初中数学北师大版八年级上册5 应用二元一次方程组——里程碑上的数导学案

这是一份初中数学北师大版八年级上册5 应用二元一次方程组——里程碑上的数导学案，共20页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

专题5.18 应用二元一次方程组-里程碑上的数（知识讲解）
【学习目标】
1. 能据实际情况列二元一次方程组；
2. 能据几何等量关系列二元一次方程组；
3. 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系（二）
1.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
2. 几何问题
根据几何图形条件找出等量关系列方程.

要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思路

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
特别说明：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、据实际情况列二元一次方程组
1、为了参加学校举办的“新城杯”足球联赛，新城中学七（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费400元，七（2）班学生购买了品牌A足球3个、B品牌足球1个，共花费450元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）为了进一步发展“校园足球”，学校准备再次购进A、B两种品牌的足球，学校提供专项经费850元全部用于购买这两种品牌的足球，学校这次最多能购买多少个足球？
【答案】（1）购买一个A种品牌足球需要100元，购买一个B种品牌足球需要150元；（2）学校这次最多能购买8个足球．
【分析】（1）设购买一个A种品牌足球需要x元，购买一个B种品牌足球需要y元，根据“购买A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费400元；购买A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费450元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m个A种品牌足球，n个B种品牌足球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数即可求出m，n的值，将m，n值相加取其最大值即可得出结论．
解：（1）设购买一个A种品牌足球需要x元，购买一个B种品牌足球需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一个A种品牌足球需要100元，购买一个B种品牌足球需要150元．
（2）设可以购买m个A种品牌足球，n个B种品牌足球，
依题意，得：100m+150n＝850，
∴n＝．
∵m，n均为非负整数，
∴或或，
∴m+n＝6或m+n＝7或m+n＝8．
答：学校这次最多能购买8个足球．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
举一反三：
【变式1】长江是我们的母亲河，金港新区为了打造沿江风景，吸引游客搞活经济，将一段长为180米的沿江河道整治任务交由A、B两工程队先后接力完成．A工作队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．求A、B两工程队分别整治河道多少米？
⑴根据题意，七⑴班甲同学列出尚不完整的方程组如下．根据甲同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲同学所列的方程组；
，x表示________________________，y表示_________________________；
⑵如果乙同学直接设A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，列出了一个方程组，求A、B两工程队分别整治河道多少米．请你帮助他写出完整的解答过程．
【答案】（1）20；180（2）A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．
【分析】(1) x 表示A工程队整治河道的米天数，y表示B工程队整治河道的天数.故可以知道方框分别是20和180.(2)根据天数关系和工作量关系可以列出方程组，并解之.
解：(1)根据题意得： x 表示A工程队整治河道的天数，y表示B工程队整治河道的天数.故可以知道方框分别是总天数20和总长度180.
(2)设A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y.
,
方程组的解为，
答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．
【点拨】本题考核知识点：二元一次方程组应用. 解题关键点：设好未知数，根据题意找出相等关系列方程组，并正确解方程组.
【变式2】雅西高速，西昌到成都全长420km；一辆小汽车和一辆大客车分别从西昌和成都两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇，相遇时小汽车比大客车多行70km；
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲： 乙：
①理顺甲、乙两名同学所列方程组的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义
甲：x表示_______________． y表示_______________．
乙：x表示_______________． y表示_______________．
②补全甲、乙两人所列的方程组
（2）求小汽车和大客车的速度.（写出完整的解答过程）
【答案】（1）①见解析；②420，70；420，70；（2）小汽车行驶的速度为98km/h，大客车行驶的速度为70km/h．
【分析】（1）根据方程理解未知数的意义并补全方程组即可；
（2）根据乙组方程求解即可．
解：（1）①甲：x表示相遇时小汽车行驶了xkm；y表示相遇时大客车行驶了ykm．
乙：x表示小汽车行驶的速度为xkm/h；y表示大客车行驶的速度为ykm/h．
②甲:　乙：
（2）设小汽车行驶的速度为xkm/h，大客车行驶的速度为ykm/h．

解得：
答：小汽车行驶的速度为98km/h，大客车行驶的速度为70km/h．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，理解题意正确建立方程组是解题关键．
类型二、据几何图形列二元一次方程组
2、学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为76m的长方形草地，设计分成长和宽分别相等的9块小长方形，（放置位置如图所示），种上各种花卉．经市场预测，绿化每平方米造价约为108元．
（1）求出每一个小长方形的长和宽．
（2）请计算完成这项绿化工程预计投入资金多少元？

【答案】（1）每个小长方形的长和宽分别是10米、4米；（2）完成这块绿化工程预计投入资金为38880元．
【分析】（1）弄清题意，找出等量关系：2[5个小长方形的宽+（一个小长方形的长+两个小长方形的宽）]=周长和5个长方形的宽等于2个长方形的长，列二元一次方程组解答．
（2）直接求出每个小长方形的面积，然后求出答案即可．
解：（1）设小长方形的宽为x米，长为y 米．则
，
解得：，
答：每个小长方形的长和宽分别是10米、4米；
（2）（元），
答：完成这块绿化工程预计投入资金为38880元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．要弄清小长方形长、宽和大长方形周长之间的关系．
举一反三：
【变式1】已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示)
(1)若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________
(2)用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________
(3)若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________

【答案】(1) 36.5； (2) ； (3) ，
【分析】
（1）设A的边长为x，B的边长为y，列出等式组解得x、y的值，再根据面积公式计算即可.
（2）由题意列出m、n的关系式，根据不等式关系进行化简即可.
（3）根据题意，列出S阴影面积与A、B面积的关系式，进行化简求值即可.
解：
(1)设A的边长为x，B的边长为y，则

①+②得：2x=11
x=5.5


即A和B的面积之和为36.5.
（2）
解得：x=, y=
A、B面积之和=
=
(3)=
由题意得：
解得：
【点拨】
本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键.
【变式2】正方形网格（边长为1的小正方形组成的网格纸，正方形的顶点称为格点）是我们在初中阶段常用的工具，利用它可以解决很多问题．
（1）如图①中，△ABC是格点三角形（三个顶点为格点），则它的面积为 ；
（2）如图②，在4×4网格中作出以A为顶点，且面积最大的格点正方形（四个顶点均为格点）；
（3）人们发现，记格点多边形（顶点均为格点）内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．试确定m，n的值．

【答案】（1）5;（2）画图见解析;（3）.
【分析】（1）如图，根据△ABC的面积=矩形ADEF的面积-△ADB的面积-△BCE的面积-△ACF的面积计算；
（2）根据格点多边形的定义，结合网格的特点画图即可；
（3）求出（2）中所画出的正方形的面积，然后数出（1）和（2）中多边形内的格点数和多边形边上的格点数，代入S＝ma＋nb－1，列出二元一次方程组求解
解：（1）△ABC的面积=4×3-×3×2-×2×2-×4×1= 5；

（2）如图，画出的正方形的面积最大.
（3）由图1可知S=5，a=4，b=4，由图2可知：S=10，a=9，b=4，
则有：
解得：.
【点拨】本题考查了应用设计与作图，割补法求图形的面积，二元一次方程组的应用，正确列出关于m，n的方程组是解答本题的关键.
类型三、数字问题
3、列二元一次方程组解应用题.
已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字的和为12，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小18，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数为75.
【解析】
试题分析：设原两位数的十位数字为x，根据把这个两位数的数字对调后，得到的新两位数比原两位数小18，可得出方程，解出即可．
试题解析：设个位数字为,十位数字为.
根据题意得：
解得:
答：原来的两位数为75.
举一反三：
【变式1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数.
【答案】16
【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组，求出x，y，即可得到这个两位数.
解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得，解得，
所以这个两位数是16.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，掌握两位数的表示方法，列出方程组是解题的关键．
【变式2】一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为10．若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数是46．
【分析】设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y．等量关系：①十位上的数字与个位上的数字之和为10；②把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28．
解：设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y．则
，
解得 ．
则原来的两位数是：10y+x =10×4+6=46．
答：原来的两位数是46．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
本题涉及一个常识问题：两位数=10×十位数字+个位数字，并且在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数．
类型四、几何问题
4、如图，在ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求ABC各边的长．

【答案】AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm
【分析】设AB＝xcm，BC＝ycm，则可以把题中边长分为AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm和AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm两种情况列出二元一次方程组求解，解方程组即可得到问题解答．
解：设AB＝xcm，BC＝ycm．
则有以下两种情况：
(1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时，，解得 ,即AB＝AC＝8cm，BC＝11cm，符合三边关系；
(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时，，解得 ，即AB＝AC＝10cm，BC＝7cm，符合三边关系．
【点拨】本题考查三角形中线的应用，利用方程求解及把问题分成两种情况讨论是解题关键 ．
举一反三：
【变式1】（1）观察猜想
如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为______；
（2）问题解决
如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；
（3）拓展延伸
如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD的长．

【答案】（1）BC=BD+CE，（2）；（3）.
【分析】（1）证明△ADB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到BD=AC，EC=AB，即可得到BC、BD、CE之间的数量关系;
（2）过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，证明△ABC≌△DEA，得到DE=AB=2，AE=BC=4，Rt△BDE中，BE=6，根据勾股定理即可得到BD的长；
（3）过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，证明△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质得到CE=AF，ED=DF，设AF=x，DF=y，根据CB=4，AB=2，列出方程组，求出
的值，根据勾股定理即可求出BD的长.
解：（1）观察猜想
结论： BC=BD+CE，理由是：
如图①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，
∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠D=∠EAC，
∵∠B=∠C=90°，AD=AE，
∴△ADB≌△EAC，
∴BD=AC，EC=AB，
∴BC=AB+AC=BD+CE；
（2）问题解决
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，

由（1）同理得：△ABC≌△DEA，
∴DE=AB=2，AE=BC=4，
Rt△BDE中，BE=6，
由勾股定理得：
（3）拓展延伸
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
同理得：△CED≌△AFD，
∴CE=AF，ED=DF，
设AF=x，DF=y，
则，解得：
∴BF=2+1=3，DF=3，
由勾股定理得：

【点拨】考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
【变式2】如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．
(1)求证：∠ABD＝∠C；
(2)如图2，在(1)问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，
①求证：∠ABF＝∠AFB；
②求∠CBE的度数．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②120°．
【解析】
【分析】（1）过B作BG∥CN，依据平行线的性质，以及同角的余角相等，即可得到∠ABD=∠C；
（2）①设∠DBE=∠EBA=x，∠ABF=y，依据∠AFB+∠BCN=∠FBC，即可得到∠AFB=y=∠ABF；
②依据∠CBE=90°，AF∥CN，可得∠ABG+∠CBG=90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°，解方程组，即可得到，进而得出∠CBE=3x+2y=120°．
解：（1）如图 1，过 B 作 BG∥CN，

∴∠C=∠CBG
∵AB⊥BC，
∴∠CBG=90°﹣∠ABG，
∴∠C=90°﹣∠ABG，
∵BG∥CN，AM∥CN，
∴AM∥BG，
∴∠DBG=90°=∠D，
∴∠ABD=90°﹣∠ABG，
∴∠ABD=∠C；
（2）①如图 2，设∠DBE=∠EBA=x，则∠BCN=2x，∠FCB=5x， 设∠ABF=y，则∠BFC=1.5y，

∵BF 平分∠DBC，
∴∠FBC=∠DBF=2x+y，
∵∠AFB+∠BCN=∠FBC，
∴∠AFB+2x=2x+y，
∴∠AFB=y=∠ABF；
②∵∠CBE=90°，AF∥CN，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°，
∴
∴
∴∠CBE=3x+2y=3×30°+2×15°=120°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义的综合运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等
类型五、表格或图示信息题
5、某服装店用6000元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价−进价)，这两种服装的进价，标价如表所示．
类型
价格
A型
B型
进价(元/件)
60
100
标价(元/件)
100
160
(1)求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元?
【答案】（1）A种服装购进50件，B种服装购进30件；（2）2440元
【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价=单价×数量，利润=售价-进价建立方程组求出其解即可；
（2）分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润-打折后A种服装的利润-打折后B中服装的利润，求出其解即可．
解：（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得
，
解得：，
答：A种服装购进50件，B种服装购进30件；
（2）由题意，得：
3800-50（100×0.8-60）-30（160×0.7-100）
=3800-1000-360
=2440（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2440元．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
举一反三：
【变式1】在“五一”期间，小明､小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与爸爸的对话(如图)，请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)他们共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮他们算算，用哪种方式购票更省钱？
【答案】（1）他们一共去了8个成人，4个学生；（2）按团体票购票更省钱
【分析】（1）本题有两个相等关系：学生人数+成人人数=12人，成人票价+学生票价=400元，据此设未知数列方程组求解即可；
（2）计算出按照团体票购买需要的钱数，然后与400元作对比即得答案．
解：(1)设去了x个成人，y个学生，
依题意得，，解得，
答：他们一共去了8个成人，4个学生；
(2)若按团体票购票，共需16×40×0.6＝384(元)，
∵384＜400，
∴按团体票购票更省钱．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
【变式2】随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：

时间（分钟）
里程数（公里）
车费（元）
小明
8
8
12
小刚
12
10
16
（1）求x，y的值；
（2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？
【答案】（1）x=1，y=；（2）小华的打车总费用为18元.
【解析】
试题分析：（1）根据表格内容列出关于x、y的方程组，并解方程组．
（2）根据里程数和时间来计算总费用．
试题解析：
(1)由题意得，
解得；
（2）小华的里程数是11km，时间为14min．
则总费用是：11x+14y=11+7=18（元）．
答：总费用是18元．
类型六、开放型题
6、由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨.
【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．
解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)
设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．
根据题意,得，
解得.
则x+y=4+2.5=6.5(吨).
答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．
类型七、其他问题
7、请用两种方法解答下面的应用题：
在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？
【答案】房间里有12个椅子，4个凳子.
【分析】设房间里有x个椅子，y个凳子，根据椅子和凳子共16个结合腿数＝4×椅子数+3×凳子数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：方法一：设房间里有x个椅子，y个凳子，
根据题意得：，
解得：．
答：房间里有12个椅子，4个凳子；
方法二：设房间里有x个椅子，（16﹣x）个凳子，
根据题意得：4x+3（16﹣x）＝60，
解得：x＝12，
∴16﹣x＝4，
答：房间里有12个椅子，4个凳子；
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
举一反三：
【变式1】小明和体育老师一起玩投篮球游戏，两人商定：小明投中1个得2分，老师投中2个得1分．结果两人一共投中了20个球，计算发现两人共得16分，问：小明和老师各投中了几个球？
【答案】老师投中16个，小明投中4个
【分析】根据题意列出一元一次方程或二元一次方程组即可求解．
解：解法一：（一元一次方程）
设老师投中个，则小明投中个，根据题意，得

解得
所以
答：老师投中16个，小明投中4个．
解法二：（二元一次方程组）
设老师投中个，小明投中个，根据题意，得

解得
答：老师投中16个，小明投中4个．
【点拨】本题考查一次方程或方程组的应用．包括审、设、列、解、验、答等步骤．在充分理解题意的基础上，选择适当的量设未知数，列方程（组）、解方程（组）、检验并作答．
【变式2】根据题意列方程组：（只列方程组）
两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？
【答案】
【分析】设每节火车皮平均装货物x吨，每辆汽车平均装货物y吨，然后根据题意，列二元一次方程组即可.
解：设每节火车皮平均装货物x吨，每辆汽车平均装货物y吨，
则
【点拨】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键.