初中数学北师大版八年级上册1 认识二元一次方程组学案

专题5.1  认识二元一次方程组（知识讲解）

【学习目标】

1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；

2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.

【要点梳理】

要点一、二元一次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．

特别说明：二元一次方程满足的三个条件：

（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.

（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.

（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

要点二、二元一次方程的解

    一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．

特别说明：

(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：

(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．

要点三、二元一次方程组

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.   

特别说明：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组.

要点四、二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

特别说明：

（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．

(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．

【典型例题】

类型一、二元一次方程的定义

1．已知方程mxm－1＋yn－8＝5是关于x，y的二元一次方程．求m2－2mn＋n2的值．

【答案】49

【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，可得m、n的值，再根据代数式求值，可得答案．

解：由方程＋＝5是关于x，y的二元一次方程，得：m－1＝1，n－8＝1，

解得m＝2，n＝9，当m＝2，n＝9时，m2－2mn＋n2＝(m－n)2＝(2－9)2＝49.

【点拨】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．

举一反三：

【变式1】方程是二元一次方程，求，．

【答案】，．

【解析】【分析】只含有两个未知数，且未知数项的系数都是1的方程叫二元一次方程.所以，，，可再求得答案.

 解: 根据二元一次方程的定义，

，，

解得，．

【点拨】本题考核知识点：二元一次方程的定义. 解题关键点：理解二元一次方程的定义.

【变式2】已知关于x，y的方程(m2－4)x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5.

(1)当m为何值时，它是一元一次方程？

(2)当m为何值时．它是二元一次方程？

【答案】(1)当m＝－2时，它是一元一次方程；(2)当m＝2时，它是二元一次方程．

【分析】

(1)根据一元一次方程的定义，得到m2－4＝0且m＋2＝0或m2－4＝0且m＋1＝0；(2)根据二元一次方程的定义，得到m2－4＝0且m＋2≠0，m＋1≠0.

解：(1)依题意，得①m2－4＝0且m＋2＝0，解得m＝－2，

②m2－4＝0且m＋1＝0，无解，即当m＝－2时，它是一元一次方程；

(2)依题意，得m2－4＝0且m＋2≠0，m＋1≠0，解得m＝2，

即当m＝2时，它是二元一次方程．

【点拨】此题主要考查二元一次方程的定义，熟知一元一次方程与二元一次方程的定义是解题的关键.

类型二、二元一次方程组的识别

2．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断．

解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；

（2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组；

（3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；

（4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组；

（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．

举一反三：

【变式1】下列方程组中，不是二元一次方程组的是_______．

①；②；③；④

【答案】③④

【分析】根据二元一次方程组的概念可直接进行排除选项．

解：由二元一次方程组的概念可得：①；②是二元一次方程组，③；④不是二元一次方程组，因为不满足方程是整式及未知数的最高次项是2次，

故答案为③④．

【点拨】本题主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键．

【变式2】下列方程组中：①；②；③；④，其中是二元一次方程组的有______________．（填序号即可）

【答案】①②④

【分析】根据二元一次方程组的定义：“方程组中一共含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数是1”，从而可得答案．

解：由二元一次方程组的定义得到：①，②，④是二元一次方程组，而③是三元一次方程组．

故答案为：①②④．

【点拨】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义是解题的关键．

【变式3】已知方程组是二元一次方程组，求m的值．

【答案】m=5

解：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，
解得：m=5．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程．

类型三、二元一次方程的解

3．若是关于、的方程的一个解，且，求的值．

【答案】－3

【分析】要求的值，要先求出和的值，根据题意得到关于和的二元一次方程组，再求出和的值．

解：把带入方程，

得到，

∵，

∴得到关于和的二元一次方程组：

，解得：，

∴．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解一元二次方程组，根据题意得到关于和的二元一次方程组是解题的关键．

举一反三：

【变式】已知下列五对数值:

 ①④

(1)哪几对数值是方程x-y=6的解?

(2)哪几对数值是方程2x+31y=-11的解?

(3)指出方程组的解.

【答案】（1）①②③   （2）③④⑤   （3）③

 【分析】

(1)把每组数据代入方程进行判断即可；(2)把每组数据代入方程进行判断即可；(3)在①②中的公共解就是方程组的解．

解：(1)只有①②③满足方程x－y＝6,所以①②③是方程x－y＝6的解.

(2)只有③④⑤满足方程2x＋31y＝－11,所以③④⑤是方程2x＋31y＝－11的解.

(3)③是方程组的解.

【点拨】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

类型四、二元一次方程组的解

4．已知关于，的方程组．

（1）请直接写出方程的所有正整数解；

（2）若方程组的解满足，求的值；

（3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解．

【答案】（1），；（2）；（3）

【分析】

（1）将方程x+2y-6=0化为y=3-x，再由x，y为正整数，即可得出结论；

（2）将x+y=0与x+2y-6=0组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：x-2y+mx+5=0中，可得m的值；

（3）根据方程x-2y+mx+5=0总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解．

解：（1），

，

又因为，为正整数，

，

即：只能取2或4；

方程的所有正整数解：，；

（2）由题意得：，

解得，

把代入，

解得；

（3）方程总有一个固定的解，

，．

．

【点拨】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．

举一反三：

【变式1】判断，是不是二元一次方程组的，的解.以下是小华对本题的解答过程，请判断是否正确，如果不正确，请写出正确的解答过程．

解：把代入，左边右边，

，是二元一次方程组，的解．

 【分析】根据二元一次方程组的解的定义可知解答过程不正确，应把分别代入两个方程验证即可.

解：小华的解答过程不正确，正确的解答过程如下：

把，代入方程，

∵左边，右边，左边=右边，

∴，是方程的解；

把，代入方程，

∵左边，右边，，

∴不是方程的解

∴，不是方程的解.

综上所述，不是二元一次方程组的解.

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

【变式2】判断是否是二元一次方程组的解.

【答案】不是

【分析】将x和y的值带入到二元一次方程组中看是否正确即可得出本题答案.

解：将分别代入方程①和方程②中,得4x＋2y＝2成立,x＋y＝－1不成立,所以不是方程组的解.

【点拨】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.