专题1.8 勾股定理与动点问题（专项练习）

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专题1.8 勾股定理与动点问题（专项练习）
特别提醒：本专题求解过程中个别题型涉及到二次根式内容，建议学习了二次根式后进行学习，或者选择性选题练习。
一、填空题
1．如图，已知∠ABP＝30°，AB＝2 cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP＝_______cm时，△BAP为直角三角形．

2．如图，在矩形ABCD中，，，点E是BC边上的一个动点，将沿DE折叠，使点C落在点C′处，连接、，当为直角三角形时，折痕DE的长为________．

3．如图，已知∠B=45°，AB=2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP=_________cm时，△BAP为直角三角形．

4．如图，在中，，，是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，则的长为______.

5．如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若为直角三角形，则的长为__________

6．如图，已知为等腰直角三角形，，点在上，，为边上的动点，则周长的最小值是________．

7．如图所示，矩形中，，，点E是线段上的一个动点（点E与点A不重合），沿折叠，使点A落在P处，连接，若是直角三角形，则的最小值为________．

8．如图，在矩形中，，点是边上（不与、重合）一个动点，连接，把沿直线折叠，点落在点处，当 为直角三角形时，则 的周长为________．

9．如图，在矩形中，，点E为射线上的一个动点，若与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．

10．如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接．将沿折叠，点的对应点为点．若为直角三角形，则的长为______．

11．如图，在中，，，，点D是AC上一动点，连接BD，将沿BD折叠，点C落在点处，连接，当是直角三角形时，CD的长为________．

12．如图，在中，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交边于点，若为直角三角形，则的长为_____________．

13．如图，矩形中，，点E为上一个动点，把沿折叠，点D的对应点为，连接，当是直角三角形时，的长为________．

14．如图，在矩形中，，点E为边AD上一动点，连接BE，把沿BE折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，AE的长为__________．

15．如图，在矩形中，，点是上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，若是直角三角形，则的长为___________．

16．如图，在中，，，点是线段延长线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为______．

17．如图，在中，，，点P是上的一个动点，连接，点Q在上（不与点B、P重合），连接、，若为直角三角形，则的最小值为________．
　　
18．如图，矩形中，，点为边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，则的长为____．

19．如图，已知∠AON=30°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，OP=_________

20．在矩形中，，，点为线段上一个动点，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为_________．

21．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．

22．如图，在中，，，点是边上的动点，设，当为直角三角形时，的值是__________.

23．如图，长方形中，，，点为射线上的一个动点，若与关于直线对称，若为直角三角形，则的长为______．

24．如图，ABCD是长方形纸片，，，点E是边BC上的动点，将沿直线AE折叠，点B落在点位置，则当恰为直角三角形时，BE的长等于_______．

25．如图，在正方形中，，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，，当的长为______时，是直角三角形．

26．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，与关于直线对称，点是的中点，连接，当是直角三角形时，的长为____．

27．如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，的长为__________．


二、解答题
28．如图，，，，，是直线上一动点，请你探索：当点离点多远时，是一个以为斜边的直角三角形？


参考答案
1．或
【解析】
【分析】
由于直角顶点不能确定，故应分∠APB=90°与∠BAP=90°两种情况进行分类讨论．
【详解】
当∠APB=90°时，
∵∠B=30°，AB=2cm，
∴AP=1 cm，
∴BP===；
当∠BAP=90°时，
∵∠B=30°，AB=2cm，
∴BP=2AP，AP=BP，
∴=
∴= 解得BP=.
故答案为：或.
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理， 含30°角的直角三角形.
2．或
【详解】
∵四边形为矩形，，．
如解图①，当时，则，，
由折叠的性质得，，
，，，，
在中，由勾股定理得，；
如解图②，当时，由折叠的性质得，，
在中，由勾股定理得，，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，，
解得．在中，
由勾股定理得，．
综上所述，当为直角三角形时，折痕的长为或．

【思维教练】
要求折痕DE的长，当为直角三角形时，分和两种情况，利用折叠的性质和勾股定理计算即可．
3．或．
【分析】
分BP为直角边或斜边来讨论，借助勾股定理逐一解析，即可解决问题．
【详解】
解：若BP为三角形的直角边，则AB为该三角形的斜边；
∵∠B＝45°，
∴∠BAP＝90°−45°＝45°，
∴AP＝BP，
设，
由勾股定理得：
，而AB＝2，
∴，
∴，
若BP为斜边，则∠BAP＝90°；
∵∠B＝45°，
∴∠APB＝90°−45°＝45°，
∴∠B＝∠APB，
∴AP＝AB＝2；由勾股定理得：

∴BP＝．
故答案为：或．
【点拨】该题主要考查了等腰三角形的判定、勾股定理等几何知识点的应用问题；借助分类讨论，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理活解答是解题的关键．
4．7或17
【分析】
过点C作CF⊥AB于F，分当点在上时和当点在上时两种情况，分情况进行讨论即可得出答案.
【详解】
过点C作CF⊥AB于F，
∵
∴
在 中，由勾股定理得
①如图1，当点在上时
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.

②如图2，当点在上时
∵，
∴.
∴.
∴.

故答案为7或17
【点拨】本题主要考查勾股定理及轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键.
5．或
【分析】
先依据勾股定理求得的长，有和种情况，然后再利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】
解：由翻折的性质可知：．
在中，，，，
依据勾股定理可得到：．
设，则．
当时，，即，解得：．
当时，，即，解得：．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查的是翻折变换，锐角三角函数的定义，依据锐角三角函数的定义列出关于的方程是解题的关键．
6．12
【详解】
如解图，作点关于的对称点，连接交于，即为所求点，再连接，∵为等腰直角三角形，点关于的对称点为，∴，，∵，，∴，∴，∴周长的最小值为：．

7．
【详解】
根据题意可知，当是直角三角形时，的延长线过，连接，过作的垂线交于点．

沿折叠，使点落在处，
∴，
令，
∴，，
∴，
根据勾股定理可知：．
在中，，
∴，
∴，
∴．
8．或
【分析】
由矩形的性质和折叠的性质可得，分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求的周长．
【详解】
解：∵四边形是矩形，
∴ ，．
∵把沿直线折叠，
∴，，．
若，且，
∴四边形是矩形，且，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴
∴的周长；

若，且
∴，
∴，，三点共线．
在中，，

∴的周长，

故答案为：或．
【点拨】本题主要考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用分类讨论思想是解决问题的关键．
9．1或25
【详解】
如解图①，若点E在线段上，∵与关于直线对称，∴，，∵为直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴点E、C、三点共线，在中，，∴，∴；如解图②，当点E在线段的延长线上，且点C在上时，∵与关于直线对称，∴，在中，，∵，∴，∵，∴在和中，，∴，∴，∴．综上所述，的长是1或25．

10．或7
【分析】
分两种情形：和，分别就这两种情形求解即可．
【详解】
①如图1，当时
根据折叠的性质得：，，
∵
∴，，三点共线
∵D点是BC的中点
∴
∴
∴
∵，
∴
解得
②如图2，当时，
根据折叠的性质得：
∴
∵
∴
∴
∴
③的情形不存在
综上所述，的长为或7

故答案为或7．
【点拨】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，关键是分类讨论．
11．3或
【详解】
在中，．①如解图①，当，由折叠可得，，，∴四边形BCDC′是正方形，∴；②如解图②，当，由折叠可得，，，∴点A、B、三点共线，∴．设，则．在中，即，解得．∴．综上所述，CD的长为3或．

12．或4
【分析】
当△为直角三角形时，需要分类讨论，点，，分别为直角顶点时，画出图形求解即可．
【详解】
解：在中，，，，点是的中点，
，，，
由折叠可知，，
①由点运动可知点不可能是直角顶点；
②如图，当点为直角顶点，即，

，
，，
，，
；
③如图，当点是直角顶点时，即，连接，

由题意可知△，
，
故答案为：或4．
【点拨】本题考查翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．或2
【详解】
如解图①，当点落在上时，，
此时是直角三角形，依题意，得，在中，
∵，
∴，
∴，设，则，，
在中，由勾股定理，得，
解得；
如解图②，当点落在以为直径的半圆上时，，
此时是直角三角形．由题意易得，．
综上所述，的长为或2．

14．4 cm或5 cm
【详解】
沿折叠，使点落在点处，，，①当时，如解图①，，，，，，，；②当时，则点落在上，如解图②，设，则，，，∴在中，，，在中，，解得，即的长为．综上所述，当是直角三角形时，的长为或．

15．或
【分析】
由题意可知∠ECF≠90°，故分两种情况：①当∠EFC＝90°时，②当∠CEF＝90°时，分别利用折叠的性质和勾股定理求出BE，即可得到CE的长．
【详解】
解：由题意可知∠ECF≠90°，故分两种情况：
①当∠EFC＝90°时，如图1，

∵∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，
∴A、F、C三点共线，
∵，
∴，
设BE＝x，则EF＝x，CE＝4－x，
∵AF＝AB＝3，
∴FC＝5－3＝2，
在Rt△CEF中，EF2+FC2＝CE2，
∴，
解得：，
∴CE＝4－x＝；
②当∠CEF＝90°时，如图2，

由折叠的性质得：∠AEB＝∠AEF＝，
∴AB＝BE＝3，
∴CE＝4－3＝1，
综上所述，的长为1或，
故答案为：1或．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理的应用，正确理解题意，作出符合题意的图形，灵活运用勾股定理是解题的关键．
16．或
【分析】
分两种情况讨论：①当∠AMB＝90°时，②当∠ABM＝90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．
【详解】
解：如图1，当∠AMB＝90°时，

∵O是AB的中点，AB＝2，
∴OM＝OB＝1，
又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，
∴BOM是等边三角形，
∴BM＝BO＝1，
∴RtABM中，AM＝＝；
如图2，当∠ABM＝90°时，

∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴MO＝2BO＝AB＝2，
∴RtBOM中，BM＝＝，
∴RtABM中，AM＝＝，
综上所述，当ABM为直角三角形时，AM的长为或．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线、等边三角形的判定与性质的综合应用，运用分类讨论以及数形结合思想是解答此题的关键．
17．
【详解】
由题知，在中，，∴，∴点Q在以为直径的圆上．如答图，设点Q所在圆的圆心为E，连接、．由三角形三边关系可知，∴，∴当A、Q、E三点共线时，有最小值，此时的最小值为．根据题意得，，∴，∴，即的最小值为．

18．4或5
【详解】
解：如解图①，当时，连接，根据折叠的性质得，，，;如解图②，当时，则点落在上，连接，设，则，∴在中，，在中，根据勾股定理得，即，解得．综上所述，当是直角三角形时，的长为4或5．

19．或
【分析】
分情况讨论当∠A为90°与∠APO为90°时，再直角三角形的性质，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】
当∠A=90°时
∵∠AON=30°，△AOP为直角三角形，
∴OP=2AP
由勾股定理可知OP2-AP2=AO2
∴3AP2=36
∴AP=
∴OP=
当∠APO=90°时
∵∠AON=30°，△AOP为直角三角形，
∴AP=OA=3,
∴OP=
故答案为：或
【点拨】此题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，解题关键在于掌握运算法则.
20．或
【分析】
分情况讨论，当点F落在AC上或点F落在BC上，第一种情况利用面积法列式求出DE的长，第二种情况利用勾股定理的方程思想列式求出DE的长．
【详解】
解：如图，若点F落在AC上，为直角三角形，

∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴；
如图，若点F落在BC上时，为直角三角形，

∵折叠，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案是：或．
【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和勾股定理的方程思想．
21．3或2或．
【分析】
作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】
解：作BF⊥AD于F，

则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，


当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，

仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，


由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
【点拨】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
22．或
【分析】
分两种情况讨论：①∠APB=90°，②∠BAP=90°，分别作图利用勾股定理即可解出．
【详解】
①当∠APB=90°时，如图所示，

在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，
∴AP=AB=
∴BP=
②当∠BAP=90°时，如图所示，

在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，
∴，
即
解得
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形中30度所对的直角边是斜边的一半．
23．2或18
【分析】
分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，由题意可得，，，，根据勾股定理和全等三角形的性质，可求的长．
【详解】
解：若点在线段上，
若与△关于直线对称，
，，，
△为直角三角形，
，
，
，，
，
点，点，点共线，
在中，．
，
，
若点在线段的延长线上，且点在上，

若与△关于直线对称，
，，
在△中，，
，，
，且，，
△，
，
，
故答案为：2或18．
【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键
24．3或6
【分析】
由矩形的性质和折叠的性质可得，，，分，两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求的长．
【详解】
解：四边形是长方形，
，，，经过折叠之后，
，，，
若，且，
四边形是矩形，且，
四边形是正方形，
，
若，且
，
点，点，点三点共线，
在△ABC中，，
，
在△B′EC中，，

，
故答案为：3或6.
【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
25．或
【分析】
分两种情况讨论，利用直角三角形全等的判定和性质以及勾股定理求解即可．
【详解】
①当E在AH的上方时，且∠AEH=90，

根据折叠的性质，∠AEP=∠D=90，AD=AE，DP=PE，
∴∠AEP=∠AEH=90，AD=AE=AB，
∴点P、E、H在同一直线上，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
，
∴Rt△ABHRt△AEH(HL)，
∴EH=BH=3，
设DP=x，则PC=8－x，HC=8-3=5， PH=PE+HE=x+3，
在Rt△CPH中，，即，
解得，即DP=；
②当E在AH的下方时，且∠AEH=90，如图：

此时，点E与点B重合，则点P与点C重合，
∴DP=；
综上，当DP的长为或时，是直角三角形．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
26．或4
【详解】
由题意可得，，分两种情况：如图①，当时，点，，在同一直线上，由对称的性质可得，，而，∴，设，则，过点作于点，则，∴，∵在中，，∴，解得；如图②，当时，点，，在同一直线上，同理可得，，设，则，过点作于点，则，∴，∵在中，，∴，解得．综上所述，当是直角三角形时，的长为或4．

27．或
【详解】
沿折叠，使点落在点处，，，①当时，如解图①，，，，，，，；②当时，则点落在上，如解图②，设，则，，，∴在中，，，在中，，解得，即的长为，综上所述，当是直角三角形时，的长为或．

28．8cm
【分析】
设BC=x，则CD=（34－x），根据勾股定理可得:AC2=AB2+BC2=62+x2，△ACD是以DC为斜边的直角三角形，AD=24cm,根据勾股定理可得:AC2=CD2－AD2=（34－x）2－242，得到方程62+x2=（34－x）2－242，解方程即可求解．
【详解】
解：设BC=xcm，则CD=（34﹣x）cm．
∵在△ABC中,∠ABC=90°，AB=6cm，
∴AC2=AB2+BC2=62+x2．
∵△ACD是以DC为斜边的直角三角形，AD=24cm，
∴AC2=CD2﹣AD2=（34﹣x）2﹣242，
∴62+x2=（34﹣x）2﹣242，
解得x=8，
即BC=8cm．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意设出未知数，根据勾股定理表示出AC2，列出方程是解题关键．