北师大版八年级上册2 求解二元一次方程组学案及答案

专题5.7  求解二元一次方程组-加减法（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；

2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；

3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．

【要点梳理】

要点一、加减消元法解二元一次方程组

    两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

 (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；

(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．

要点二、选择适当的方法解二元一次方程组

    解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．

【典型例题】

类型一、加减法解二元一次方程组

1. 直接加减：解方程组：

（1）                    （2）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用加减消元法解方程即可；（2）利用加减消元法解方程即可．

解：（1）

②－①得，

把代入①得，

∴方程组的解为：；

（2）

②＋①得，

把代入②得，

∴方程组的解为：．

【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法．

2.先变系数后加减：解方程组

【答案】

【分析】利用加减消元法求解方程组即可．

解：方程组

方程①方程②得：

∴

把代入方程①得：

∴原方程组的解是

【点拨】此题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键．

举一反三：

【变式】若是二元一次方程ax﹣by＝5和ax+2by＝8的公共解，求b﹣2a的值．

【答案】-5

【分析】将代入到二元一次方程和中去，可得，解出即可.

解：已知是二元一次方程和的公共解，

可将代入，得

，

解得，

.

【点拨】本题主要考查二元一次方程组解的定义及其解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解的定义即：使方程组所有方程左右两边都相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解．

3.错题复原问题：已知方程组甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为若按正确的a，b计算，求原方程组的解．

【答案】

【分析】由于甲看错了方程①中的，故可将代入②，求出的值；由于乙看错了方程组②中的，故可将代入①，求出的值，然后得到方程组，解方程组即可．

解：将代入②得，，；

将代入①得，，．

故原方程组为，

解得．

【点拨】本题考查了方程组解的理解，解题的关键是方程组的解符合方程组中的每个方程，将解代入方程即可求出未知系数．

【变式】甲、乙两位同学一起解方程组，甲正确地解得，乙仅因抄错了题中的，而求得，

（1）求原方程组中，，的值．

（2）写出求原方程组解的过程．

【答案】（1），，；（2）解的过程见解析；．

【分析】（1）分别把、代入方程组，即可求出答案；（2）利用加减消元法解方程组，即可得到方程组的解．

解：（1）

将分别代入①、②中，

得

解④，得④

将代入①中，得

，整理，得⑤

③⑤，得

解得：

将代入③，解得：

综上：，，；

（2）将，，代入原方程组中，

得，

①，得③，

②③得，

解得：，

将代入①中，得，

解得：，

原方程组的解为．

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解方程组．

4.先化简再加减：解方程组： ．

【答案】

【分析】

方法1：先将方程组化简，再利用加减法求解即可；方法2：将方程化简，根据 设 ，代人方程中求出k的值即可得到答案．

解：方法1：将原方程组化简为，

利用加减消元法，解得．

方法2：将方程化简为，

 将化为．

设 ，代人方程中，得．解得．

∴．

所以，原方程组的解是．

【点拨】在解方程组的过程中，要认真观察方程组的特点，根据实际情况选择解方程的方法．本题中，方法二就较为巧妙，利用“见比设k”的方法把方程组转化为一元一次方程进行求解．在以后解题过程中，可以有意识地去使用设参数的方法，达到化多元为一元简化计算的目的．

类型二、用适当方法解二元一次方程组

5. 解方程组：

（1）；            （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．

解：（1），

①+②得，4g＝12，

∴g＝3，

将g＝3代入①得，f＝3，

∴方程组的解为；

（2），

整理方程得，，

由②得，x＝5y﹣8③，

将③代入①得，y＝2，

将y＝2代入③得，x＝2，

∴方程组的解为．

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．

举一反三：

【变式】已知关于x，y的方程组和的解相同，求（3a+b）2020的值．

【答案】，1．

【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入（3a+b）2020计算即可．

解：由题意可得，

解得，

将代入得，

解得，

∴（3a+b）2020＝（﹣6+5）2020＝1．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值．

类型三、巧解大数二元一次方程组的应用

6、在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？

小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：

①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．

③×35﹣①得3x＝﹣3．

解得x＝﹣1，从而y＝2．

所以原方程组的解是．

请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：．

【答案】

【分析】结合探究内容，仿照例子，用加减消元法解二元一次方程组．

解：②﹣①得3x+3y＝3，

即x+y＝1③，

③×2018，得：2018x+2018y＝2018④，

④﹣①得2x＝﹣2，

解得x＝﹣1，

将x＝﹣1代入③，得：﹣1+y＝1，

解得y＝2，

∴原方程组的解为．

【点拨】本题主要考查二元一次方程的解法，解二元一次方程组有代入法和消元法，灵活应用这两种方法是解题关键．

【变式】解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：

解：①-②得，所以③．

③×35-①得，解得，则．

所以原方程组的解是．

请你运用上述方法解方程组：．

【答案】

【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．

解：，

①+②得：，

即③，

③×1007-①得：，

解得：，

将代入③得：，

∴原方程组的解为．

【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．