专题3.7 《位置与坐标》全章复习与巩固（学案讲义）

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专题3.7 《位置与坐标》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；
2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；
3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想．
【要点梳理】
要点一、有序数对
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.
要点二、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：

要点诠释：
（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；
y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；
平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.
要点三、坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
要点诠释：
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
要点诠释：
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
要点诠释：
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．

【典型例题】
类型一、有序数对
1．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(-1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（______，______），B→C（______，______），D→______（-4，-2）；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；

【答案】（1）+3，+4；+2，0；A；（2）见解析
【分析】
（1） 根据规定及实例可知A→C记为（+3，+4）B→C记为（+2，0）D→A记为
（-4，-2）；
（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；
解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负，
∴A→C记为（+3，+4）B→C记为（+2，0）D→A记为（-4，-2）；
（2）根据行走路线可得：P点位置如图所示．

【点拨】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．
举一反三：
【变式1】如图，已知火车站的坐标为，文化宫的坐标为．

(1)请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；
(2)写出体育馆、市场、超市、医院的坐标；
(3)请将原点O、医院C和文化宫B看作三点用线段连起来得，画出关于x轴对称的图形．
【答案】(1)见解析；(2)体育馆，市场，超市，医院；(3)见解析.
【分析】
（1）以火车站向左2个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系即可；（2）根据平面直角坐标系写出体育场、市场、超市的坐标即可；（3）根据关于x轴对称的点的坐标特征得出B1、C1的坐标，连接即可得答案.
解答：(1)平面直角坐标系如图所示．

(2)体育馆，市场，超市，医院．
(3)∵点B与B1，点C与C1关于x轴对称，B（-1，2），C（4，3），
∴B1（-1，-2），C1（4，-3），
∴，如图所示．
【点拨】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握点关于x轴对称的点的坐标特征并准确找出坐标原点的位置是解题的关键．
【变式2】长方形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点轴，轴，．
（1）分别写出点的坐标______；______；________．
（2）在轴上是否存在点，使三角形的面积为长方形ABCD面积的？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；；（2）或．
【分析】
（1）由点A坐标及AB、AD长可写出B、C、D的坐标；
（2）设点P的坐标为（a，0），表示出三角形的面积和长方形ABCD面积，由两者间的数量关系可得a的值.
解：（1）由长方形ABCD可知，B点可看做A点向右平移AB长个单位得到，故B点坐标为 ，C点可看做A点向下平移AD长个单位得到，故C点坐标为 ，D点可看做C点向左平移CD长个单位得到，故D点坐标为 .
（2）设点P的坐标为，则点P到直线AD的距离为，
所以
由题意得，解得或6
所以点P的坐标为或.
【点拨】本题考查了平面直角坐标系，长方形中由已知点写其余点坐标时，可将其余点看做由已知点平移得到，正确根据点的坐标表示出图形的面积是解题的关键.
类型二、平面直角坐标系
2．如图，（1）描出，，，四个点，并连接，，，，．

（2）写出线段，有什么位置关系和数量关系；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）AB//CD，AB=CD；（3）14
【分析】
（1）找出点A、点B、点C、点D，用线段连接即可；
（2）根据图形观察即可；
（3）用割补法求解即可；
解：（1）如图所示；
（2）由图形可知，AB//CD，AB=CD；
（3）=14．

【点拨】本题考查了平面直角坐标系，坐标与图形的性质，以及割补法求图形的面积等知识，正确画出图形是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知点，根据下列条件，求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点的坐标为，直线轴．
【答案】（1）（−3，0）；（2）（-5，-4）
【分析】
（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；
解：（1）∵点在x轴上，
∴a+4＝0，
解得：a＝−4，
∴＝−2−1＝−3，
则P（−3，0）；
（2）∵点Q的坐标为，直线轴，
∴＝-5，
解得：a＝-8，
∴a+4＝-4，
则P（-5，-4）．
【点拨】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：x轴上点的坐标性质纵坐标为0，平行于y轴直线上的点，横坐标相等．
【变式2】已知点，分别根据下列条件求出的值．
（1）点在轴上；
（2）点的坐标为，直线轴；
（3）点到轴、轴的距离相等．
【答案】（1）-4；（2）3；（3）-10或-2
【分析】
点在轴上时，其y值为0；
两点所在直线平行于y轴时，其横坐标相等；
点到轴、轴的距离相等时，其横，纵坐标相等或互为相反数．
解：（1）∵ 点在轴上，
∴ ，解得.
（2）∵ 点的坐标为，直线轴，
∴ ，解得.
（3）∵ 点到轴、轴的距离相等，
∴ 或，
解得或．
【点拨】熟练掌握点在坐标系中的特征是解题的关键．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，其中满足．

（1）求点，的坐标．
（2）点为轴上一点，且的面积为，求点的坐标．
【答案】（1） ，；（2）点的坐标为  或 
【分析】
（1）解一元一次方程，可得结论．
（2）利用三角形的面积公式求出OC的长，可得结论．
解：（1）由得，
∴ ，．
（2）设点的坐标为，则，
由可知，
∴12
解得：或．
∴点的坐标为  或 ．
【点拨】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式4】如图，已知，，，且关于x轴的对称图形为．

（1）作出关于x轴的对称图形；
（2）若点，求的值．
【答案】(1)见解析；（2）6.
【分析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可得到；
（2）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即可解答.
解：（1）如图所示．

（2）因为点与点关于x轴对称，
∵，，
解得，，
∴．
【点拨】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
类型三、坐标方法的简单应用
3 在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点C处，只告诉大家两个标志点A，B的坐标分别为（﹣3，1）、（﹣2，﹣3），以及点C的坐标为（3，2）（单位：km）．
（1）请在图中建立直角坐标系并确定点C的位置；
（2）若同学们打算从点B处直接赶往C处，请用方位角和距离描述点C相对于点B的位置．

【答案】（1）作图见解析；（2）km.
【分析】
(1)、利用点A和点B的坐标得出原点所在的位置，建立平面直角坐标系，进而得出点C的位置；
(2)、利用所画的图形，根据勾股定理得出答案．
解：（1）根据A（﹣3，1），B（﹣2，﹣3）画出直角坐标系，
描出点C（3，2），如图所示；

（2）BC=5，所以点C在点B北偏东45°方向上，距离点B的5 km处．
【点拨】本题主要考查的是平面直角坐标系的基础知识以及直角三角形的勾股定理，属于基础题型．根据点A和点B的坐标得出坐标原点的位置是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义：
若，则点与点“识别距离”为；
若，则与点的“识别距离”为．
（1）已知点，B为y轴上的动点，
①若点A与点B的“识别距离”为2，写出满足条件的B点的坐标________；
②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值________；
（2）已知，，，求点C与点D的“识别距离”的最小值及相应的C点坐标.
【答案】（1）①(0,2)或(0,-2)；②1;（2），相应C点坐标为.
【分析】
（1）分别根据“识别距离”的定义解答即可；
（2）根据“识别距离”的定义列出方程求出m，再分情况讨论求解．
解：(1)①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为(0,y).
∵|−1−0|=1≠2，
∴|0−y|=2，
解得，y=2或y=−2；
∴点B的坐标是(0,2)或(0,−2)；
故填写：(0,2)或(0,−2).
②根据题意,得：|−1−0|⩾|0−y|，
当即|y|⩽1时，
点A与点B的“识别距离”的最小值为1.
当|y|＞1时，
点A与点B的“识别距离”的最小值为2.
∴点A与点B的“识别距离”的最小值为1.
故答案为：1.
（2）∵,D(0,1)，
∴，
解得或.
当时，“识别距离”为8；
当时，“识别距离”为.
∴当时，“识别距离”最小值为，相应C点坐标为.
【点拨】此题考查点的坐标，解题关键在于理解题意掌握其定义.
【变式2】在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点它们的坐标分别为和.则这两个点所成的线段的长为；同样，若在y轴上的两点坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为.如图1，在直角坐标系中的任意两点，，其坐标分别为和，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，，利用勾股定理可得，线段的长为.

根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知，，则线段AB的长为________；
（2）在平面直角坐标系中，已知，，则线段MN的长为________；
（3）若点C在y轴上，点D的坐标是，且，则点C的坐标是________；
（4）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求周长的最小值.
【答案】（1）6；（2）13；（3）或；（4）
【分析】
（1）根据线段长度计算方法计算即可；
（2）根据线段长度计算方法计算即可；
（3）设C点坐标为，由勾股定理列出方程，求得b的值，进一步可得C的坐标；
（4）找到点A关于y轴的对称点A′（-1，4），连接A′B交y轴于点C，此时△ABC周长的最小，分别计算AB和A′B的长然后相加即可求解．
解：（1）.
因为，的横坐标相同，也可以直接用|a-c|求：|-1-5|=|-6|=6，
故答案为6；
（2）.
故答案为13；
（3）设C点坐标为，
则在Rt△OCD中，，
解得.
所以C的坐标为或.
（4）设A点关于y轴的对称点为A′，则点A′的坐标为，当C点为A′B与y轴的交点时，的周长最小，因为AC= A′C，所以的周长.

.
.
所以的周长的最小值为．
【点拨】本题考查了两点间的距离计算方法，也考查了勾股定理的应用和最短路径问题，解题关键是能根据点的坐标，利用两点间的距离公式求出线段的长度.
类型四、综合应用
4．已知△ABC，∠ACB＝90°，点D（0，－3），M（4，－3）．
（1）如图1，若点C与点O重合，且A（－3，a），B（3，b），a＋b－8＝0，求△ACB的面积；
（2）如图2，若∠AOG＝50°，求∠CEF的度数；
（3）如图3，旋转△ABC，使∠C的顶点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，E为BC与DM的交点∠NEC＋∠CEF＝180°，下列两个结论：
①∠NEF－∠AOG为定值；②为定值，其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并求其值．

【答案】（1）△ACB的面积为12；（2）∠CEF的度数为140°；（3）为定值，其值为3．
【解析】（1）过点A作AM⊥x轴于M,过点B作BN⊥x轴于N,根据的面积等于梯形的面积减去两个直角三角形的面积列式计算即可得解；
（2）根据对顶角相等和互余的性质得出 再根据邻补角得出 即可；
（3）作轴，则轴，根据平行线的性质得 由于 所以 然后利用 即可得到
试题解析：(1)如图1,过点A作AM⊥x轴于M,过点B作BN⊥x轴于N,
∵A(−3,a),B(3,b)，
∴AM=a，OM=3，BN=b，ON=3，
∴MN=3+3=6，
△ABC的面积
∵a+b−8=0，
∴a+b=8
∴△ABC的面积







为定值.理由如下：
作 轴,如图3,

则轴，

而




∴可得：
可得 是定值.
举一反三：
【变式1】已知，△ABC满足BC＝AB，∠ABC＝90°，A点在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（－3，0），点B与原点重合，则点C的坐标是_________；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请判断线段OA、OD、CD之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．

【答案】(1)C（0,3）；(2)OA＝OD＋CD;(3)AE＝2CF.
【解析】
试题分析：（1）根据点 可得点坐标；
证明得到 即可解答； 如图3，延长相交于，证明 得到，再证明得到 即可解答．
试题解析：(1)∵BC=AB,且A的坐标是(−3,0)，
∴BC=BA=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
故答案为：(0,3)；
(2)OA=OD+CD；
∵CD⊥y轴，



∴∠ABO=∠DCB，
在△ABO和△BCD中，


∴BO=CD，OA=DB，
∵BD=OB+OD，
∴OA=CD+OD.
(3)AE=2CF，
如图3，延长CF，AB相交于G，

∵x轴恰好平分∠BAC，
∴∠CAF=∠GAF，
∵CF⊥x轴，
∴∠AFE=∠AFG=90∘，
在△AFC和△AFG中，
∵

∴CF=GF，

∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
∵

∴AE=CG，
∴AE=CF+GF=2CF
点睛：三角形全等的证明方法： 根据题目选择合适的判定方法.
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A（0，3），B（2，3），C（2，－3），D（0，－3）．点P，Q是长方形ABCD边上的两个动点，BC交x轴于点M．点P从点O出发以每秒1个单位长度沿O→A→B→M的路线做匀速运动，同时点Q也从点O出发以每秒2个单位长度沿O→D→C→M的路线做匀速运动．当点Q运动到点M时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒，四边形OPMQ的面积为S．
（1）当t＝2时，求S的值；
（2）若S＜5时，求t的取值范围．

【答案】(1)S＝5；(2)1.5＜t＜2或3＜t＜4
【解析】
试题分析：设的面积为的面积为则
当t=2时,点P(0,2),Q(1,−3)，过点Q作QE⊥x轴于点.根据三角形的面积公式分别求出 进而得出的值；
设点运动的路程为则点运动的路程为分五种情况进行讨论：①；②③ ④⑤ 针对每一种情况，首先确定出对应范围内点 的位置，再根据三角形的面积公式求解即可．
试题解析：设的面积为的面积为 则
(1)当t=2时,点P(0,2),Q(1,−3)，过点Q作QE⊥x轴于点.




(2)设点P运动的路程为t，则点Q运动的路程为2t.
①当时，点P在线段OA上，点Q在线段OD上，
此时四边形OPMQ不存在，不合题意，舍去.
②当时，点P在线段OA上，点Q在线段DC上,

∵S<5，
∴t+3<5，解得t<2.
此时1.5  ③当时，点P在线段OA上，点Q在线段CM上,

∵S<5，
∴8−t<5，解得t>3.
 ④当3
∵S<5，
∴11−2t<5，解得t>3.
此时3  ⑤当t=4时，点P是线段AB的中点，点Q与M重合，两动点均停止运动,
此时四边形OPMQ不存在，不合题意，舍去.
综上所述，当S<5时，1.5 【变式3】如图，已知点P(2m－1，6m－5)在第一象限的角平分线OC 上，AP⊥BP，点A在x轴上，点 B在y 轴上．
(1)求点P 的坐标；
(2)当∠APB绕点P旋转时，OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．

【答案】(1)点 P 的坐标为(1，1)；(2) OA＋OB 的值不发生变化，其值为 2.
【详解】
试题分析：
（1）根据第一象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求解；
（2）作 PD⊥x 轴于点 D，PE⊥y 轴于点 E，证△PAD≌△PBE，可得OA+OB=2.
解：(1)由题意，得 2m－1＝6m－5.解得 m＝1，
∴点 P 的坐标为(1，1)
(2)作 PD⊥x 轴于点 D，PE⊥y 轴于点 E，

则△PAD≌△PBE，
∴AD＝BE，
∴OA＋OB＝OD＋AD＋OB＝OD＋BE＋OB＝OD＋OE＝2，为定值，
故 OA＋OB 的值不发生变化，其值为 2.
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质及象限的角平分线上的点的坐标特征，一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等；二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数.