
（2）再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
【详解】
（1）PR的长度为:12×1.5=18海里，
PQ的长度为:16×1.5=24海里；
（2）∵
∴，
∵“远航”号向北偏东方向航行，即，
∴，即 “海天”号向北偏西方向航行．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用和方位角的相关计算，解题的重点是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形.
56．“海天”号的航行方向是沿北偏西方向航行
【分析】
直接得出RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案.
【详解】
由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，
∵182+242=302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ=90°，
∵“远航”号沿北偏东60°方向航行，
∴∠RPN=30°，
∴“海天”号沿北偏西30°方向航行.
【点拨】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．
57．（1）120米；（2）超速，理由见解析
【分析】
（1）根据勾股定理求出BC的长；
（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，
∵AC=50m，AB=130m，且AB为斜边，
根据勾股定理得：BC=120（m）；
（2）这辆小汽车超速了．
理由：∵120÷6=20（m/s），平均速度为：20m/s，
20m/s=72km/h，
72＞70，
∴这辆小汽车超速了．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．
58．没有危险，不需要暂时封锁
【分析】
过C作CD⊥AB于D．根据CA⊥CB，得出∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=1300米．利用S△ABC=AB•CD=BC•AC得到CD=米．再根据米＞400米可以判断没有危险．
【详解】
解：公路AB段没有危险，不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
因为BC=1200米，AC=500米，
所以，根据勾股定理有AB==1300米，
因为S△ABC=AB•CD=BC•AC，
所以CD===米，
由于400米＜米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．
59．（1）见解析；（2）67200平方米．
【分析】
（1）由题意得到∠CAK=74°，∠BAK=16°，AB=600，AC=800，求得∠CAB=90°，BC=1000米，过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积列方程即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BH=360，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）在爆破小山时需不需要暂时封闭同茂大道BC；
理由：由题意得，∠CAK=74°，∠BAK=16°，AB=600，AC=800，
∴∠CAB=90°，BC=1000米，
过A作AH⊥BC于H，
∴S△ABC=BC•AH=AC•AB，
∴AH==480米＞400米，
∴在爆破小山时需不需要暂时封闭同茂大道BC；
（2）∵AD=AB，AH⊥BD，
∴BH=360，
∴CD=1000-2×360=280，
∴S△ACD=×280×480=67200m2，
答：这个公园占地67200平方米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
60．（1）米；（2）见解析，米
【分析】
（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
61．13.3km
【分析】
设AE=xkm，则BE=（20-x）km，利用DE=CE，再结合勾股定理求出即可．
【详解】
设AE=xkm，则BE=（20-x）km，
∵DE=CE，DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD2+AE2=BE2+BC2，即82+x2=（20-x）2+142，
解得：x=13.3．
答：AE的长为13.3km．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
62．
【分析】
先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案．
【详解】
解：设，则，
由勾股定理得：
在中，，
在中，，
由题意可知：，
所以，
解得：
即的长为．
【点拨】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识．
专题1.6 勾股定理的应用（专项练习）
一、 单选题
知识点一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
2．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米。则梯子顶端A沿墙下移了（）米.
A．1.4 B．1.2 C．1.3 D．1.5
3．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（ ）
A．x2+52 ＝（x+1）2 B．x2+52 ＝（x﹣1）2
C．x2+（x+1）2 ＝102 D．x2+（x﹣1）2＝52
知识点二、应用勾股定理解决旗杆高度
4．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22
5．小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．16m B．20m C．24m D．28m
6．丽丽想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．12米
知识点三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
7．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（ ）
A．13米 B．12米 C．5米 D．米
9．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高5米，两树相距12米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．13米 D．14米
知识点四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
10．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
11．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1长=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则树高为（ ）．
A． B． C． D．
知识点五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
13．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．翻译成数学问题是：如图，有一个水池，水面是边长为 10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )
A．10 尺 B．11 尺 C．12 尺 D．13 尺
知识点六、应用勾股定理解决航海问题
16．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（ ）千米．
A．26 B．18 C．13 D．32
17．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．90°
18．某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿( )方向航行．
A． 西南 B．东北 C．西北 D．东南
知识点七、应用勾股定理解决河的宽度
19．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )
A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m
20．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得，又量得，，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．10m B． C．12m D．13m
21．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝50 m，AC＝30 m，则A、B两点间的距离是( )
A．20m B．40m C．20m D．50 m
知识点八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
22．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）
A．21 B． C． D．
23．如图，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少是（ ）
A．4米 B．5米 C．7米 D．10米
24．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm
二、 填空题
知识点一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
25．如图，一架10米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时为8米，如果梯子的底端外移2米到了处，则梯顶下滑的距离为_________米．
26． 如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了______米．
27．《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高一丈.依木于垣，上于垣齐.引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意即：一道墙高一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长______尺(1丈=10尺).
知识点二、应用勾股定理解决旗杆高度
28．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度______．
29．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．
30． 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多出，当它把绳子的下端拉开旗杆后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为________
知识点三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
31．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．
32．如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行__________米.
33．如图所示，一只小鸟在一棵高20米的大树树梢上觅食，它的伙伴在离该树12米，高4米的一棵小树树梢上发出叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向它的伙伴，那么这只水上鸟________秒后能与它的伙伴在一起.
知识点四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
34．东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：如图所示一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少？_____．
35．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为__________．（1丈=10尺，1尺=10寸）
36． 有一棵9米高的大树，如果大树距离地面4米处这段（没有断开），则小孩至少离开大树__________米之处才是安全的．
知识点五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
37．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺．
38．如图，一根长的吸管置于底面直径为高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是___________．
39．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为_____cm．
知识点六、应用勾股定理解决航海问题
40．如图，某海关缉私艇在点0处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里∕时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里∕时的速度准备在B处迎头拦截．经过_________小时能赶上。
41．如图， 有三条两两相交的公路，从地测得公路的走向是北偏东48°，从地测得公路的走向是北偏西42°，若、、的长分别为12千米，5千米、13千米。如果点是公路上任意一点，则线段的最小值为________________.
42．如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile，“长峰”号每小时航行16n mile，它们离开港东口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20n mile，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是________.
知识点七、应用勾股定理解决河的宽度
43．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为_____．
44．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为_____米．
45．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC =25m，AC=15m，则A，B两点间的距离是____m．
知识点八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
46．如图所示，在一个高为6米，长为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺地毯.若每平方米地毯50元铺满整个楼梯至少需_________元.
47．如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是______________cm.
48．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为_____cm．
49．如图，有一个三级台阶，它的每一级的长， 宽和高分别是，，，点和点是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到点的最短路程是____．
三、 解答题
知识点一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
50．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．
知识点二、应用勾股定理解决旗杆高度
51．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少?
知识点三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
52．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题:小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵棕榈树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺;两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标.问:这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远?
知识点四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
53．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则等于多少尺？
54．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”
知识点六、应用勾股定理解决航海问题
55．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东40°方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里（即RQ=30）.解答下列问题:
（1）求PR、PQ的值；
（2）求“海天”号航行的方向.(即求北偏西多少度？)
56．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后，分别位于点Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，请求出“海天”号的航行方向？
知识点九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
57．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米．
（1）求BC间的距离；
（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
58．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
知识点十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
59．重庆八中渝北校区前的同茂大道的路有一座小山，因工程开发需要爆破．小山北偏东方向，距小山米的处是同茂大道中央公园东公交站；小山北偏西方向，距小山米的处是同茂大道上麗山公交站．
（1）爆破时，在爆破点周围米范围有危险请问，为了安全，在爆破小山时需不需要暂时封闭同茂大道？请通过计算说明理由；
（2）点是同茂大道上一点（点不与点重合），，区域是规划中的公园，问：这个公园占地多少平方米？
知识点十一、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
60．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
61．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
62．如图，在笔直的铁路上两点相距，为两村庄，，，于，于．现要在上建一个中转站，使得，两村到站的距离相等，求的长．
参考答案
1．C
【分析】
如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．
【详解】
解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，
∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+0.72＝6.25，
∴BD2＝5.76，
∵BD＞0，
∴BD＝2.4米，
∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．C
【分析】
要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【详解】
在Rt△ACB中, ，
∴AC=2，
∵BD=0.9，
∴CD=2.4.
在Rt△ECD中, ，
∴EC=0.7，
∴AE=AC−EC=2−0.7=1.3.
故选C.
【点拨】此题考查勾股定理的运用，解题关键在于掌握勾股定理结合实际的实际运用.
3．A
【分析】
首先根据图形将题目中的数字对应起来，再根据题意设出未知数，用勾股定理求解即可.
【详解】
解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
则x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺，
故选A．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程，将其化简成一元一次方程.
4．A
【分析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
5．C
【分析】
根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】
解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC=10米，
由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
∴x2+102=（x+2）2，
解得：x=24，
∴AB=24．
∴旗杆的高24米，
故选：C．
【点拨】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理列出方程．
6．B
【分析】
据题意设出旗杆的高，表示绳子的长，再利用勾股定理即可求得绳子的长，即旗杆的高
【详解】
解：设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．
根据题意得：
x2+62=（x+2）2，
解得x=8，
∴绳长为x+2=8+2=10．
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用的知识，根据题意应用勾股定理构造方程是解答关键．
7．C
【分析】
此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．
【详解】
解：如图所示，
AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，过D作DE⊥AB于E，
则DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，
在Rt△ADE中，AD＝5m．
故选：C．
【点拨】能够正确理解题意，准确画出图形，熟练运用勾股定理即可．
8．A
【分析】
根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.
【详解】
如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E,
∵AB=13，CD=8，
又∵BE=CD，DE=BC，
∴AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5,
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,
∴
∴AD=13（负值舍去）,
故小鸟飞行的最短路程为13m,
故选A.
【点拨】考查勾股定理，画出示意图，数形结合是解题的关键.
9．C
【详解】
根据题意，可得图形如下图，因此可构成直角三角形，因此可得.
故选C
10．B
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
11．C
【分析】
根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【详解】
解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
12．D
【分析】
根据题意画出三角形，用勾股定理求出BC的长，树高就是AC+BC的长．
【详解】
解：根据题意，如图，画出一个三角形ABC，AC=6m，AB=8m，
∵，
∴，
∴，
树高=．
故选：D．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解三角形的方法．
13．A
【分析】
首先设水深为尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程．
【详解】
解：设水深为尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：,
，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
14．A
【分析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
15．D
【分析】
找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x＋1）尺，
根据勾股定理得：x2＋（）2＝（x＋1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x＋1＝12＋1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：D．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
16．A
【分析】
根据题意可知两次航向的方向构成了直角．然后根据题意知两次航行的路程即是两条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长．
【详解】
解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，
∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，
根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，
∴AC2＝242＋102，
∴AC＝26km．
故选：A．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键．
17．C
【分析】
求出，根据勾股定理的逆定理得出，根据平角定义求出即可．
【详解】
解：海里，海里，海里，
，
，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出是解此题的关键．
18．C
【分析】
根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而进行分析求解．
【详解】
解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30(海里)．
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠1=45°，则∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行．
故选：C．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．
19．C
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，
∴AB2=AC2-BC2，
=1602-1282=9216，
∴AB=96（m），
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
20．C
【分析】
根据勾股定理计算直角三角形的直角边即可．
【详解】
解：，，，
，
故选：C．
【点拨】此题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理，熟记9，15，12勾股数．
21．B
【分析】
在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
【详解】
∵CB=50m，AC=30m，AC⊥AB，
∴AB=40m，
故选B
【点拨】考查的是勾股定理的应用，解题的关键是正确的从实际问题中发现直角三角形并对应好直角边和斜边．
22．B
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】
如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：=+=，
解得：．
故选：B．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
23．C
【分析】
利用勾股定理求解出水平的那条直角边为4米，地毯所用的长度平移到两直角边上刚好是两直角边的长度，所以直接把两直角边的长度加起来就是地毯的长度.
【详解】
解：楼梯长为5米，高为3米，由勾股定理可知，其水平宽为4米．因为地毯铺满楼梯应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，所以地毯的长度至少是3+4=7（米）．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是对图像的观察以及勾股定理，如果我们直接求解地毯的长度难度比较大，所以需要把地毯长度平移到两直角边上即可求解.
24．B
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】
三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故选B．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
25．2
【分析】
根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．
【详解】
解：在中，米，米，
由勾股定理得：，
∵外移2米，则米，米，
由勾股定理得：米，
米，
下滑为2米；
故答案为：2.
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，注意梯子的长度不变进而求出是解题关键．
26．1.3
【分析】
分别在两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即得．
【详解】
解：由题意得：米，米
∴在中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
∴AC=2米，
∵BD=0.9米，
∴CD=2.4米．
∵
∴在中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，
∴EC=0.7米，
∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3米．
故答案为：1.3．
【点拨】考查了勾股定理的应用，抓住梯子的长度不变并应用勾股定理计算是解题关键．
27．14.5
【分析】
如图，若设木棒AB长为x尺，则BC的长是（x－4）尺，而AC=1丈=10尺，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：如图所示，设木棒AB长为x尺，则木棒底端B离墙的距离即BC的长是（x－4）尺，
在直角△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴，解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
28．12米
【分析】
设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．
【详解】
解：设旗杆的高度为米，根据题意可得：
，
解得：，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12米．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
29．15米
【分析】
根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．
【详解】
设BD=米，则AD=（）米，CD=（）米，
∵，
∴，
解得．
即树的高度是10+5=15米．
故答案为：15米．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．
30．
【分析】
根据题意画出示意图，利用勾股定理可求出旗杆的高．
【详解】
解：如图所示：
设旗杆米，则米，
在中，，即，
解得：．
旗杆的高为7.5米
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是画出示意图，熟练运用勾股定理．
31．5m
【分析】
由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．
故答案为：5m．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
32．10
【分析】
从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．
在Rt△BDE中，DE＝8米，BE＝8−2＝6米．
根据勾股定理得BD＝10米．
故填：10.
【点拨】注意作辅助线构造直角三角形，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
33．5
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，只需求得AB的长．根据已知条件，得BC=12，AC=20-4=16，再根据勾股定理就可求解．
【详解】
如图所示，根据题意，得
AC=20−4=16，BC=12.
根据勾股定理，得
AB=20.
则小鸟所用的时间是20÷4=5(s).
【点拨】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于画出图形，只需求得AB的长．
34．4.2尺．
【分析】
根据题意画出图形，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
解：如图所示：
由题意得：∠AOB＝90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
即：折断后的竹子高度OA为4.2尺．
故答案为：4.2尺．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，理解勾股定理，准确画出示意图以及表示出各边长是解题关键．
35．
【分析】
设长方形门的宽尺，则高是（）尺，根据勾股定理即可列得方程．
【详解】
设长方形门的宽尺，则高是（）尺，
根据题意得，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．
36．3
【分析】
根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．
【详解】
在Rt△ABC中，AB为斜边，
已知AC＝4米，AC＋AB＝9m，
则AB2＝BC2＋AC2，
即（9−4）2＝42＋BC2，
解得：BC＝3．
故小孩至少离开大树3米之外才是安全的．
故答案为：3．
【点拨】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．
37．13
【分析】
设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】
解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
38．5
【分析】
当杯子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的吸管与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出吸管在水杯中的长度，吸管总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．
【详解】
设杯子底面直径为a，高为b，吸管在杯中的长度为c，
根据勾股定理，得：c2＝a2＋b2，
解得：c＝15，
∴吸管露在外面最短为20－15＝5（cm），
故答案为：5．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用，牢记公式稍加分析即可．
39．2
【分析】
吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可构造直角三角形用勾股定理解答．
【详解】
解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x2＝32+42，
解得：x＝5，
所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，
故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，并在实际问题中构造直角三角形是解答的关键.
40．
【分析】
设经过x小时能赶上，表示未知量，在Rt△ABO中，根据勾股定理方程问题可解．
【详解】
解：设经过x小时能赶上，则OB=75x，则AB=60x，
在Rt△ABO中，OB为斜边，
则OB2=OA2+AB2，
（75x）2=302+（60x）2，
解得：x=，
故经过时间为小时．
故答案为小时．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解答关键是应用勾股定理构造方程求解．
41．
【解析】
【分析】
过B作BD⊥AC于D，依据∠ABC=90°，可得Rt△ABC中， AB×BC=×AC×BD，进而得出BD=，代入数值求解即可．
【详解】
如图，过B作BD⊥AC于D，
由题可得，AE∥BF，∠BAE=48°，∠CBF=42°，
∴∠ABC=180°-48°-42°=90°，
∴Rt△ABC中，AB×BC=×AC×BD，
∴BD==，
即线段BP的最小值为，
故答案为：．
【点拨】此题是一道方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
42．南偏东30°
【分析】
直接得出AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案.
【详解】
如图，
由题意可得：AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile，
∵122+162=202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB=90°，
∵“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，
∴∠BPQ=30°，
∴“长峰”号沿南偏东30°方向航行；
故答案为南偏东30°.
【点拨】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．
43．400m
【分析】
根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边AB的距离
【详解】
解：根据题意可知AC=500m，BC=300m，
由勾股定理得AC2=AB2+BC2，
即5002=3002+AB2，解得AB=400．
答：该河的宽度AB为400米．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
44．75
【分析】
设BC=xm，由题意得AB=40m,AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可．
【详解】
解：设BC=x，由题意得AB=40m,AC=x+10
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75．
故答案为75．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键．
45．20
【分析】
在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
【详解】
解：，，，
，
即，两点间的距离是．
故答案为：20．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
46．1750
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高=6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．
【详解】
在中根据勾股定理
,
∴AB=8
∴AB+BC=14(米)，
∴14×2.5×50=1750(元).
答：铺设地毯至少需要花费1750元.
【点拨】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，本题解题的关键在于根据平移的性质得出楼梯表面的长度之和等于AB+BC.
47．130
【分析】
只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】
将台阶展开，如图：
因为BC=30×3+10×3=120，AC=50，
所以AB2=AC2+BC2=16900，
所以AB=130（cm），
所以壁虎爬行的最短线路为130cm．
故答案是：130．
【点拨】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．
48．180
【分析】
将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC的长可求出，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度．
【详解】
解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可，
在Rt△ABC中，
∵AB=36，BC==27cm，
∴AC2=AB2+BC2=362+272，
∴AC=45cm，
∴应裁剪油纸的最短=45×4=180(cm)．
故答案为：180．
【点拨】本题主要考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是本题的解题关键
49．20
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为16，宽为（3+1）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=162+[（3+1）×3]2=400，
解得x=20.
【点拨】本题主要考查了平面展开—最短路径问题以及勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
50．2.2米
【分析】
先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
【详解】
解：在中，，米，米，
．
在△中，，米，，
，
，
，
米，
米，
答：小巷的宽度为2.2米．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
51．101寸
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r寸，
则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，
∴AE=（r1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，
解得：r=50.5，
∴2r=101（寸），
∴AB=101寸．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
52．20．
【详解】
试题分析：根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．
试题解析：画图解决，通过建模把距离转化为线段的长度．
由题意得：AB=20，DC=30，BC=50，设EC为x肘尺，BE为（50﹣x）肘尺，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，，，
又∵AE=DE，∴，解得：，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺．
考点：勾股定理的应用．
53．4尺．
【分析】
设尺，从而可得尺，再在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
设尺，则尺，
由题意得：，
则是直角三角形，
由勾股定理得：，即，
解得，
即尺，
答：等于4尺．
【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
54．尺
【分析】
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．
【详解】
解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：
x2=102+（x-4）2，
解得：x=，
∴秋千的绳索长为尺．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
55．（1）18海里、24海里；（2）北偏西
【分析】
（1）根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长；
（2）再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
【详解】
（1）PR的长度为:12×1.5=18海里，
PQ的长度为:16×1.5=24海里；
（2）∵
∴，
∵“远航”号向北偏东方向航行，即，
∴，即 “海天”号向北偏西方向航行．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用和方位角的相关计算，解题的重点是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形.
56．“海天”号的航行方向是沿北偏西方向航行
【分析】
直接得出RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案.
【详解】
由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，
∵182+242=302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ=90°，
∵“远航”号沿北偏东60°方向航行，
∴∠RPN=30°，
∴“海天”号沿北偏西30°方向航行.
【点拨】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．
57．（1）120米；（2）超速，理由见解析
【分析】
（1）根据勾股定理求出BC的长；
（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，
∵AC=50m，AB=130m，且AB为斜边，
根据勾股定理得：BC=120（m）；
（2）这辆小汽车超速了．
理由：∵120÷6=20（m/s），平均速度为：20m/s，
20m/s=72km/h，
72＞70，
∴这辆小汽车超速了．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．
58．没有危险，不需要暂时封锁
【分析】
过C作CD⊥AB于D．根据CA⊥CB，得出∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=1300米．利用S△ABC=AB•CD=BC•AC得到CD=米．再根据米＞400米可以判断没有危险．
【详解】
解：公路AB段没有危险，不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
因为BC=1200米，AC=500米，
所以，根据勾股定理有AB==1300米，
因为S△ABC=AB•CD=BC•AC，
所以CD===米，
由于400米＜米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．
59．（1）见解析；（2）67200平方米．
【分析】
（1）由题意得到∠CAK=74°，∠BAK=16°，AB=600，AC=800，求得∠CAB=90°，BC=1000米，过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积列方程即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BH=360，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）在爆破小山时需不需要暂时封闭同茂大道BC；
理由：由题意得，∠CAK=74°，∠BAK=16°，AB=600，AC=800，
∴∠CAB=90°，BC=1000米，
过A作AH⊥BC于H，
∴S△ABC=BC•AH=AC•AB，
∴AH==480米＞400米，
∴在爆破小山时需不需要暂时封闭同茂大道BC；
（2）∵AD=AB，AH⊥BD，
∴BH=360，
∴CD=1000-2×360=280，
∴S△ACD=×280×480=67200m2，
答：这个公园占地67200平方米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
60．（1）米；（2）见解析，米
【分析】
（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
61．13.3km
【分析】
设AE=xkm，则BE=（20-x）km，利用DE=CE，再结合勾股定理求出即可．
【详解】
设AE=xkm，则BE=（20-x）km，
∵DE=CE，DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD2+AE2=BE2+BC2，即82+x2=（20-x）2+142，
解得：x=13.3．
答：AE的长为13.3km．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
62．
【分析】
先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案．
【详解】
解：设，则，
由勾股定理得：
在中，，
在中，，
由题意可知：，
所以，
解得：
即的长为．
【点拨】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识．
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