初中数学第一章 勾股定理1 探索勾股定理导学案

专题1.1  探索勾股定理（知识讲解）

【学习目标】

1. 探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的内容；
2. 掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

 【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

特别说明：：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

         （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

　 （3）理解勾股定理的一些变式：

，， .

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

　　　 图（1）中，所以.

　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

　　　　 　　图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

　　　　   ，所以.

要点三、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.

要点四、勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　

①     3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

         （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

         （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；

　【典型例题】

类型一、用勾股定理解直角三角形

1．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN与点D，主梁上有两根拉索分别为AB、AC．

（1）若拉索，AB、BC的长度分别为10米、26米，则拉索AC＝　   　米；

（2）若AB、AC的长分别为13米，20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．

【答案】（1）24米；（2）12米

【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据勾股定理建立方程即可得解．

解：（1）∵，AB、BC的长度分别为10米、26米，由勾股定理得：

故答案为：AC=24米；

（2）∵，

∴BD＝21﹣CD，

∵，

∴，

∴，

∴BD＝5，

【点拨】本题考查了勾股定理结合方程的应用；关键在于根据勾股定理建立方程．

【变式】如图，在ABC中，AC=13cm，AB=15cm，BC=14cm，求BC边上的高AD．

【答案】12cm

【分析】设BD=xcm，则CD=(14﹣x)cm，依题意有152﹣x2=132﹣(14﹣x)2，求得x=9，再根据勾股定理求得AD．

解：设BD=xcm，则CD=(14﹣x)cm，

依题意有152﹣x2=132﹣(14﹣x)2，

解得x=9，

故BC边上的高AD为12cm．

【点拨】本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，本题关键是求出BD的长．

类型二、勾股（树）数的问题

1．如图,以直角三角形的三边为边分别向外作三个正方形,其中的两个正方形面积为A=25平方厘米 ,C=169平方厘米,求B面积.

【答案】144平方厘米.

【分析】设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，由勾股定理得a2+b2=c2，然后根据a2=25，c2=169即可求出b2，也就是B的面积.

解：设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，则a2+b2=c2，

∵a2=25，c2=169，

∴b2=169-25=144，

∴B面积是144平方厘米.

【点拨】此题考查了勾股定理以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．

举一反三：

【变式】 已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.

(1)如果a=6，b=8，求c；            (2)如果a=12，c=13，求b.

【答案】(1) c＝10　(2) b＝5

【分析】根据勾股定理、代入已知数据计算即可．

解：(1) a=6，b=8，              （2）a=12,  c=13

故答案为  (1)  c＝10 　 (2)   b＝5

【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握对应值是解题关键

2．已知：整式，整式．

尝试: 化简整式．

发现: ，求整式．

联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值：

【答案】尝试：；发现：；联想：17，37.

【分析】

先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．

【详解】

A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．

∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17；

当n2﹣1=35时，n2+1=37．

故答案为17；37．

【点拨】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．

【变式】王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a=___，b=___，c=___.

(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想?

(3)观察下列勾股数32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数.

【答案】（1）n2−1，2n， n2+1；（2）是直角三角形；（3）112+602=612.

【分析】

（1）探究规律后，利用规律即可解决问题；
（2）根据勾股定理的逆定理证明即可；
（3）观察发现第一个数的奇数，另外两个数的底数的和是这个奇数的平方，由此即可解决问题；

解：（1）由题意：a=n2-1，b=2n，c=n2+1，
故答案为n2-1，2n，n2+1；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
理由：∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1，
∴a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）观察可知：第五组勾股数为：112+602=612．

【点拨】考查勾股数、规律型问题，解题的关键是学会观察，学会寻找规律，利用规律解决问题．

类型三、以直角三角形三边长求图形面积

3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的长；    （2）求△ADB的面积．

【答案】（1）DE=3；（2）.

【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积.

解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE，

∵CD=3，

∴DE=3；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：

∴△ADB的面积为.

举一反三：

【变式】 如图所示，，，，求正方形的面积.

【答案】.

【分析】在中根据勾股定理计算出AB2的长度，在中根据勾股定理计算出BD2，从而得出正方形BEFD的面积.

解：在中，根据勾股定理，

得.

在中，根据勾股定理，

得.

所以.

【点拨】本题考查用勾股定理计算线段的长度，在本题中利用勾股定理计算线段的长度时，可只求线段的平方.

类型四、勾股定理与折叠问题

4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，求△EFG的面积．

【答案】25.

【分析】先利用翻折变换的性质以及勾股定理求出AE的长，进而利用勾股定理求出AF和EF的长，即可得出△EFG的面积．

解：如图，过G作GH⊥AD于H，

∵在Rt△GHE中，∠GHE=90°，GE=BG=10，GH=8，

∴AE=10﹣6=4．

设AF=x，则EF=BF=8﹣x，

∵在Rt△GHE中，∠A=90°，

∴AF2+AE2=EF2，即x2+42=（8﹣x）2，

解得：x=3，

∴AF=3，BF=EF=5，

∴△EFG的面积=EF•EG=×5×10=25．

【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理以及三角形面积求法等知识，注意利用翻折变换的性质得出对应线段之间的关系是解题关键．

举一反三：

【变式1】 如图，在中，，，．现将进行折叠，使点A恰好与点B重合，求折痕DE的长．

【答案】．

【分析】由折叠的性质可知，，利用勾股定理，解出，设，，在中，由勾股定理解得即，最后在中再利用勾股定理解题即可．

解：由折叠可知，

在中，

∵，，，

设，则，

在中，，

∴，

在中

．

【点拨】本题考查三角形中的折叠问题、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【变式2】如图，四边形ABCD是一个矩形，BC=10cm，AB=8cm。现沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，求：（1）BF的长；（2）CE的长.

【答案】 (1)6;   (2)3.

【分析】（1）根据折叠的性质得AF=AD=10,在直角三角形ABF利用勾股定理即可证明；（2）由EF＝DE＝CD-CE＝8-CE，CF＝BC-BF＝4在Rt△EFC中利用EF²＝CF²+CE²，即（8-CE）²＝16+CE²，即可求出CE的长.

解：∵矩形ABCD
∴AD＝BC＝10,CD＝AB＝8, ∠B＝∠C＝∠D＝90
∵△ADE沿AE折叠至△AFE
∴AF＝AD＝10,EF＝DE＝CD-CE＝8-CE

∴CF＝BC-BF＝10-6＝4
∵EF²＝CF²+CE²
∴（ 8- CE）²＝16+CE²
∴CE＝3

【点拨】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.

类型五、利用勾股定理求两线段平方和（差）

5．如图，∠AOB=90°，OA=90cm，OB=30cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，试求机器人行走的路程BC是多少？

【答案】.

【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC＝AC，设BC＝AC＝，根据勾股定理求出的值即可．

解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC＝AC，
设BC＝AC＝，
则OC＝cm，
在Rt△BOC中，
∵，
∴，
解得．
答：机器人行走的路程BC为50cm．

【点拨】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键.

举一反三：

【变式】如图，在中，，求BD的值.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程.

（1）过点A作交BC于D，设，用含的代数式表示CD，则______.

（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设BD=x，由CD=BC-BD表示出CD，（2）分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长

解：（1）设BD=x ，CD=BC-BD=

（2）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则有CD=14-x，

由勾股定理得：

故，

解得：.

【点拨】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

类型六、利用勾股定理求线段之间关系

1．如图，在四边形中，，于点，.求证.

【分析】 根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；

证明：连接.

∵，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴.

∴.

∴.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键. 在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.

举一反三：

【变式1】如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：．

【分析】连结BD，易证，即BD=AE、AC=BC．又可证明出∠ADB=90∘，再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的．

证明：如图，连结BD ，

∵，

∴．

∴在△EAC和△DBC中，，

∴．    

∴ ．

又∵，

∴ ．

∴ 在中，，

∴．

∵ 在中，，

∴ ．

【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键．

【变式2】如图在中，，点E，F分别在上，求证：．

【分析】由勾股定理可得，，，，则有，，即可得到结论

解：

，均为直角三角形

在中，

在中，

在中，

在中，

【点拨】本题主要考查了勾股定理的简单应用，解题关键在于找出直角三角形，利用勾股定理求证．
、