初中数学北师大版八年级上册1 函数学案

这是一份初中数学北师大版八年级上册1 函数学案，共24页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题4.13 《一次函数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.
2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.
3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.
4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.
【要点梳理】
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
特别说明：
直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）
特别说明：
理解、对一次函数的图象和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.

【典型例题】
类型一、函数的概念
1、图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的函数关系图像如图2所示．

（1）根据图2填表：

0
3
6
8
12
…







（2）变量y是x的函数吗？________．
（3）根据图中的信息，可得出摩天轮的直径为________m．
【答案】（1）见详解；（2）是；（3）65
【分析】（1）直接结合图象写出有关点的纵坐标即可；
（2）利用函数的定义直接判断即可．
（3）最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径．
解：（1）填表如下：

0
3
6
8
12
…

5
70
5
54
5
…
（2）因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，
所以y是x的函数，
故答案是：是；
（3）∵最高点为70米，最低点为5米，
∴摩天轮的直径为65米，
故答案是：65．
【点拨】本题考查了函数的图象，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．
举一反三：
【变式1】有一个容积为L的水池，现用10台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水L．
（1）抽水1小时后，池中还有水______L；
（2）在这一变化过程中哪些是变量，哪些是常量？
【答案】（1）250；（2）在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水机每小时抽水的体积是常量；抽水时间，水池中的水的体积是变量
【分析】（1）用容积总量减去10台抽水机1小时抽水的量即可；
（2）根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量；
解：（1）抽水1小时后，池中还有水：350-10×10=250L；
故答案为：250；
（2）在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水机每小时抽水的体积是常量；抽水时间，水池中的水的体积是变量；
【点拨】此题考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式2】下图中有两个变量，你能将其中一个变量看作另一个变量的函数吗？

【答案】能,理由见解析.
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．依此即可求解．
解：∵对于x的每一个取值，y有2个确定的值，
∴y不是关于x的函数.
∵对于每个变量y，都有唯一确定的x与之对应，
∴x可以看成关于y的函数.
【点拨】考查了函数的概念，说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
类型二、一次函数的解析式
2、在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y.(当点P与点A或D重合时，y＝0)
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图像．

【答案】见解析.
【分析】（1）分以下三种情况：点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动，分别根据三角形的面积公式可得；
（2）根据（1）中函数关系式即可得,点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x之间的函数表达式不相同，故应分段求出相应的函数表达式．
解：①当点P在边AB上运动，即0≤x＜3时，
y＝×4x＝2x；
②当点P在边BC上运动，即3≤x＜7时，
y＝×4×3＝6；
③当点P在边CD上运动，即7≤x≤10时，
y＝×4(10－x)＝－2x＋20.
所以y与x之间的函数表达式为：y＝
（2）函数图象如图所示．

【点拨】本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想和数形结合思想.根据点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x之间的函数表达式不相同，分段求出相应的函数表达式，再画出相应的函数图象．
举一反三：
【变式1】已知一次函数过点（－2，5），且它的图象与y轴的交点和直线与y轴的交点关于轴对称，求这个一次函数的解析式．
【答案】
【解析】先求出与y轴的交点是（0,3）关于x轴对称点是（0，-3），
函数过两个点，可以求出一次函数解析式.
解：由题意得，一次函数过点（－2，5），所以5=-2k+b,它的图象与y轴的交点和直线与y轴的交点是（0,3），关于轴对称点是（0，-3）,所以b=-3，所以k=-4,所以.
【变式2】判断三点A（1，3）、B（－2，0）、C（2，4）是否在同一条直线上，为什么？
【答案】在
【分析】根据、两点的坐标求得直线的解析式，然后把的坐标代入看是否符合解析式即可判定.
解：设A（1，3）、B（-2，0）两点所在直线解析式为y=kx+b
∴，
解得，
∴y=x+2，
当x=2时，y=4
∴点C在直线AB上，即点A、B、C三点在同一条直线上．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，以及判定是否是直线上的点.
类型三、一次函数的图象和性质
3、已知正比例函数y=(2m+4)x，求：
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上？
【答案】(1) m>-2(2) m0，求出m的取值范围即可；
(2)根据y随x的增大而减小，可得2m+40，∴m>-2．
(2)∵y随x的增大而减小，
∴2m+4