初中数学北师大版八年级上册5 三角形的内角和定理导学案

专题7.7  三角形内角和定理（知识讲解）

【学习目标】

1．理解三角形内角和定理的证明方法；

2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；

3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.

【要点梳理】

要点一、三角形的内角

1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．

特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关系．

2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.

特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.

要点二、三角形的外角

1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.

特别说明：

(1)外角的特征：

①顶点在三角形的一个顶点上；

②一条边是三角形的一边；

③另一条边是三角形某条边的延长线．

（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．

2．性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

 （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．

特别说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．

3.三角形的外角和：

   三角形的外角和等于360°.

特别说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．

　【典型例题】

类型一、三角形内角和的证明

1、在小学，我们已经知道三角形的三个内角的和等于180°，现在我们可以用所学的平行线的相关知识来说明它．如图，已知三角形ABC．

（1）读语句，画图形：在图中，过点A作直线MN，使MN//BC；

（2）请利用（1）中的图形说明∠A+∠B+∠C＝180°．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据题意，画出平行线，即可；

（2）根据两直线平行，内错角相等证明即可．

解：（1）如图：

（2）因为，

所以，

又因为，

所以，即．

【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．

举一反三：

【变式】古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．

（1）请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．（在横线上填写相应的几何语言，在括号内填写相应的推理依据）．

已知：如图，在△ABC中，求证：∠A+∠B+∠BCA＝180°．

解：延长线段BC至点F，并过点C作CE//AB．

因为CE//AB（已作），

所以∠A＝       （                           ），

∠B ＝         （                            ）． 

因为 ∠ACB+∠1+∠2＝180°（平角定义），

所以∠A+∠B+∠ACB＝180°（             ）．

（2）请你再思考另外一种证明三角形内角和定理的方法并加以证明．（此题不用写推理依据即可）．

【答案】（1）∠1 ；两直线平行，内错角相等；∠2 ；两直线平行，同位角相等；等量代换；（2）见解析

【分析】（1）延长线段BC至点F，并过点C作，根据平行线的判定可得，，因为平角为180°，所以等量代换可得三角形内角和为180°；

（2）过点A作BC的平行线，得∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，因为平角为180°，所以等量代换可得三角形内角和为180°．

 解：（1）如图，延长线段BC至点F，并过点C作，

因为（已作），

所以（两直线平行，内错角相等），

（两直线平行，同位角相等），

因为（平角定义），

所以（等量代换）；

（2）过A作DE//BC，

∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，

∵∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，

∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．

【点拨】本题考查了平行线的判定和证明三角形内角和定理的方法，解题的关键是熟记平行线的判定和灵活运用其证明方法．

类型二、与平行线有关的三角形内角和问题 

2、已知：如图，，点E在AC上．求证：．

【答案】见解析

【分析】由题意依据三角形内角和定理和平行线的性质以及等式的性质和角的等量代换进行分析求证即可.

 解：在中，

∵（三角形内角和定理），

∴（等式的性质），

又∵（已知），

∴（两直线平行，同旁内角互补），

∴（等式的性质），

∴（等量代换）．

【点拨】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图，已知△ABC．

（1）若AB=3，AC=4，求BC的取值范围；

（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E=60°，∠ACD=125°，求∠B的度数．

【答案】（1）1<BC<7；（2）65°

【分析】（1）根据三角形的三边关系，即可求解；

（2）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠CDE=180°－125°= 55°，再由三角形内角和定理，即可求解．

 解：（1）在△ABC中，根据三角形的三边关系得，

4-3<BC<4+3

∴1<BC<7；

（2）∵DE∥AC，∠ACD=125°，

∴∠ACD +∠CDE=180°，

∴ ∠CDE=180°－125°= 55°，

∵∠E=60°，

∴∠B=180°－∠E－∠BDE=180°－60°－55°=65°．

【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形的三边关系，三角形的内角和定理，平行线的性质定理是解题的关键．

类型三、与角平分线有关的三角形内角和问题

3、如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，若∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．求∠DAC和∠BOA的度数．

【答案】∠DAC=20°，∠BOA=125°

【分析】先求出∠C=70°，因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．

 解：∵∠BAC＝50°，∠ABC＝60°

∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC＝70°

∵AD⊥BC

∴∠ADC＝90°

∵∠C＝70°

∴∠DAC＝180°−90°−70°＝20°；

∵∠BAC＝50°，∠C＝70°

∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°

∵BF是∠ABC的角平分线

∴∠ABO＝30°

∴∠BOA＝180°−∠BAO−∠ABO＝180°−25°−30°＝125°．

【点拨】本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．

举一反三：

【变式】如图，ABCD，∠BAC的角平分线AP与∠ACD的角平分线CP相交于点P，求证：AP⊥CP．

 【分析】利用角平分线的性质及平行线的性质，通过等量代换能证明出，即可证明AP⊥CP．

 证明：∵ABCD（已知），

∴∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵AP、CP分别平分∠BAC、∠ACD（已知），

∴∠CAP=∠BAC，

∠ACP=∠ACD，

∴∠CAP+∠ACP=∠BAC+∠ACD=(∠BAC+∠ACD)=90°，

又∵∠CAP+∠ACP+∠P=180°，

∴∠P=90°，

∴AP⊥CP．

【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质进行求解．

类型四、三角形折叠中的角度问题

4、将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点处

（1）如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是       ；

（2）如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

（3）如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．

【答案】（1）∠1＝2∠A；（2）2∠A＝∠1+∠2，理由见解析；（3）28°

【分析】（1）根据三角形外角性质得出∠1＝∠A+∠EA′D，根据折叠性质得出∠EA′D＝∠A，即可求出答案；

（2）根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣∠A′，两式相加可得A′DA+∠A′EA＝360°﹣（∠A+∠A′），即∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，根据平角的定义得出∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，可得出∠A′+∠A＝∠1+∠2，根据折叠性质得出∠A′＝∠A，即可得出2∠A＝∠1+∠2；

（3）根据三角形外角性质得出∠DME＝∠A′+∠2，∠1＝∠A+∠DME，推出∠1＝∠A+∠A′+∠2，即可得出答案．

 解：（1）如图①，∠1＝2∠A．

理由如下：由折叠可得：∠EA′D＝∠A；

∵∠1＝∠A+∠EA′D，

∴∠1＝2∠A，

故答案为：∠1＝2∠A；

（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．

理由如下：∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣∠A′，

∴∠A′DA+∠A′EA＝360°﹣（∠A+∠A′），

∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，

∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，

∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，

由折叠可得：∠A＝∠A′，

∴2∠A＝∠1+∠2，

故答案为：2∠A＝∠1+∠2；

（3）如图③，

∵∠DME＝∠A′+∠2，∠1＝∠A+∠DME，

由折叠可得：∠A＝∠A′，

∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，

∴2∠A＝∠1﹣∠2＝80°﹣24°＝56°，

∴∠A＝28°．

故答案为：28°．

【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式．

举一反三：

【变式】把长方形AB′CD沿对角线AC折叠，得到如图所示的三角形．已知∠BAO=30°，求∠AOC和∠BAC的度数．

【答案】，

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠AOC=∠BAO+∠B，将数值代入，即可求出∠AOC的度数；先利用AAS证明△AOB≌△COD，得出∠BAO=∠DCO=30°，∠B′CO=60°，结合折叠的性质得出∠B′CA=∠BCA=30°，则∠BAC=∠B′AC=60°．

 解：∵∠BAO=30°，∠B=90°，

∴∠AOC=∠BAO+∠B=30°+90°=120°．

由题意，得△B′CA≌△BCA，

∴AB′=AB，∠B′CA=∠BCA，∠B′AC=∠BAC．

∵长方形AB′CD中，AB′=CD，

∴AB=CD．

在△AOB与△COD中，

，

∴△AOB≌△COD（AAS），

∴∠BAO=∠DCO=30°，

∴∠B′CO=90°-∠DCO=60°，

∴∠B′CA=∠BCA=30°，

∴∠B′AC=90°-∠B′CA=60°，

∴∠BAC=∠B′AC=60°．

【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．证明△AOB≌△COD，得出∠BAO=∠DCO=30°是解题的关键．

类型五、三角形内角和定理的应用

5、如图，在△ABC中，D为BC延长线上一点，DE⊥AB于E，交AC于F，若∠A＝40°，∠D＝45°，求∠ACB的度数．

【答案】95°

【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．

 解：∵DF⊥AB，∠A＝40°

∴∠AEF＝∠CED＝50°，

∴∠ACB＝∠D+∠CED＝45°+50°＝95°．

【点拨】本题考查了三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．

举一反三：

【变式】（1）如图1，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：∠BFD的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．

解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（___________），

∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．

∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝___________（___________），

∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．

（2）如图2，把一个长方形的纸ABCD沿对角线折叠（长方形对边平行且相等，四个角是直角），重合部分△FBD是个什么三角形？请证明你的结论．

【答案】（1）三角形的一个外角的等于两个不相邻的内角和，，三角形内角和；（2）等腰三角形，证明见解析

【分析】（1）在△ACD中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；在△BFD中，利用三角形的内角和定理计算即可．

（2）利用折叠的性质可得到进而得到，利用平行线的性质可得，进而得到即可得出结论．

 解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ACD（三角形的一个外角的等于两个不相邻的内角和），

∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．

∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝（三角形内角和），

∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．

（2）答：重合部分是等腰三角形．

证明：∵折叠，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴重合部分是等腰三角形．

【点拨】本题主要考查了三角形的外角性质、三角形的内角和定理、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟记性质与定理是解题的关键．