初中数学北师大版八年级上册2 平面直角坐标系学案

这是一份初中数学北师大版八年级上册2 平面直角坐标系学案，共20页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

专题3.3 平面直角坐标系（知识讲解）
【学习目标】
1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.
3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.
【要点梳理】
要点一、有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
特别说明：：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).

特别说明：：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.

特别说明：：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
要点三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．

特别说明：：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
要点四、点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律

特别说明：：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
【典型例题】
类型一、写出平面直角坐标系中点的坐标
1．在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点横坐标比纵坐标大3；
（3）点在过点，且与轴平行的直线上．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）让纵坐标为0求得m的值，代入点P的坐标即可求解；
（2）让横坐标-纵坐标=3得m的值，代入点P的坐标即可求解；
（3）让横坐标为-5求得m的值，代入点P的坐标即可求解．
解：（1）∵点在轴上，
∴令2m+4=0，解得m=-2，
则 P点的坐标为（-3，0）；
（2）∵点横坐标比纵坐标大3，
∴令m-1-（2m+4）=3，解得m=-8，
则P点的坐标为（-9，-12）；
（3）∵点在过点，且与轴平行的直线上，
∴令m-1=-5，解得m=-4．
则 P点的坐标为（-5，-4）．
本题考查了点的坐标，用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等．
举一反三：
【变式1】已知点M(2a﹣5,a﹣1),分别根据下列条件求出点M的坐标.
(1)点N的坐标是(1,6),并且直线MN∥y轴；
(2)点M在第二象限,横坐标和纵坐标互为相反数.
【答案】(1) (1,2)；(2) (﹣1,1).
【分析】
（1）根据直线MN∥y轴，可知MN的横坐标相同，即可列出方程解出a的值；
（2）点M横坐标和纵坐标互为相反数，故相加为0，即可求出a的值，即得M的坐标.
解：(1)∵直线MN∥y轴,
∴2a﹣5=1,
解得a=3,
∴a﹣1=3﹣1=2,
∴点M的坐标为(1,2)；
(2)∵横坐标和纵坐标互为相反数,
∴2a﹣5+a﹣1=0,
解得a=2,
∴2a﹣5=2×2﹣5=﹣1,
a﹣1=2﹣1=1,
∴点M的坐标为(﹣1,1).
【点拨】此题主要考查直角坐标系的坐标特点，熟知坐标系内的坐标特点是解题的关键.
【变式2】如图，△ABC在正方形网格中，若A（0，3），按要求回答下列问题
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出B和C的坐标；
（3）计算△ABC的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）B（﹣3，﹣1）C（1，1）；（3）5.
【分析】
（1）根据点A的坐标为（0，3）进而得出原点的位置，进而建立正确的平面直角坐标系；（2）根据坐标系直接得出点B和点C的坐标；（3）△ABC的面积等于长为4，宽为4的正方形的面积减去直角边长为4，2的直角三角形的面积，减去直角边长为3，4的直角三角形的面积，减去直角边长为1，2的直角三角形的面积.
解：（1）所建立的平面直角坐标系如图所示：

（2）点B和点C的坐标分别为：B（﹣3，﹣1）C（1，1）；
（3）．
类型二、求点到坐标轴的距离
2．已知点，解答下列各题．
（1）点在轴上，求出点的坐标．
（2）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）P（-12，0）；(2) ．
【分析】
（1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；
（2）根据点P到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，由点在第二象限，，化去绝对值得解方程求出，再代入求代数值可得．
解：（1）点在轴上，
∴，
∴，

P（-12，0）；
(2) 点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，，
，，
，
，
．
【点拨】本题考查了点的坐标与象限，x轴上的点的纵坐标等于零；y轴上的点的横坐标等于零；点在象限注意横纵坐标的符号，利用到轴、轴的距离相等构造方程是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知点，解答下列各题．

（1）点P在x轴上，求出点P的坐标．
（2）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标．
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）2021
【分析】
（1）根据x轴上点的坐标特征：纵坐标为0，列出方程即可求出结论；
（2）根据与y轴平行的直线上两点坐标关系：横坐标相等、纵坐标不相等即可求出结论；
（3）根据题意可得：点P的横纵坐标互为相反数，从而求出a的值，即可求出结论．
解：（1）若点P在x轴上，
∴a＋5=0
解得：a=-5
∴；
（2）∵点Q的坐标为，直线轴
∴
解得：a=3
∴；
（3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等
∴
解得：a=-1
∴==2021
【点拨】此题考查的是根据题意，求点的坐标，掌握x轴上点的坐标特征、与y轴平行的直线上两点坐标关系和点到x轴、y轴的距离与坐标关系是解题关键．
【变式2】如果点B到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求点B的坐标．
【答案】点B的坐标为（-4，-4）或（-2，2）．
【分析】根据点B到x轴的距离与它到y轴的距离相等，坐标平面内的点到两轴的距离实际上就是该点两坐标的绝对值即可得出答案．
解：根据题意得，m-1=3m+5或m-1=-（3m+5），
解m-1=3m+5，得m=-3，
∴m-1=-4，点B的坐标为（-4，-4），
解m-1=-（3m+5），得m=-1，
∴m-1=-2，点B的坐标为（-2，2），
∴点B的坐标为（-4，-4）或（-2，2）．
【点拨】本题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值．
类型三、判断点所在的象限
3 请说出以下几个点在坐标轴的哪部分上.(-2, 0)、(0, 4)、(1, 0)、(0,-3)
【分析】在横轴上的点纵坐标等于0，在纵轴上的点横坐标等于0.
解：因为，在横轴上的点纵坐标等于0，在纵轴上的点横坐标等于0.
所以，(-2, 0)在x轴负半轴，(0, 4)在y轴正半轴，(1, 0)在x轴正半轴，(0,-3)在y轴负半轴．
【点拨】熟悉坐标轴上点的坐标特点.
【变式1】在给出的平面直角坐标系中描出点A(－3，4)，B(－3，－3)，C (3，－3)，D(3，4)，并连接 AB ，BC，CD ，AD．

【分析】A点在第二象限，B点在第三象限，C点在第四象限，D点在第一象限，然后逐次连接四个顶点即可．
解：根据题意，得出下图：
．
【点拨】本题考察了根据坐标，在平面直角坐标系中画点，掌握四个象限的点的坐标特征是本题的关键．
【变式2】如果│3x+3│+│x+3y－2│＝0，那么点P(x，y)在第几象限?
【答案】二
解：试题分析：由题意分析可知，│3x+3│+│x+3y－2│＝0，则需要满足


位于第一象限的点，纵横坐标都是正数；第二象限，横坐标为负，纵坐标为正；第三象限，纵横坐标都是负，第四象限，横坐标为正，纵坐标为负．所以该点在第二象限
考点：象限坐标
点评：本题属于对各个象限的基本坐标公式的理解和运用
类型四、已知点的象限求参数
4．已知点在轴上，求的值以及点的坐标．
【答案】，或
【分析】根据x轴上点纵坐标等于零，可得答案．
解：∵点在轴上，
∴，
∴．
当时，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为．
即．点的坐标为或．
【点拨】本题考查了点的坐标，利用x轴上点纵坐标等于零得出方程是解题关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为(2a＋6，a－3)．
(1)当点P的坐标为(4，－4)时，求a的值；
(2)若点P在第四象限，求a的取值范围．
【答案】(1) a＝－1；（2）－3＜a＜3.
整体分析：
（1）由点P的坐标为(4，－4)，列方程求解；（2）根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负列不等式组求a的范围.
解：(1)∵点P的坐标为(4，－4)，
∴2a＋6=4
解得a＝－1.
(2)∵点P(2a＋6，a－3)在第四象限，
∴
解得－3＜a＜3.
【变式2】已知点P（a+1，2a﹣1）在第四象限，求a的取值范围．
【答案】﹣1＜a<．
【分析】根据点在第四象限内的特点：横坐标为正，纵坐标为负，可得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可得到答案.
解： ∵点P(a+1，2a﹣1)在第四象限，
∴，
解得：﹣1＜a＜，
即a的取值范围是﹣1＜a＜．
【点拨】本题考查点(x，y)在每个象限内x，y的取值范围.
（1）当点(x，y)在第一象限时，x＞0，y＞0；
（2）当点(x，y)在第二象限时，x＜0，y＞0；
（3）当点(x，y)在第三象限时，x＜0，y＜0；
（4）当点(x，y)在第四象限时，x＞0，y＜0.
类型五、坐标系中描点
5．在平面直角坐标系中，A、B点的位置如图所示；
（1）写出点A、B两点的坐标；
（2）若C(-3，-4)、D(3，-3)，请在图示坐标系中标出C、D两点；
（3）求出A、B、C、D四点所形成的四边形面积

【答案】（1）A(1，2)，B(-3，2)；（2）见解析；（3）28
【分析】
（1）根据点的坐标的定义直接得出答案即可；
（2）根据点的坐标的定义，在平面直角坐标系内画出点C，D即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去两个直角三角形的面积可计算出四边形ABCD的面积．
解：（1）A（1，2）、B（-3，2）；
（2）如图所示；

（3）四边形ABCD的面积=628；

【点拨】本题考查了点的坐标以及点的意义，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．

(1,1)，(3,1)，(1,3)，(1,1)；
(－1,3)，(－1,5)，(－3,3)，(－1,3)；
(－5,1)，(－3，－1)，(－3,1)，(－5,1)；
(－1，－1)，(1，－1)，(－1，－3)，(－1，－1)．
(1)观察所得的图形，你觉得它像什么？
(2)求出这四个图形的面积和．
【答案】画图见解析； (1)风车； (2)8.
【分析】
1)先描出相应的点，再连接成图形，根据连接的图象就可以得出结论．
(2)根据三角形的面积公式就可以求出每个三角形的面积．就可以得出结论．
解：(1)由题意画出图形，得

通过观察图形可以得出这是四个全等的等腰直角三角形，它们绕(－1,1)这点顺时针旋转90°，180°，270°形成的图形．
(2)由题意，得4×[×(2×2)]＝8.
答：这四个图形的面积和为8.
【点拨】此题主要考查直角坐标系的描点与面积求解，解题的关键是正确描出各点.
【变式2】如图，（1）写出平面直角坐标系中，点M、N、L、O、P的坐标；
（2）在图中画出点A（0，4），B（4，2），C（—3.5，0），D（—2，—3.5）．

【答案】（1）M（2，3），N（—3，2），L（0，—2），O（0，0），P（2，—2.5）；（2）详见解析.
【分析】
（1）依据平面直角坐标系中各点的位置，即可得到点M、N、L、O、P的坐标．
（2）根据点的坐标描出各点即可；
解：（1）M（2，3），N（—3，2），L（0，—2），O（0，0），P（2，—2.5）；
（2）A、B、C、D的位置如图所示．

【点拨】本题考查了点的坐标，正确的在平面直角坐标系中描出个点，利用点的坐标表示方法：（横前，纵后）是解题的关键．
类型六、坐标与图形
6．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（，5），（，3）．
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
⑵请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
⑶写出点B′的坐标．

【答案】⑴⑵如图，⑶B′(2,1)

【分析】
（1）易得y轴在C的右边一个单位，x轴在C的下方3个单位；
（2）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，顺次连接即可；
（3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．
解：（1）如图；（2）如图；

（3）点B′的坐标为（2，1）．
举一反三：
【变式1】如图，已知在平面直角坐标系中，S三角形ABC=24，OA=OB，BC =12，求三角形ABC三个顶点的坐标.

【答案】A（0，4），B（-4，0），C（8，0）．
【分析】
首先根据面积求得OA的长，再根据已知条件求得OB的长，最后求得OC的长．最后写坐标的时候注意点的位置．
解：

∴OC=8，
∵点O为原点，
∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）．
【点拨】写点的坐标的时候，特别注意根据点所在的位置来确定坐标符号．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且．
（1）求a，b的值；
（2）y轴上是否存在一点M，使△COM的面积是△ABC的面积的一半，求点M的坐标．

【答案】（1）a=－2，b=3；（2）M(0，－5)或M(0，5)．
【分析】
（1）根据非负数的性质列出关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可；
（2）过点C作CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S，根据点A、B的坐标求出AB，再根据点C的坐标求出CT、CS，然后根据三角形的面积求出OM，再写出点M的坐标即可．
解：（1）∵，
又∵|2a＋b＋1|≥0，（a＋2b−4）2≥0，
∴|2a＋b＋1|＝0且（a＋2b−4）2＝0，
∴，
解得，
即a＝−2，b＝3；
（2）过点C作CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S．

∵A（−2，0），B（3，0），
∴AB＝5，
∵C（−1，2），
∴CT＝2，CS＝1，
∵△ABC的面积＝AB•CT＝5，
∴要使△COM的面积＝△ABC的面积，
则△COM的面积＝，
即OM•CS＝，
∴OM＝5，
所以M的坐标为（0，5）或(0，-5)．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解二元一次方程组，（1）熟练掌握非负数的性质列出方程组是解题的关键，（2）列方程求出OM的长是解题的关键．
类型七、点坐标的规律
6．已知点．
（1）当点在轴上时，点的坐标为；
（2）点的坐标为，且直线轴，求点的坐标．
（3）点到轴、轴的距离相等，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或
【分析】
（1）根据在x轴上的点，纵坐标为0，可以求出a的值，进而求出点M的坐标；
（2）根据直线 MN//x 轴，得到纵坐标相等，可以求出a的值，进而求出点M的坐标；
（3）点 到x轴、y 轴的距离相等，得到点M的横坐标，纵坐标相等，或者互为相反数，可以求出a的值，进而求出点M的坐标．
解：（1）∵点M在x轴上
∴a+6= 0
∴a=-6，3a-2= -18-2=-20，
∴点M的坐标是(- 20，0)；
(2)∵直线MN // x轴，a+6= 5，
解得a=-1，3a-2=3×(-1)- 2=-5，
所以，点M的坐标为(-5，5).
（3）∵点到轴、轴的距离相等．
∴或，
解得或．
∴或，．
∴点的坐标为或．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征，解题的关键是熟知在坐标轴上的点的坐标特征，以及平行于坐标轴的点的坐标特征，以及到两坐标轴距离相等的点的坐标特征．
举一反三：
【变式1】如图，在直角坐标系中，长方形的三个顶点的坐标为，，，且轴，点是长方形内一点（不含边界）.

（1）求，的取值范围.
（2）若将点向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点，若点恰好与点关于轴对称，求，的值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）根据A,B两点的坐标可以确定P点横坐标的取值范围，根据A,D两点坐标可以确定P点纵坐标的取值范围，从而，的取值范围可求.
（2）根据点P的坐标和平移得到Q的坐标，根据矩形得到C的坐标，然后利用点恰好与点关于轴对称时横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求出答案.
解：（1）∵，，，且是长方形内一点，
∴，.
∴.
（2）由题意可得，点的坐标为.
∵点C的横坐标与B相同，纵坐标与D相同
∴
∵点与点关于y轴对称，
∴，.
∴.
∴，.
【点拨】本题主要考查直角坐标系中点的坐标，掌握坐标系中点的坐标的特征是解题的关键.
【变式2】已知点M的坐标为(a-6，3a+1)，请分别根据下列条件，求出点M坐标
（1）点M的横坐标比纵坐标大1；
（2）点M在y轴上；
（3）点A的坐标是(2，7)，直线AM与x轴平行
【答案】（1）(-10，-11)；（2）(0，19)；（3）(-4，7)
【分析】
（1）根据横坐标比纵坐标大1，即可得到关于a的方程，然后求出a的数值即可得到答案；
（2）点M在y轴上，即可得到横坐标为0，即可得到a的值，求出点M的坐标；
（3）根据MA与x轴平行，可知点M的纵坐标为7，求出a的值，即可得到点M的坐标.
（1）解：由题意得：a-6-(3a+1)=1，解得a=-4，故点M的坐标为(-10，-11)
（2）解：由题意得：a-6=0，解得a=6，故点M的坐标为(0，19)
（3）解：由题意得：3a+1=7，解得a=2，故点M的坐标为(-4，7)
【点拨】本题主要考查点的坐标的特征，能够利用方程的思想是解题的关键.