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初中数学北师大版八年级上册2 求解二元一次方程组测试题
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这是一份初中数学北师大版八年级上册2 求解二元一次方程组测试题，共49页。试卷主要包含了已知二元一次方程组的解求参数，二元一次方程组的特殊解法，二元一次方程组的错题复原问题，构造二元一次方程组求解，同解原理等内容，欢迎下载使用。
专题5.12 求解二元一次方程组题型分类专题（专项练习）
（巩固篇）
一、 单选题
知识点一、已知二元一次方程组的解求参数
1．已知方程组中，，互为相反数，则的值是（ ）
A．4 B． C．0 D．8
2．已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于，的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④，的都为自然数的解有对．其中正确的是（ ）
A．②③ B．③④ C．①② D．①②③④
4．已知关于x、y的方程组得出下列结论，正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变：④不存在a使得成立；
A． ①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
知识点二、二元一次方程组的特殊解法
5．已知方程组的解是，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则代数式的值为（ ）
A．4 B． C． D．10
7．已知关于，的方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②当时，，的值相等；③当时，；④当时，方程组的解，也是方程的解．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．方程组的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点三、二元一次方程组的错题复原问题
9．在解方程组时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是．小亮把常数抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（ ）
A．2 B．－2 C．0 D．－3
11．解方程组时，某同学把c看错后得到，而正确的解是，那么，，的值分别是（ ）
A．，， B．，不能确定，
C．，， D．，，的值不能确定
12．甲、乙两人同求方程ax－by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax－by=7看成ax－by=1，求得一个解为，则a,b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
知识点四、构造二元一次方程组求解
13．如果，那么x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知实数a，b满足：（a﹣b+3）2 + ＝0，则等于（ ）
A．65 B．64 C．63 D．62
15．关于x，y的，二元一次方程，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
16．已知关于，的二元一次方程，其取值如下表，则的值为（ ）
5
A．16 B．17 C．18 D．19
知识点五、已知二元一次方程组解的情况求参数
17．已知x，y互为相反数且满足二元一次方程组，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
18．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
19．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
20．若是关于x、y的方程组的解，则的值是（ ）
A．－18 B．－6 C．3 D．18
知识点六、同解原理
21．已知方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
22．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2021
23．若关于x、y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则k的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
24．已知关于的方程组和有公共解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题
知识点一、已知二元一次方程组的解求参数
25．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则方程组的解是____
26．已知是关于x、y的二元一次方程，则__________．
27．已知方程组与有相同的解，则___________．
28．已知方程组的解为，则的值为__________．
知识点二、二元一次方程组的特殊解法
29．若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为______．
30．若关于的方程组满足，则的值为________．
31．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ___．（用含m，n的代数式表示）．
32．已知关于，的二元一次方程组的解为，若，满足二元一次方程组，则______．
知识点三、二元一次方程组的错题复原问题
33．王老师让全班同学们解关于x、y的方程组，（其中a和b代表确定的数），甲、乙两人解错了，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，这个方程组的正确解为_____．
34．解方程组时，一学生把c看错解为，而正确的解是，那么a+b+c＝__．
35．已知方程组，甲解对了，得．乙看错了c，得．则的值为_______．
36．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，则的值为_________．
知识点四、构造二元一次方程组求解
37．已知，那么______．
38．已知关于的二元一次方程组的解也是方程的解，则m值为____．
39．定义一种新运算“※”，规定x※y＝ax+by2，其中a、b为常数，且﹣1※1＝0，2※1＝3，则2※5＝_____．
40．对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则__________；当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是__________．
知识点五、已知二元一次方程组解的情况求参数
41．若关于x，y的方程组中x的值比y的相反数大2，则k＝_____．
42．已知是二元一次方程组的解，则的值为________．
43．小刚解出了方程组的解为．因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则、分别为___________．
44．已知关于x，y的二元一次方程组，
①当方程组的解是时，m，n的值满足；
②当时，无论n取何值，的值始终不变；
③当方程组的解是时，方程组解为；
④当时，满足x，y都是非负整数的解最多有2组．
以上说法：正确的是_____________（填写序号）．
知识点六、同解原理
45．若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是_________．
46．若方程组的解为，则方程组的解为___________ ．
47．如果方程组与方程y＝kx－1有公共解，则k＝______．
48．已知方程组的解能使等式成立，那么代数式_______．
三、解答题
49．方程组的解满足2x－ky＝10（k是常数）．
（1）求k的值；
（2）求出关于x，y的方程（k－1）x＋2y＝13的正整数解．
50．（阅读感悟）
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实数、满足，求和的值．
方法一：解方程组，分别求出、的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下：
①－②，得：；①＋②×2，得：．
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”．
（问题解决）
（1）已知二元一次方程组，则__________；__________．
（2）某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需__________元．
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是__________．
51． 已知方程组甲由于看错了方程（1）中的，得到方程组的解为是方程（2）的解；乙由于看错了方程（2）中的，得到方程组的解为是方程（1）的解．若按正确的计算，求的值．
52．在等式y＝ax2＋bx＋1中，当x＝－1时，y＝6；当x＝2时，y＝11．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝－3时，求y的值．
52． 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)．甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值．
53． 已知关于x，y的方程组和的解相同，求（2a+b）2021的值．
55．阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．
56．阅读理解：
三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答下列问题：
（1）若方程组的解是，求方程组的解．
（2）若方程组的解是，求方程组的解．
57．已知关于x、y的方程组与方程组的解相同，求（2a＋b）2021的值．
参考答案
1．D
【分析】
根据与互为相反数得到，即，代入方程组即可求出的值．
【详解】
解：因为，互为相反数，
所以，
即，
代入方程组得：，
解得：，
故选：．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，也考查了代入消元法解二元一次方程组以及相反数的意义．
2．D
【分析】
把x与y的值代入方程组求出m与n的值再进行计算即可．
【详解】
解：把代入方程组得：
，
解得： ，
∴，
故选：D．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中的方程都成立的未知数的值．
3．D
【分析】
①将x=4，y=1代入检验即可做出判断；
②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y=3来判断；
③将a=1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
④有x+y=3得到x、y都为自然数的解有4对．
【详解】
解：①将代入，解得；且满足题意，故①正确；
②解方程
②得：8y=44a
解得：，
将y的值代入①得：，
所以x+y=3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确．
③将a=1代入方程组得：
，
解此方程得：，
将x=3，y=0代入方程x+y=3，方程左边=3=右边，是方程的解，故③正确．
④因为x+y=3，所以x、y都为自然数的解有
，，，．故④正确．
则正确的选项有①②③④．
故选：D．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
4．A
【分析】
①把a看做已知数表示出方程组的解，把a=0代入求出x与y的值，代入方程检验即可；②令x=y求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入3x-y中计算得到结果，判断即可；④令2x=3y求出a的值，判断即可．
【详解】
解：，
①+②得：3x=3a-6，
解得：x=a-2，
把x=a-2代入①得：y=3a+3，
当a=0时，x=-2，y=3，
把x=-2，y=3代入x+y=1得：左边=-2+3=1，右边=1，是方程的解；
当x=y时，a-2=3a+3，即a=；
3x-y=3a-6-3a-3=-9，无论a为什么实数，3x-y的值始终不变，为-9；
令2x=3y，即2a-4=9a+9，即a=，存在，
则正确的结论是①②③，
故选A．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．C
【分析】
利用换元的思想把变成，然后根据的解释，即可得到求解即可.
【详解】
解：∵
∴变形得：
∵方程组的解为
∴利用整体思想可知
解得：
故选C.
【点拨】本题主要考查了整体代入的思想解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据题目所给的方程进行变形，然后整体代入求解.
6．D
【分析】
方程组两方程相减即可求出的值．
【详解】
解：，
②①得：．
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
7．D
【分析】
把a看做已知数，解方程组后用含a的代数式表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，对四个结论分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：，
①−②得：4y＝4−4a，
y＝1−a，
把y＝1−a代入②得：x－(1−a)＝3a，
x＝2a＋1，
∴方程组的解为
当x＝5时，即2a＋1＝5，a＝2，
此时y＝1−a＝−1，故结论①正确；
当时，
x＝2a＋1＝1，y＝1−a＝1，
∴，的值相等，故结论②正确；
当时，则，
即2（2a＋1）＋1−a＝6，
解得a＝1，故结论③正确；
当时，
x＝2a＋1＝−1，y＝1−a＝2，
∴2x＋y＝0，1＋a＝0，
∴当时，方程组的解，也是方程的解，故结论④正确．
故选：D．
【点拨】本题以多种方式考查了二元一次方程组的解，牢固掌握方程组的解法及明确方程组的解的含义是解题的关键．
8．A
【分析】
分类讨论x与y的正负，利用绝对值的代数意义化简，求出方程组的解，即可做出判断．
【详解】
解：根据x、y的正负分4种情况讨论：
①当x＞0，y＞0时，方程组变形得：，无解；
②当x＞0，y＜0时，方程组变形得：，
解得x＝3，y＝2＞0，
则方程组无解；
③当x＜0，y＞0时，方程组变形得：，
此时方程组的解为；
④当x＜0，y＜0时，方程组变形得：，无解，
综上所述，方程组的解个数是1．
故选：A．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．C
【分析】
通过小明由于粗心把系数抄错了，得到，通过小亮把常数抄错了，得到，便可将原方程组复原，再求解即可．
【详解】
对于方程组，
小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是
∴
解得
小亮把常数抄错了，得到的解是
∴
解得
∴原方程组为，解得
故答案选：C．
【点拨】本题是二元一次方程组错解复原问题．通过错解复原原方程组是本题的关键．
10．B
【分析】
根据题意，方程②的一个解为，代入方程②，求得；方程①的一个解为，代入求得，再代入代数式即可求解．
【详解】
解：根据题意，方程②的一个解为，代入方程②，求得
方程①的一个解为，代入方程①，求得
将，代入代数式得
故答案为B．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的有关知识，解题的关键是通过已知条件列出式子求得，．
11．A
【分析】
将代入得①，再将代入得由①②③组成方程组，解之即可求出a、b、c的值．
【详解】
将代入得：
即①
再将再将代入
得：
解③得：，
由①②组成方程组，
解得：，
∴，，,
故选：A．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
12．B
【详解】
试题分析：把甲的解代入ax-by=7可得a+b=7，把乙的解代入可得a-2y=1，由它们构成方程组可得，解方程组得.
故选B
考点：二元一次方程组的解
13．B
【分析】
先根据非负数的性质列出方程组，即可求出x、y的值．
【详解】
解：∵，
∴，
解得，
故选：B．
【点拨】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
14．C
【分析】
根据平方和算术平方根的非负性得出方程组，求出方程组的解，再代入求出即可．
【详解】
解：∵实数a，b满足：（a﹣b+3）2+＝0，
∴a﹣b+3＝0且a+b﹣1＝0，
即，
解方程组得：，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，平方和算术平方根的非负性和求代数式的值等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
15．D
【分析】
根据题意可得关于x、y的方程组，根据解方程组，可得答案．
【详解】
解：原方程整理为：（x+y-2）a+（-x+2y+5）=0，
由方程的解与a无关，得：
，
解得，
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解题意、得出方程组是解题关键．
16．C
【分析】
根据题意及表格中的数据列出关系式，计算即可求出p的值．
【详解】
解：根据题意得：，
整理②得：③
将①代入③，得：
故选：C．
【点拨】此题考查了代入法解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组准确代入计算是解题关键．
17．A
【分析】
根据，互为相反数得到，然后与原方程组中的方程联立新方程组，解二元一次方程组，求得和的值，最后代入求值．
【详解】
解：由题意可得，
②﹣①，得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①，得：x﹣1＝0，
解得：x＝1，
把x＝1，y＝﹣1代入2x+3y＝k中，
k＝2×1+3×（﹣1）＝2﹣3＝﹣1，
故选：A．
【点拨】本题考查解二元一次方程组，掌握消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一次方程组的步骤是解题关键．
18．D
【分析】
把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求．
【详解】
解：把代入方程组得： ，
把代入ax+by=2得：-2a+2b=2，即-a+b=1，
联立得：，
解得： ，
由3c+2=-4，得到c=-2，
则a+b+c=4+5-2=7．
故选：D．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．D
【分析】
根据方程组将x、y分别用k表示，然后代入2x+3y＝12求出k即可．
【详解】
解：，
①+②，得2x＝14k,即x＝7k．
①﹣②，得2y＝﹣4k，即y＝﹣2k．
将x=7k，y=-2k代入2x+3y＝12得：
2×7k+3×（﹣2k）＝12，解得k＝．
故选D．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的含参问题，将方程组的解用参数表示出来，然后代入等式求解成为解答本题的关键．
20．A
【分析】
把代入得到关于a，b的二元一次方程组，解之求出a，b，再代入代数式进行计算即可．
【详解】
解：∵是方程组的解，
∴
①+②×2得
∴
把代入①得，
解得，
把，代入得，
故选：A
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法和解二元一次方程组的方法是解题的关键．
21．A
【分析】
根据两个方程组解相同，解方程组，把求得的x、y的值分别两个方程组中的另一个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求得a、b的值，从而可求得结果的值．
【详解】
∵方程组和有相同的解
∴方程组与有相同的解
由①×3+②得：7x=42
解得：x=6
把x=6代入①得：12+y=10
解得：y=－2
∴是方程组与的解
把代入中，得：
化简得：
③+④×3得：4b=8
解得：b=2
把b=2代入④得：－a+6=3
解得：a=3
故方程组解为
∴a－b=3－2=1
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解是本题的关键．
22．A
【分析】
将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】
根据题意
①2+②3得：
将代入①得：
将代入得：
③-④3得：
将代入④得：
当时，
故选A．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．
23．C
【分析】
把看做已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出的值．
【详解】
解：
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
代入得：，
去分母得：，
解得：，
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．A
【分析】
联立不含m与n的两个方程组成方程组，求出x与y的值，进而求出m与n的值，代入m-n，计算即可．
【详解】
解：联立得：，
①×3+②得：7x=42，
解得：x=6，
把x=6代入②得：y=-2，
把 代入得：，
解得：m=3，n=2，
则m-n=3-2=1．
故选A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．利用两个方程组有公共解得出x，y的值是解题关键．
25．
【分析】
根据题意可得，再将所求方程组变形为：，可得到关于 、 的方程组，解出即可．
【详解】
解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴，
将方程组变形为：
，
∴ ，
解得： ，
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解即为是方程组中两个方程都成立的未知数的值是解题的关键．
26．−2
【分析】
根据二元一次方程的定义可得：|m|−1＝1，n＝1且m−2≠0，n-3≠0，求出m、n的值，进而得到mn的值．
【详解】
解：由题意得：|m|−1＝1，n＝1，
解得：m＝±2，n＝1，
∵m−2≠0，n-3≠0，
解得：m≠2，n≠3，
∴m＝−2，n＝1，
则mn＝−2，
答案为：−2．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
27．144
【分析】
根据题意，两个方程组有相同的解集得到方程组，解方程组得，将代入方程组中，解出即可．
【详解】
解：∵方程组与有相同的解，
∴，
解得：，
将代入方程组中，得到： ，解得：
∴，
故答案为：144．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，关键在于读懂题意联立出可以求解的二元一次方程组．
28．6
【分析】
把方程组的解回代转化为关于a，b的新方程组，求得a，b的值后计算即可
【详解】
∵方程组的解为，
∴，
解得，
∴==6，
故答案为：6
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，熟练运用方程解的定义化已知方程组为被求字母为未知数的新方程组是解题的关键．
29．
【分析】
由题意可得方程组的解满足，再解后一个方程组即得答案．
【详解】
解：∵关于，的方程组的解为，
∴方程组的解满足，
解得：．
故填：．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，解题关键是得出两方程组的特点，并据此得出关于x,y的方程组．
30．3
【分析】
两式相加可得3（x-y）=9，然后将x-y整体求解即可．
【详解】
解：
①+②得：3x-3y=9，即3（x-y）=9，解得x-y=3．
故填3．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，灵活运用特殊方法解二元一次方程组和整体思想是解答本题的关键．
31．
【分析】
将待求方程组整理为，由原方程组的解将看作整体可得关于x、y的方程组，解之可得．
【详解】
解：将方程组整理，得：
，
根据题意，得：
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是由原方程组的解将将看作整体可得关于x、y的新方程组．
32．35
【分析】
将理解为，理解为，整体代入得到，，由此即可解出和的值．
【详解】
解：由题意，将和理解为一个整体，代入即可得到：
，解得，
∴，
故答案为：35．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，注意将和理解为一个整体是解决本题的关键．
33．
【分析】
把甲的解代入方程②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，确定出方程组，求出正确的解即可；
【详解】
由题意可知， 不是方程①的解，
不是方程②的解，
把 代入方程②中，
得b+4=7，解得：b=3，
把 代入方程①中，得-2+a=1，解得：a=3；
把 代入方程组 -
解得 ，
故答案为：．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值；
34．7
【分析】
首先根据题意，可得：3c﹣7×（﹣2）＝8，据此求出c的值是多少；然后根据： ，应用加减消元法，求出a、b的值各是多少，进而求出a+b+c的值是多少即可．
【详解】
解：根据题意，可得：3c﹣7×（﹣2）＝8，
解得c＝﹣2，
根据题意，可得：，
①+②，可得a＝4，
把a＝4代入①，解得b＝5，
∴a＝4，b＝5，c＝﹣2，
∴a+b+c
＝4+5+（﹣2）
＝7．
故答案为：7．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用；
35．-40
【分析】
把甲的结果代入方程组求出c的值，得到关于a与b的方程，将乙结果代入第一个方程得到a与b的方程，联立求出a与b的值,在计算abc的值即可．
【详解】
解：由甲运算结果得，，
解得，
由乙运算结果得，
得，
解得．
=
故答案为：-40
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
36．0
【分析】
根据甲看错了方程①中的，将代入②中可求得的值，根据乙看错了②中的，将代入①中可求得的值，由此可求得的值．
【详解】
解：把代入方程②，得4×（-3）=b•（-1）-2，解得b=10；
把代入方程①，得5a+5×4=15，解得a=-1．
所以．
故答案为：0．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，乘方的符号规律．理解方程组的解是同时满足方程组中两个方程的未知数的值是解决此题的关键．
37．
【分析】
根据平方和绝对值的非负性得到二元一次方程组求解即可；
【详解】
∵，
∴，
解得：，
∴；
故答案是25．
【点拨】本题主要考查了绝对值的非负性和二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
38．5
【分析】
根据题意将2x+y=7和x-2y=6联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入代入方程x+2y=m-3可得关于m的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】
解：∵x，y的二元一次方程组的解也是方程x-2y=6的解，
∴，
①×2+②，得
5x=20，
∴x=4，
把x=4代入①，得
8+y=7，
∴y=-1，
把x=4，y=-1代入x+2y=m-3，得
4+2×(-1)=m-3，
解得m=5．
故答案为5．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解方程组求解x，y是解题的关键．
39．27
【分析】
根据已知条件得出，求出方程组的解，再求出答案即可．
【详解】
解：∵x※y＝ax+by2，且-1※1=0，2※1=3，
∴，
②-①，得3a=3，
解得：a=1，
把a=1代入①，得-1+b=0，
解得：b=1，
∴2※5=2×1+1×52=27，
故答案为：27．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出关于a、b的方程组是解此题的关键．
40．
【分析】
根据定义的新运算F，将，代入，得到关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，代回原式即可求得；由列出关系式，整理后即可确定出m、n的关系式．
【详解】
解：①根据题意得，，
，
整理得：，解得：，
则
，
②由得
，
整理得：，
当时，对任意有理数，都成立，
即；
故答案为：；．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组的应用等知识点，弄清题中的新定义是解本题的关键．
41．-3
【分析】
由题意得：x＝﹣y+2，代入方程组中的第一个方程可求得y的值，再求出x的值，最后代入到方程组中的第二个方程可求出k的值．
【详解】
解：∵方程组中x的值比y的相反数大2，
∴x＝﹣y+2，
∴4（﹣y+2）+5y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入4x+5y＝10中，得：4x+10＝10，
解得：x＝0，
则方程组的解是，
∴﹣（k﹣1）×2＝8，
解得：k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解，解答的关键是理解题意，求出方程组的解．
42．2
【分析】
根据题意，将代入二元一次方程组，得到关于m、n的二元一次方程组，求出后代入即可．
【详解】
将代入二元一次方程组，
得，
解得，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，算术平方根，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
43．17，9
【分析】
把代入中求出y，再把x，y代入另外一个不等式计算即可；
【详解】
将代入，
∴，
∴，
将，代入中，
∴；
故答案是：17，9．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
44．①②
【分析】
将代入原方程组，求出m和n的值，可判断①；将代入原方程组，可判断②；根据原方程组的解为，可得新方程组满足，求出x和y的值，可判断③；将代入原方程组，求出x和y的值，再找到当方程组的解为非负整数时n的部分值，可判断④．
【详解】
解：①将代入中，
得：，
解得：，
则，故①正确；
②当时，有，
则，故②正确；
③当方程组的解是时，
则，
∵新方程组为，
整理，得，
∴，
解得：，故③错误；
④当时，方程组为，
（1）×3－（2），得：，
解得：，
将代入（1）得：，
∴原方程组的解为，
∵x，y都是非负整数，
∴当n＝2时，；
当n＝时，；
当n＝时，；
故④错误，
故答案为：①②．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
45．
【分析】
把方程组变形为，进一步可得，求出方程组的解即可．
【详解】
解：∵
∴
又元一次方程组与有相同的解
∴
解得，
故答案为：
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两个方程都成立的未知数的值．
46．．
【分析】
先把x+2与y－1看作一个整体，则x+2与y－1是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案．
【详解】
解：由方程组的解为，
由题意得：方程组的解为，
解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二元一次方程组同解方程组的解法，正确理解题意、得出是解此题的关键．
47．
【分析】
先解方程组，得，再将代入y＝kx－1，得3k-1=0，解方程即可．
【详解】
解方程组，得，
将代入y＝kx－1，得3k-1=0，解得k=，
故答案为：．
【点拨】此题考查同解方程问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
48．49
【分析】
根据题意，先列出方程组，解出方程组的解，再代入求出m的值，最后求代数式的值．
【详解】
解：解方程组，解得．将代入，得，得．则．
故答案是：49．
【点拨】本题考查方程组的解，解题的关键是根据方程组解的定义求出未知参数的值．
49．（1）；（2），
【分析】
（1）先求出方程组的解，再代入方程，即可求出k值；
（2）把k的值代入方程再求出正整数解即可．
【详解】
解：（1）方程组的解为：，
将代入得：，
解得：；
（2）把代入方程得：，
即，
时，；时，；
所以关于x，y的方程的正整数解为，．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程和解二元一次方程，能求出k的值是解此题的关键．
50．（1）2，；（2）60；（3）-11
【分析】
（1）直接把两式相加和相减，即可求出答案；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，由题意：买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．列出方程组，求出a+b+c=12，即可求解；
（3）由题意得：1※1=a+bc，3※5=3a+5bc=15①，4※7=4a+7bc=28②，求出a+bc=11即可．
【详解】
解：（1）∵，
由①②，得；
由①+②，得，
∴；
故答案为：2；；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，
由题意得：
，
①×2②得：a+b+c=12，
∴5a+5b+5c=60，
故答案为：60；
（3），
由得：，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想的应用以及实数的运算等知识；熟练掌握整体思想的应用，找准等量关系，列出方程组是解题的关键．
51．16
【分析】
根据题意，将，代入（2），通过求解一元一次方程，得；同理，计算得；再求解二元一次方程组，结合代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
将，代入（2）得：，
∴；
将，代入（1）得：，
∴，
∴原方程组为
①×10+②得：，
∴
把代入①得：
∴．
【点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次方程的性质，从而完成求解．
52．（1）a=，b=-；（2）36
【分析】
（1）把x、y的值分别代入y=ax2+bx+1，得出关于a、b的方程组，再求出方程组的解即可；
（2）把x=-3代入（1）中所求的结果，即可求出y．
【详解】
解：（1）根据题意，得，
①×2+②，得6a+3=23，
解得：a=，
把a=代入①，得-b+1=6，
解得：b=-；
（2），
当x=-3时，=36．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
53．，
【分析】
先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；
【详解】
解：因为(2x－a)(3x＋b)，
＝6x2＋2bx－3ax－ab，
＝6x2＋(2b－3a)x－ab，
所以2b－3a＝－5，①
因为(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋2bx＋ax＋ab＝2x2＋(2b＋a)x＋ab，
所以2b＋a＝7，②
由①和②组成方程组：
,
解得.
故答案为：，.
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
54．-1
【分析】
根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组求出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
解：∵关于x，y的方程组和的解相同，
∴这两个方程组的解也是方程组的解，
解方程组得，
，
把x＝3，y＝1别代入ax﹣by＝6和2ax+by＝3，
得方程组，
解这个方程组得，
，
∴（2a+b）2021＝[2×1+（﹣3）]2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值．
55．（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，见解析；（2）；（3）p＝0，q＝
【分析】
（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；
（2）根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得n，再求得m，进一步得到a的值；
（3）解方程组用q和p表示x和y，代入2m＝8＋n，得到关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，求出p，q的值．
【详解】
解：（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵2×6＝8＋4，
∴点A是爱心点；
∵ ，
∴ ，
∵2×5≠8＋10，
∴点B不是爱心点；
（2）∵点C为爱心点，
∴ ，
∴n＝﹣18，
又∵2m＝8＋n，
∴2m＝8＋（﹣18），
解得m＝﹣5，
∴﹣5﹣1＝a，即a＝﹣6；
（3）解方程组得 ，
又∵点B是爱心点满足：，
∴，
∵2m＝8＋n，
∴2p−2q＋2＝8＋4q−2，
整理得：2p−6q＝4，
∵p，q是有理数，
∴p＝0，-6q＝4，
∴p＝0，q＝ ．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据爱心点的定义列出方程组是解题关键．
56．（1）；（2）
【分析】
（1）根据等式的性质可把第二个方程组化成第一个方程组的形式，根据相同的方程组的解也相同，可得关于x、y的二元一次方程组，进而求解即可；
（2）把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法即可得到一个关于x、y的方程组，即可求解．
【详解】
解：（1）将中每一个方程的左右两边都除以4，得：
，
∵方程组的解是，
∴，解得：；
（2）将中的每一个方程的左右两边都除以5，得：
，
∵原方程组的解为，
∴，
将两个方程相加可得：，①
将中的两个方程相加，可得：②，
由①②得：．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的特殊解，熟练掌握二元一次方程组的相同解是解题的关键．
57．1
【分析】
由解相同，可得一个含未知数x、y的，一个含a、b与x、y的两个新方程组，求解只含未知数x、y的方程组，把解代入含a、b与x、y的方程组，求出a、b的值，计算出结果即可．
【详解】
解：∵关于x，y的方程组与的解相同，
∴方程组与的解相同．
解方程组得
把代入得
①×3+②，得b＝﹣1，
①﹣②×3，得a＝1．
∴（2a+b）2021
＝（2×1﹣1）2021
＝1．
【点拨】本题考查了方程组解的意义、方程组的解法和有理数的乘方运算，解决本题的关键是理解两个方程组解相同的意义，求出a、b的值．
专题5.12 求解二元一次方程组题型分类专题（专项练习）
（巩固篇）
一、 单选题
知识点一、已知二元一次方程组的解求参数
1．已知方程组中，，互为相反数，则的值是（ ）
A．4 B． C．0 D．8
2．已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于，的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④，的都为自然数的解有对．其中正确的是（ ）
A．②③ B．③④ C．①② D．①②③④
4．已知关于x、y的方程组得出下列结论，正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变：④不存在a使得成立；
A． ①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
知识点二、二元一次方程组的特殊解法
5．已知方程组的解是，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则代数式的值为（ ）
A．4 B． C． D．10
7．已知关于，的方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②当时，，的值相等；③当时，；④当时，方程组的解，也是方程的解．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．方程组的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点三、二元一次方程组的错题复原问题
9．在解方程组时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是．小亮把常数抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（ ）
A．2 B．－2 C．0 D．－3
11．解方程组时，某同学把c看错后得到，而正确的解是，那么，，的值分别是（ ）
A．，， B．，不能确定，
C．，， D．，，的值不能确定
12．甲、乙两人同求方程ax－by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax－by=7看成ax－by=1，求得一个解为，则a,b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
知识点四、构造二元一次方程组求解
13．如果，那么x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知实数a，b满足：（a﹣b+3）2 + ＝0，则等于（ ）
A．65 B．64 C．63 D．62
15．关于x，y的，二元一次方程，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
16．已知关于，的二元一次方程，其取值如下表，则的值为（ ）
5
A．16 B．17 C．18 D．19
知识点五、已知二元一次方程组解的情况求参数
17．已知x，y互为相反数且满足二元一次方程组，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
18．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
19．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
20．若是关于x、y的方程组的解，则的值是（ ）
A．－18 B．－6 C．3 D．18
知识点六、同解原理
21．已知方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
22．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2021
23．若关于x、y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则k的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
24．已知关于的方程组和有公共解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题
知识点一、已知二元一次方程组的解求参数
25．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则方程组的解是____
26．已知是关于x、y的二元一次方程，则__________．
27．已知方程组与有相同的解，则___________．
28．已知方程组的解为，则的值为__________．
知识点二、二元一次方程组的特殊解法
29．若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为______．
30．若关于的方程组满足，则的值为________．
31．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ___．（用含m，n的代数式表示）．
32．已知关于，的二元一次方程组的解为，若，满足二元一次方程组，则______．
知识点三、二元一次方程组的错题复原问题
33．王老师让全班同学们解关于x、y的方程组，（其中a和b代表确定的数），甲、乙两人解错了，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，这个方程组的正确解为_____．
34．解方程组时，一学生把c看错解为，而正确的解是，那么a+b+c＝__．
35．已知方程组，甲解对了，得．乙看错了c，得．则的值为_______．
36．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，则的值为_________．
知识点四、构造二元一次方程组求解
37．已知，那么______．
38．已知关于的二元一次方程组的解也是方程的解，则m值为____．
39．定义一种新运算“※”，规定x※y＝ax+by2，其中a、b为常数，且﹣1※1＝0，2※1＝3，则2※5＝_____．
40．对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则__________；当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是__________．
知识点五、已知二元一次方程组解的情况求参数
41．若关于x，y的方程组中x的值比y的相反数大2，则k＝_____．
42．已知是二元一次方程组的解，则的值为________．
43．小刚解出了方程组的解为．因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则、分别为___________．
44．已知关于x，y的二元一次方程组，
①当方程组的解是时，m，n的值满足；
②当时，无论n取何值，的值始终不变；
③当方程组的解是时，方程组解为；
④当时，满足x，y都是非负整数的解最多有2组．
以上说法：正确的是_____________（填写序号）．
知识点六、同解原理
45．若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是_________．
46．若方程组的解为，则方程组的解为___________ ．
47．如果方程组与方程y＝kx－1有公共解，则k＝______．
48．已知方程组的解能使等式成立，那么代数式_______．
三、解答题
49．方程组的解满足2x－ky＝10（k是常数）．
（1）求k的值；
（2）求出关于x，y的方程（k－1）x＋2y＝13的正整数解．
50．（阅读感悟）
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实数、满足，求和的值．
方法一：解方程组，分别求出、的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下：
①－②，得：；①＋②×2，得：．
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”．
（问题解决）
（1）已知二元一次方程组，则__________；__________．
（2）某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需__________元．
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是__________．
51． 已知方程组甲由于看错了方程（1）中的，得到方程组的解为是方程（2）的解；乙由于看错了方程（2）中的，得到方程组的解为是方程（1）的解．若按正确的计算，求的值．
52．在等式y＝ax2＋bx＋1中，当x＝－1时，y＝6；当x＝2时，y＝11．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝－3时，求y的值．
52． 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)．甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值．
53． 已知关于x，y的方程组和的解相同，求（2a+b）2021的值．
55．阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．
56．阅读理解：
三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答下列问题：
（1）若方程组的解是，求方程组的解．
（2）若方程组的解是，求方程组的解．
57．已知关于x、y的方程组与方程组的解相同，求（2a＋b）2021的值．
参考答案
1．D
【分析】
根据与互为相反数得到，即，代入方程组即可求出的值．
【详解】
解：因为，互为相反数，
所以，
即，
代入方程组得：，
解得：，
故选：．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，也考查了代入消元法解二元一次方程组以及相反数的意义．
2．D
【分析】
把x与y的值代入方程组求出m与n的值再进行计算即可．
【详解】
解：把代入方程组得：
，
解得： ，
∴，
故选：D．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中的方程都成立的未知数的值．
3．D
【分析】
①将x=4，y=1代入检验即可做出判断；
②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y=3来判断；
③将a=1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
④有x+y=3得到x、y都为自然数的解有4对．
【详解】
解：①将代入，解得；且满足题意，故①正确；
②解方程
②得：8y=44a
解得：，
将y的值代入①得：，
所以x+y=3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确．
③将a=1代入方程组得：
，
解此方程得：，
将x=3，y=0代入方程x+y=3，方程左边=3=右边，是方程的解，故③正确．
④因为x+y=3，所以x、y都为自然数的解有
，，，．故④正确．
则正确的选项有①②③④．
故选：D．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
4．A
【分析】
①把a看做已知数表示出方程组的解，把a=0代入求出x与y的值，代入方程检验即可；②令x=y求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入3x-y中计算得到结果，判断即可；④令2x=3y求出a的值，判断即可．
【详解】
解：，
①+②得：3x=3a-6，
解得：x=a-2，
把x=a-2代入①得：y=3a+3，
当a=0时，x=-2，y=3，
把x=-2，y=3代入x+y=1得：左边=-2+3=1，右边=1，是方程的解；
当x=y时，a-2=3a+3，即a=；
3x-y=3a-6-3a-3=-9，无论a为什么实数，3x-y的值始终不变，为-9；
令2x=3y，即2a-4=9a+9，即a=，存在，
则正确的结论是①②③，
故选A．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．C
【分析】
利用换元的思想把变成，然后根据的解释，即可得到求解即可.
【详解】
解：∵
∴变形得：
∵方程组的解为
∴利用整体思想可知
解得：
故选C.
【点拨】本题主要考查了整体代入的思想解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据题目所给的方程进行变形，然后整体代入求解.
6．D
【分析】
方程组两方程相减即可求出的值．
【详解】
解：，
②①得：．
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
7．D
【分析】
把a看做已知数，解方程组后用含a的代数式表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，对四个结论分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：，
①−②得：4y＝4−4a，
y＝1−a，
把y＝1−a代入②得：x－(1−a)＝3a，
x＝2a＋1，
∴方程组的解为
当x＝5时，即2a＋1＝5，a＝2，
此时y＝1−a＝−1，故结论①正确；
当时，
x＝2a＋1＝1，y＝1−a＝1，
∴，的值相等，故结论②正确；
当时，则，
即2（2a＋1）＋1−a＝6，
解得a＝1，故结论③正确；
当时，
x＝2a＋1＝−1，y＝1−a＝2，
∴2x＋y＝0，1＋a＝0，
∴当时，方程组的解，也是方程的解，故结论④正确．
故选：D．
【点拨】本题以多种方式考查了二元一次方程组的解，牢固掌握方程组的解法及明确方程组的解的含义是解题的关键．
8．A
【分析】
分类讨论x与y的正负，利用绝对值的代数意义化简，求出方程组的解，即可做出判断．
【详解】
解：根据x、y的正负分4种情况讨论：
①当x＞0，y＞0时，方程组变形得：，无解；
②当x＞0，y＜0时，方程组变形得：，
解得x＝3，y＝2＞0，
则方程组无解；
③当x＜0，y＞0时，方程组变形得：，
此时方程组的解为；
④当x＜0，y＜0时，方程组变形得：，无解，
综上所述，方程组的解个数是1．
故选：A．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．C
【分析】
通过小明由于粗心把系数抄错了，得到，通过小亮把常数抄错了，得到，便可将原方程组复原，再求解即可．
【详解】
对于方程组，
小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是
∴
解得
小亮把常数抄错了，得到的解是
∴
解得
∴原方程组为，解得
故答案选：C．
【点拨】本题是二元一次方程组错解复原问题．通过错解复原原方程组是本题的关键．
10．B
【分析】
根据题意，方程②的一个解为，代入方程②，求得；方程①的一个解为，代入求得，再代入代数式即可求解．
【详解】
解：根据题意，方程②的一个解为，代入方程②，求得
方程①的一个解为，代入方程①，求得
将，代入代数式得
故答案为B．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的有关知识，解题的关键是通过已知条件列出式子求得，．
11．A
【分析】
将代入得①，再将代入得由①②③组成方程组，解之即可求出a、b、c的值．
【详解】
将代入得：
即①
再将再将代入
得：
解③得：，
由①②组成方程组，
解得：，
∴，，,
故选：A．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
12．B
【详解】
试题分析：把甲的解代入ax-by=7可得a+b=7，把乙的解代入可得a-2y=1，由它们构成方程组可得，解方程组得.
故选B
考点：二元一次方程组的解
13．B
【分析】
先根据非负数的性质列出方程组，即可求出x、y的值．
【详解】
解：∵，
∴，
解得，
故选：B．
【点拨】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
14．C
【分析】
根据平方和算术平方根的非负性得出方程组，求出方程组的解，再代入求出即可．
【详解】
解：∵实数a，b满足：（a﹣b+3）2+＝0，
∴a﹣b+3＝0且a+b﹣1＝0，
即，
解方程组得：，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，平方和算术平方根的非负性和求代数式的值等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
15．D
【分析】
根据题意可得关于x、y的方程组，根据解方程组，可得答案．
【详解】
解：原方程整理为：（x+y-2）a+（-x+2y+5）=0，
由方程的解与a无关，得：
，
解得，
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解题意、得出方程组是解题关键．
16．C
【分析】
根据题意及表格中的数据列出关系式，计算即可求出p的值．
【详解】
解：根据题意得：，
整理②得：③
将①代入③，得：
故选：C．
【点拨】此题考查了代入法解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组准确代入计算是解题关键．
17．A
【分析】
根据，互为相反数得到，然后与原方程组中的方程联立新方程组，解二元一次方程组，求得和的值，最后代入求值．
【详解】
解：由题意可得，
②﹣①，得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①，得：x﹣1＝0，
解得：x＝1，
把x＝1，y＝﹣1代入2x+3y＝k中，
k＝2×1+3×（﹣1）＝2﹣3＝﹣1，
故选：A．
【点拨】本题考查解二元一次方程组，掌握消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一次方程组的步骤是解题关键．
18．D
【分析】
把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求．
【详解】
解：把代入方程组得： ，
把代入ax+by=2得：-2a+2b=2，即-a+b=1，
联立得：，
解得： ，
由3c+2=-4，得到c=-2，
则a+b+c=4+5-2=7．
故选：D．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．D
【分析】
根据方程组将x、y分别用k表示，然后代入2x+3y＝12求出k即可．
【详解】
解：，
①+②，得2x＝14k,即x＝7k．
①﹣②，得2y＝﹣4k，即y＝﹣2k．
将x=7k，y=-2k代入2x+3y＝12得：
2×7k+3×（﹣2k）＝12，解得k＝．
故选D．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的含参问题，将方程组的解用参数表示出来，然后代入等式求解成为解答本题的关键．
20．A
【分析】
把代入得到关于a，b的二元一次方程组，解之求出a，b，再代入代数式进行计算即可．
【详解】
解：∵是方程组的解，
∴
①+②×2得
∴
把代入①得，
解得，
把，代入得，
故选：A
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法和解二元一次方程组的方法是解题的关键．
21．A
【分析】
根据两个方程组解相同，解方程组，把求得的x、y的值分别两个方程组中的另一个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求得a、b的值，从而可求得结果的值．
【详解】
∵方程组和有相同的解
∴方程组与有相同的解
由①×3+②得：7x=42
解得：x=6
把x=6代入①得：12+y=10
解得：y=－2
∴是方程组与的解
把代入中，得：
化简得：
③+④×3得：4b=8
解得：b=2
把b=2代入④得：－a+6=3
解得：a=3
故方程组解为
∴a－b=3－2=1
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解是本题的关键．
22．A
【分析】
将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】
根据题意
①2+②3得：
将代入①得：
将代入得：
③-④3得：
将代入④得：
当时，
故选A．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．
23．C
【分析】
把看做已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出的值．
【详解】
解：
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
代入得：，
去分母得：，
解得：，
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．A
【分析】
联立不含m与n的两个方程组成方程组，求出x与y的值，进而求出m与n的值，代入m-n，计算即可．
【详解】
解：联立得：，
①×3+②得：7x=42，
解得：x=6，
把x=6代入②得：y=-2，
把 代入得：，
解得：m=3，n=2，
则m-n=3-2=1．
故选A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．利用两个方程组有公共解得出x，y的值是解题关键．
25．
【分析】
根据题意可得，再将所求方程组变形为：，可得到关于 、 的方程组，解出即可．
【详解】
解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴，
将方程组变形为：
，
∴ ，
解得： ，
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解即为是方程组中两个方程都成立的未知数的值是解题的关键．
26．−2
【分析】
根据二元一次方程的定义可得：|m|−1＝1，n＝1且m−2≠0，n-3≠0，求出m、n的值，进而得到mn的值．
【详解】
解：由题意得：|m|−1＝1，n＝1，
解得：m＝±2，n＝1，
∵m−2≠0，n-3≠0，
解得：m≠2，n≠3，
∴m＝−2，n＝1，
则mn＝−2，
答案为：−2．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
27．144
【分析】
根据题意，两个方程组有相同的解集得到方程组，解方程组得，将代入方程组中，解出即可．
【详解】
解：∵方程组与有相同的解，
∴，
解得：，
将代入方程组中，得到： ，解得：
∴，
故答案为：144．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，关键在于读懂题意联立出可以求解的二元一次方程组．
28．6
【分析】
把方程组的解回代转化为关于a，b的新方程组，求得a，b的值后计算即可
【详解】
∵方程组的解为，
∴，
解得，
∴==6，
故答案为：6
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，熟练运用方程解的定义化已知方程组为被求字母为未知数的新方程组是解题的关键．
29．
【分析】
由题意可得方程组的解满足，再解后一个方程组即得答案．
【详解】
解：∵关于，的方程组的解为，
∴方程组的解满足，
解得：．
故填：．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，解题关键是得出两方程组的特点，并据此得出关于x,y的方程组．
30．3
【分析】
两式相加可得3（x-y）=9，然后将x-y整体求解即可．
【详解】
解：
①+②得：3x-3y=9，即3（x-y）=9，解得x-y=3．
故填3．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，灵活运用特殊方法解二元一次方程组和整体思想是解答本题的关键．
31．
【分析】
将待求方程组整理为，由原方程组的解将看作整体可得关于x、y的方程组，解之可得．
【详解】
解：将方程组整理，得：
，
根据题意，得：
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是由原方程组的解将将看作整体可得关于x、y的新方程组．
32．35
【分析】
将理解为，理解为，整体代入得到，，由此即可解出和的值．
【详解】
解：由题意，将和理解为一个整体，代入即可得到：
，解得，
∴，
故答案为：35．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，注意将和理解为一个整体是解决本题的关键．
33．
【分析】
把甲的解代入方程②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，确定出方程组，求出正确的解即可；
【详解】
由题意可知， 不是方程①的解，
不是方程②的解，
把 代入方程②中，
得b+4=7，解得：b=3，
把 代入方程①中，得-2+a=1，解得：a=3；
把 代入方程组 -
解得 ，
故答案为：．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值；
34．7
【分析】
首先根据题意，可得：3c﹣7×（﹣2）＝8，据此求出c的值是多少；然后根据： ，应用加减消元法，求出a、b的值各是多少，进而求出a+b+c的值是多少即可．
【详解】
解：根据题意，可得：3c﹣7×（﹣2）＝8，
解得c＝﹣2，
根据题意，可得：，
①+②，可得a＝4，
把a＝4代入①，解得b＝5，
∴a＝4，b＝5，c＝﹣2，
∴a+b+c
＝4+5+（﹣2）
＝7．
故答案为：7．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用；
35．-40
【分析】
把甲的结果代入方程组求出c的值，得到关于a与b的方程，将乙结果代入第一个方程得到a与b的方程，联立求出a与b的值,在计算abc的值即可．
【详解】
解：由甲运算结果得，，
解得，
由乙运算结果得，
得，
解得．
=
故答案为：-40
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
36．0
【分析】
根据甲看错了方程①中的，将代入②中可求得的值，根据乙看错了②中的，将代入①中可求得的值，由此可求得的值．
【详解】
解：把代入方程②，得4×（-3）=b•（-1）-2，解得b=10；
把代入方程①，得5a+5×4=15，解得a=-1．
所以．
故答案为：0．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，乘方的符号规律．理解方程组的解是同时满足方程组中两个方程的未知数的值是解决此题的关键．
37．
【分析】
根据平方和绝对值的非负性得到二元一次方程组求解即可；
【详解】
∵，
∴，
解得：，
∴；
故答案是25．
【点拨】本题主要考查了绝对值的非负性和二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
38．5
【分析】
根据题意将2x+y=7和x-2y=6联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入代入方程x+2y=m-3可得关于m的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】
解：∵x，y的二元一次方程组的解也是方程x-2y=6的解，
∴，
①×2+②，得
5x=20，
∴x=4，
把x=4代入①，得
8+y=7，
∴y=-1，
把x=4，y=-1代入x+2y=m-3，得
4+2×(-1)=m-3，
解得m=5．
故答案为5．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解方程组求解x，y是解题的关键．
39．27
【分析】
根据已知条件得出，求出方程组的解，再求出答案即可．
【详解】
解：∵x※y＝ax+by2，且-1※1=0，2※1=3，
∴，
②-①，得3a=3，
解得：a=1，
把a=1代入①，得-1+b=0，
解得：b=1，
∴2※5=2×1+1×52=27，
故答案为：27．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出关于a、b的方程组是解此题的关键．
40．
【分析】
根据定义的新运算F，将，代入，得到关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，代回原式即可求得；由列出关系式，整理后即可确定出m、n的关系式．
【详解】
解：①根据题意得，，
，
整理得：，解得：，
则
，
②由得
，
整理得：，
当时，对任意有理数，都成立，
即；
故答案为：；．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组的应用等知识点，弄清题中的新定义是解本题的关键．
41．-3
【分析】
由题意得：x＝﹣y+2，代入方程组中的第一个方程可求得y的值，再求出x的值，最后代入到方程组中的第二个方程可求出k的值．
【详解】
解：∵方程组中x的值比y的相反数大2，
∴x＝﹣y+2，
∴4（﹣y+2）+5y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入4x+5y＝10中，得：4x+10＝10，
解得：x＝0，
则方程组的解是，
∴﹣（k﹣1）×2＝8，
解得：k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解，解答的关键是理解题意，求出方程组的解．
42．2
【分析】
根据题意，将代入二元一次方程组，得到关于m、n的二元一次方程组，求出后代入即可．
【详解】
将代入二元一次方程组，
得，
解得，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，算术平方根，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
43．17，9
【分析】
把代入中求出y，再把x，y代入另外一个不等式计算即可；
【详解】
将代入，
∴，
∴，
将，代入中，
∴；
故答案是：17，9．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
44．①②
【分析】
将代入原方程组，求出m和n的值，可判断①；将代入原方程组，可判断②；根据原方程组的解为，可得新方程组满足，求出x和y的值，可判断③；将代入原方程组，求出x和y的值，再找到当方程组的解为非负整数时n的部分值，可判断④．
【详解】
解：①将代入中，
得：，
解得：，
则，故①正确；
②当时，有，
则，故②正确；
③当方程组的解是时，
则，
∵新方程组为，
整理，得，
∴，
解得：，故③错误；
④当时，方程组为，
（1）×3－（2），得：，
解得：，
将代入（1）得：，
∴原方程组的解为，
∵x，y都是非负整数，
∴当n＝2时，；
当n＝时，；
当n＝时，；
故④错误，
故答案为：①②．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
45．
【分析】
把方程组变形为，进一步可得，求出方程组的解即可．
【详解】
解：∵
∴
又元一次方程组与有相同的解
∴
解得，
故答案为：
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两个方程都成立的未知数的值．
46．．
【分析】
先把x+2与y－1看作一个整体，则x+2与y－1是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案．
【详解】
解：由方程组的解为，
由题意得：方程组的解为，
解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二元一次方程组同解方程组的解法，正确理解题意、得出是解此题的关键．
47．
【分析】
先解方程组，得，再将代入y＝kx－1，得3k-1=0，解方程即可．
【详解】
解方程组，得，
将代入y＝kx－1，得3k-1=0，解得k=，
故答案为：．
【点拨】此题考查同解方程问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
48．49
【分析】
根据题意，先列出方程组，解出方程组的解，再代入求出m的值，最后求代数式的值．
【详解】
解：解方程组，解得．将代入，得，得．则．
故答案是：49．
【点拨】本题考查方程组的解，解题的关键是根据方程组解的定义求出未知参数的值．
49．（1）；（2），
【分析】
（1）先求出方程组的解，再代入方程，即可求出k值；
（2）把k的值代入方程再求出正整数解即可．
【详解】
解：（1）方程组的解为：，
将代入得：，
解得：；
（2）把代入方程得：，
即，
时，；时，；
所以关于x，y的方程的正整数解为，．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程和解二元一次方程，能求出k的值是解此题的关键．
50．（1）2，；（2）60；（3）-11
【分析】
（1）直接把两式相加和相减，即可求出答案；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，由题意：买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．列出方程组，求出a+b+c=12，即可求解；
（3）由题意得：1※1=a+bc，3※5=3a+5bc=15①，4※7=4a+7bc=28②，求出a+bc=11即可．
【详解】
解：（1）∵，
由①②，得；
由①+②，得，
∴；
故答案为：2；；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，
由题意得：
，
①×2②得：a+b+c=12，
∴5a+5b+5c=60，
故答案为：60；
（3），
由得：，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想的应用以及实数的运算等知识；熟练掌握整体思想的应用，找准等量关系，列出方程组是解题的关键．
51．16
【分析】
根据题意，将，代入（2），通过求解一元一次方程，得；同理，计算得；再求解二元一次方程组，结合代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
将，代入（2）得：，
∴；
将，代入（1）得：，
∴，
∴原方程组为
①×10+②得：，
∴
把代入①得：
∴．
【点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次方程的性质，从而完成求解．
52．（1）a=，b=-；（2）36
【分析】
（1）把x、y的值分别代入y=ax2+bx+1，得出关于a、b的方程组，再求出方程组的解即可；
（2）把x=-3代入（1）中所求的结果，即可求出y．
【详解】
解：（1）根据题意，得，
①×2+②，得6a+3=23，
解得：a=，
把a=代入①，得-b+1=6，
解得：b=-；
（2），
当x=-3时，=36．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
53．，
【分析】
先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；
【详解】
解：因为(2x－a)(3x＋b)，
＝6x2＋2bx－3ax－ab，
＝6x2＋(2b－3a)x－ab，
所以2b－3a＝－5，①
因为(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋2bx＋ax＋ab＝2x2＋(2b＋a)x＋ab，
所以2b＋a＝7，②
由①和②组成方程组：
,
解得.
故答案为：，.
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
54．-1
【分析】
根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组求出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
解：∵关于x，y的方程组和的解相同，
∴这两个方程组的解也是方程组的解，
解方程组得，
，
把x＝3，y＝1别代入ax﹣by＝6和2ax+by＝3，
得方程组，
解这个方程组得，
，
∴（2a+b）2021＝[2×1+（﹣3）]2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值．
55．（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，见解析；（2）；（3）p＝0，q＝
【分析】
（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；
（2）根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得n，再求得m，进一步得到a的值；
（3）解方程组用q和p表示x和y，代入2m＝8＋n，得到关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，求出p，q的值．
【详解】
解：（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵2×6＝8＋4，
∴点A是爱心点；
∵ ，
∴ ，
∵2×5≠8＋10，
∴点B不是爱心点；
（2）∵点C为爱心点，
∴ ，
∴n＝﹣18，
又∵2m＝8＋n，
∴2m＝8＋（﹣18），
解得m＝﹣5，
∴﹣5﹣1＝a，即a＝﹣6；
（3）解方程组得 ，
又∵点B是爱心点满足：，
∴，
∵2m＝8＋n，
∴2p−2q＋2＝8＋4q−2，
整理得：2p−6q＝4，
∵p，q是有理数，
∴p＝0，-6q＝4，
∴p＝0，q＝ ．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据爱心点的定义列出方程组是解题关键．
56．（1）；（2）
【分析】
（1）根据等式的性质可把第二个方程组化成第一个方程组的形式，根据相同的方程组的解也相同，可得关于x、y的二元一次方程组，进而求解即可；
（2）把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法即可得到一个关于x、y的方程组，即可求解．
【详解】
解：（1）将中每一个方程的左右两边都除以4，得：
，
∵方程组的解是，
∴，解得：；
（2）将中的每一个方程的左右两边都除以5，得：
，
∵原方程组的解为，
∴，
将两个方程相加可得：，①
将中的两个方程相加，可得：②，
由①②得：．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的特殊解，熟练掌握二元一次方程组的相同解是解题的关键．
57．1
【分析】
由解相同，可得一个含未知数x、y的，一个含a、b与x、y的两个新方程组，求解只含未知数x、y的方程组，把解代入含a、b与x、y的方程组，求出a、b的值，计算出结果即可．
【详解】
解：∵关于x，y的方程组与的解相同，
∴方程组与的解相同．
解方程组得
把代入得
①×3+②，得b＝﹣1，
①﹣②×3，得a＝1．
∴（2a+b）2021
＝（2×1﹣1）2021
＝1．
【点拨】本题考查了方程组解的意义、方程组的解法和有理数的乘方运算，解决本题的关键是理解两个方程组解相同的意义，求出a、b的值．
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